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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 5

Lección 4: Fórmula del cambio de base para logaritmos
Matemáticas
Matemáticas 3
Logaritmos
Fórmula del cambio de base para logaritmos
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Introducción a la regla de cambio de base

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Aprende cómo volver a escribir cualquier logaritmo con logaritmos de una base diferente. !Esto es muy útil para determinar logaritmos en una calculadora!
Supongamos que queremos encontrar el valor de la expresión log2⁡(50). Como 50 no es una potencia racional de 2, es difícil evaluar esto sin una calculadora.
Sin embargo, la mayoría de las calculadoras solo pueden calcular directamente logaritmos en base 10 y base e. Así que, para encontrar el valor de log2⁡(50), primero debemos cambiar la base del logaritmo.

La regla de cambio de base

Podemos cambiar la base de cualquier logaritmo con la siguiente regla:
Observaciones:
  • Al usar esta regla, puedes escoger cambiar el logaritmo a cualquier base x.
  • Como siempre, los valores de entrada de los logaritmos deben ser positivos, y las bases de los logaritmos deben ser positivas y diferentes de 1, ¡para que esta propiedad funcione!

Ejemplo: evaluar log2⁡(50)

Si tu meta es encontrar el valor del logaritmo, cambia la base a 10 o e, pues estos logaritmos se pueden calcular en la mayoría de las calculadoras.
Así que cambiemos la base de log2⁡(50) a 10.
Para hacer esto aplicamos la regla de cambio de base, con b=2, a=50, y x=10.
log2⁡(50)=log10⁡(50)log10⁡(2)Regla de cambio de base=log⁡(50)log⁡(2)Pueslog10⁡(x)=log⁡(x)
Ahora podemos encontrar el valor con una calculadora.
log⁡(50)log⁡(2)≈5.644

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Evalúa log3⁡(20).
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
Evalúa log7⁡(400).
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 3
Evalúa log4⁡(0.3).
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Justifcar la regla de cambio de base

En este punto, puede ser que estés pensando: "Muy bien, pero ¿por qué funciona esta regla?"
logb⁡(a)=logx⁡(a)logx⁡(b)
Empecemos con un ejemplo concreto. Utilizando el ejemplo anterior, queremos mostrar que log2⁡(50)=log⁡(50)log⁡(2).
Utilicemos n para denotar log2⁡(50). En otras palabras, tenemos log2⁡(50)=n. Por la definición de logaritmos, 2n=50. Ahora podemos aplicar una secuencia de operaciones a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga:
2n=50log⁡(2n)=log⁡(50)Si A=B, entonces log⁡(A)=log⁡(B)nlog⁡(2)=log⁡(50)Regla de la potencian=log⁡(50)log⁡(2)Divide ambos lados entrelog⁡(2)
Puesto que n estaba definido como log2⁡(50), tenemos que log2⁡(50)=logx⁡(50)logx⁡(2), ¡como queríamos!
Con la misma lógica podemos demostrar la regla de cambio de base. Solamente cambia 2 por b y 50 por a, elige cualquier nueva base x, y ¡ahí está tu demostración!

Problemas de desafío

Problema de desafío 1
Evalúa log⁡(81)log⁡(3) sin usar una calculadora.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema de desafío 2
¿Cuál expresión es equivalente a log⁡(6)⋅log6⁡(a)?
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