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Prueba de las reglas del cociente y de la potencia en logaritmos

CCSS.Math:
HSF.BF.B.5

Transcripción del video

vamos a probar otra de las propiedades de los logaritmos porque ya me gustó esto si utilizamos las potencias y los exponentes podemos lograr demostrar todas las propiedades de los logaritmos así que vamos a escribir aquí lo que siempre sabemos yo sé que el logaritmo en base a envase x de a es igual a belém esto quiere decir en lenguaje de exponentes que x elevado a la potencia ven es igual a esto ya lo hemos visto varias veces es la expresión equivalente y de aquí voy a partir de x elevada b es igual a amd y esto me va a servir para demostrar la tercera propiedad de los logaritmos a ver qué pasa si yo multiplico esto por cm no voy a multiplicar por se hace ese mes una letra bastante interesantes que van a multiplicar esto por cm pero como multiplicó esto por supuesto hay que multiplicarlo de ambos lados de esta igualdad para que se mantenga la igualdad y que me va a quedar pues seis veces el logaritmo en base x de amd c veces el logaritmo en base xd ham esto es igual hace veces ven es decir se pone recuerda que hay que multiplicar por ambos lados de la ecuación ave por seo se por ve muy bien hasta aquí ya tengo esta propiedad ahora voy a esperar un poco porque lo que equivale a continuación es lo que tengo aquí del lado derecho es a trabajarlo pero elevando a la cem va a ser distinto lo que voy a hacer aquí a continuación les elevará la potencia cm y que me quedan pues sí elevó a la potencia cm me va a quedar del lado izquierdo x elevado labem elevado la potencia cm vamos a escribir a kim x elevado a la bne elevado a su vez a la cem y del lado derecho pues no queda ha elevado la cm pero aquí voy a utilizar una de las propiedades de los exponentes yo sé que tengo algo elevado a una potencia y después elevado a otra potencia las potencias se multiplica por lo tanto esto me va a quedar x elevado a la b por ser entonces déjame escrito por aquí esto va a implicar que utilizan las propiedades de los exponentes esto es lo mismo que x elevado al ave porsche igual a elevado la cem y bueno ahora bien qué te parece si esto mismo escribo lenguaje logaritmos ya sabemos escribir las cosas que tienen que ver con exponentes en lenguaje de logaritmos hace que lo que voy a hacer a continuación escribir esto mismo con la expresión de los logaritmos y me quedaría algo así logaritmo en base x de ha elevado a la cm esto es igual a b x se recuerda a que potencia tenemos que elevar a x para que me dé ha elevado la cem y la respuesta es pues la potencia b por cm entonces esto es igual a b x sem y qué crees ya logré la tercera propiedad de los logaritmos porque ante cuenta lo siguiente aquí tengo b por cm y aquí tengo también por cm lo que quiere decir que esta parte de aquí tiene que ser exactamente igual a esta parte de aquí o dicho de otra manera ya llega la tercera propiedad de los logaritmos seis veces el logaritmo envase x de amd esto tiene que ser igual al hogar en base xd ha elevado la ce dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí vamos a escribirlo seis veces el logaritmo en base x de a esto tiene que ser igual porque lo acabamos de ver a b x sem pero ve porsche es igual al organismo en base xd ha elevado la cm por lo tanto ya se cumplen igualdad y aquí tengo mi tercera propiedad los logaritmos el primer axioma de euclides y ya con esto logramos esta demostración así que vamos a recordar todo lo que hemos visto es ahorita todo lo que hemos demostrado y vamos a intentar hacer una nueva demostración a ver lo primero que hicimos en este video fue decir si nosotros tenemos veces el logaritmo envase x déjame ponerlo aquí seis veces el logaritmo envase x de amd esto es igual al lugar y en un base x de ha elevado a la cm esto lo acabamos de demostrar hace menos de un minuto y el video pasado vimos la demostración de la suma de logaritmos recuerdas habíamos dicho que si nosotros tomamos el lugar y no en base xd am más el logaritmo envase x debe esto es igual a logaritmo envase xd a porvenir nos podemos pasar multiplicando y bueno si tú haces un poco de memoria acerca de las propiedades de los logaritmos que pasaba se quien medió en lugar de un más tengo menos bueno si yo tengo menos lo que pasaba es que en lugar de pasar multiplicando a por ver lo que pasaba era dividiendo dividíamos el que era positivo entre el que a negativo es decir a entre 20 y de hecho es lo que quiero demostrar en este tiempo que me queda así que vamos a seguir con la misma idea que vimos en el video pasado podría decir que el logaritmo envase x de amd es igual a él le voy a bautizar como logaritmo base x debe como m y recuerdos más o menos que hicimos también bautizamos como el logaritmo base xd a entrevé a n el joven base xd a entrevé aem y entonces dijimos bueno si esto es cierto entonces x elevado la l es igual la vamos a ponerlo aquí x elevado a la l es igual a mientras que por otra parte x elevado a la m es igual a penn de aquí tengo que x elevado la ms igualdad jem y por último de aquí de la última actuación tengo que x elevado a la n es exactamente lo mismo que a entrever y de hecho de aquí voy a partir es lo mismo que a entre ve y lo que voy a hacer a continuación es sustituir a y sustituir a bebé de las situaciones que tenga que arriban porque ya sé que a él lo mismo que el que sale por lo tanto vamos a ponerlo como a es igual a ekiza la l y b es igual a ekiza m esto me queda x al aire / x a la m es decir a entre ben x sala n es igual a ekiza la l / x a la m y después de aquí pues podemos pasar este excelente con signo negativo recuerdas esta es una de las propiedades de los exponentes que mejor conocemos entonces no me quedaría como x sala l x x a la menos en ocho otra manera es lo mismo que x elevado a la l - m y muy parecido a lo que vimos el video pasado yo sé que por lo que dice aquí x a la enee es igual a ekiza la l menos en yo voy a decir que las potencias tienen que ser iguales si quiero que se cumpla esta igualdad es decir que n tiene que ser igual a elementos m las potencias tienen que ser iguales déjame escribió aquí n tiene que ser igual a l menos en muy bien y después lo que voy a hacer lo mismo que hice en el video pasado sustituir el valor de xl lugar y ritmos substituir valor de l en logaritmos y sustituir el valor de m el logaritmo y que me va a quedar déjame ponerlo por acá n es el logaritmo envase xd a entrever es justo como lo bautizamos aquí abajo eine es igual al lugar y no en base xd a entrever en el lugar y moverse xd a entrevé bueno después tengo el en el eslogan base xd a entonces déjame ponerlo y copiando a kim el logaritmo base xd a el logaritmo base xd a después tengo menos en pero ms logaritmo envase xtb lo tengo justo aquí así fue como lo bautizamos casi por cómo definimos y lo voy a poner a kim el logaritmo envase x deben y ya tengo demostrada la propiedad de la diferencia de logaritmos ya está la demostración enhorabuena ya tenemos la siguiente demostración y por lo tanto ya podemos utilizar sin miedo a equivocarnos la propiedad que tenemos justo aquí muy bien nos falta de mostrar solamente una cuarta propiedad que es el cambio de base pero ya no tengo tiempo hace que lo fue a ver en el siguiente vídeo y por lo tanto no te lo pierdas