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Matemáticas 3
Curso: Matemáticas 3 > Unidad 5
Lección 1: Introducción a los logaritmos- Introducción a logaritmos
- Introducción a logaritmos
- Evaluar logaritmos
- Evaluar logaritmos (avanzado)
- Evalúa logaritmos (avanzado)
- La relación entre exponentes y logaritmos
- La relación entre exponentes y logaritmos: gráficas
- La relación entre exponentes y logaritmos: tablas
- La relación entre exponentes y logaritmos
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Introducción a logaritmos
Aprende qué son los logaritmos y cómo evaluarlos.
Temas con los que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección
Deberías estar familiarizado con los exponentes, de preferencia también con los exponentes negativos.
Lo que aprenderás en esta lección
Aprenderás qué son los logaritmos, y evaluarás algunos logaritmos básicos. Esto te preparará para el trabajo futuro con expresiones y funciones logarítmicas.
¿Qué es un logaritmo?
Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.
Por ejemplo, sabemos que start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a la start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, a, end text, end superscript potencia es igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Esto se expresa con la ecuación exponencial start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Ahora supongamos que nos preguntan: "¿start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a qué potencia es igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" La respuesta sería: start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Esto se expresa con la ecuación logarítmica log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, y start color #e07d10, 16, end color #e07d10; donde start color #11accd, 2, end color #11accd es la base y start color #0d923f, 4, end color #0d923f es el exponente.
La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia start color #e07d10, 16, end color #e07d10, y la forma logarítmica aísla el exponente start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.
| Forma logarítmica | Forma exponencial | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Definición de un logaritmo
Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd, y start color #0d923f, c, end color #0d923f:
- start color #11accd, b, end color #11accd es la start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f es el start color #0d923f, start text, e, x, p, o, n, e, n, t, e, end text, end color #0d923f, y
- start color #e07d10, a, end color #e07d10 es el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, d, e, space, e, n, t, r, a, d, a, end text, end color #e07d10.
Una observación útil
Al volver a escribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente.
Comprueba tu comprensión
En los siguientes problemas convertirás entre formas exponenciales y logarítmicas de ecuaciones.
Evaluar logaritmos
¡Excelente! Ahora que ya entendemos la relación en tre exponentes y logaritmos, veamos si podemos evaluar logaritmos.
Por ejemplo, evaluemos log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Empecemos por igualar esa expresión a x.
Al escribir esto como una ecuación exponencial, obtenemos:
¿4 elevado a qué potencia es 64? Pues bien, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, así que log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Con la práctica podrás condensar algunos de estos pasos, y evaluar log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis simplemente preguntando "¿4 elevado a qué potencia es 64?"
Comprueba tu comprensión
Recuerda que para evaluar log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, puedes preguntar: "¿start color #11accd, b, end color #11accd elevado a qué potencia es start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Restricciones en las variables
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis está definido cuando la base b es positiva y diferente de 1, y el argumento o valor de entrada a es positivo. Estas restricciones son resultado de la conexión entre logaritmos y exponentes:
| Restricción | Razonamiento |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | En una función exponencial la base b debe ser positiva, por definición. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como un número positivo elevado a cualquier potencia es positivo, o sea b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, tenemos que a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | Supongamos por un momento que b pudiera ser 1. Consideremos ahora la ecuación log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. La forma exponencial equivalente sería 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Pero esto nunca puede ser verdadero, pues 1 elevado a cualquier potencia es siempre 1. Así, tenemos que b, does not equal, 1. |
Logaritmos especiales
Aunque la base de un logaritmo puede ser una de muchos valores, hay dos bases que se utilizan más que las demás.
Específicamente, la mayoría de las calculadoras tienen botones para estos dos tipos de logaritmos. Veamos cuáles.
El logaritmo común
El logaritmo común es un logaritmo cuya base es 10 ("logaritmo base 10").
Al escribir estos logaritmos matemáticamente omitimos la base. Se entiende que es 10.
El logaritmo natural
El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es e ("logaritmo base e").
En lugar de escribir la base e, indicamos este logaritmo como natural log.
Esta tabla resume lo que necesitamos saber acerca de estos dos logaritmos especiales:
| Nombre | Base | Notación usual | Notación especial |
|---|---|---|---|
| Logaritmo común | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| Logaritmo natural | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Aunque la notación es diferente, ¡la idea para evaluar un logaritmo es exactamente la misma!
¿Para qué estudiamos logaritmos?
Como acabas de aprender, los logaritmos revierten los exponentes. Por esta razón son muy útiles para resolver ecuaciones exponenciales.
Por ejemplo, el resultado de 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 puede darse como un logaritmo: x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. En las siguientes lecciones aprenderás a evaluar esta expresión logarítmica.
Las expresiones y funciones logarítmicas también resultan ser muy interesantes por sí mismas, y son muy comunes en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, muchos fenómenos físicos se miden con escalas logarítmicas.
¿Qué sigue?
Aprende sobre las propiedades de logaritmos que nos ayudan a volver a escribir expresiones logarítmicas, y sobre la regla del cambio de base, que nos permite evaluar cualquier logaritmo con una calculadora.
¿Quieres unirte a la conversación?
se podría explicar el origen de la constante e (1+1/x)Ex(26 votos)
¿En quésituaciones de la realidad puedo aplicar el concepto de logaritmo de e?(10 votos)
No me quedo claro el problema del desafio. ¿Los resultados pueden ser negativos?(6 votos)
En el desafío la respuesta es negativa porque:
Cuando tenemos una base elevado a una potencia lo que tenemos que hacer es multiplicar la base tantas veces como la potencia nos lo indica; cierto.
Bueno al elevar una base a un numero se hace lo contrario; en vez de multiplicar tantas veces como nos lo indique; tenemos ahora que dividir (a 1) tantas veces como nos lo indique ese exponente negativo.
Con lo que: log3(1/9)= -2 ------> 1/3/3=1/9 o 1/(3x3)= 1/9.
Espero haberte aclarado tu duda saludos y Bendiciones a todos...(12 votos)
Log16(8)=
¿Cual es la solucion de ese? :((5 votos)
como se resuelven los logaritmos, Ejemplo: 532x0.184, 8.125/0.93224. ?(3 votos)
como se resuelve usando las tablas?(2 votos)- como puedo enseñar este tema exponencial mas sencillo(2 votos)
la fórmula general usando letras.
log b (a) = c ⟺ b^c = a(4 votos)
- Gracias a todo el equipo de Khan Academy, hacen un excelente trabajo.(2 votos)
No comprendo como utilizar la base euler, ¿hay videos sobre ello?(2 votos)- No me quedo claro el problema del desafio. ¿Los resultados pueden ser negativos?(2 votos)
- Si. La imagen de ln (a) = c, esta dado por todos los reales. La imagen de ln es el mismo que el dominio de e^x.(1 voto)