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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 5

Lección 1: Introducción a los logaritmos
Matemáticas
Matemáticas 3
Logaritmos
Introducción a los logaritmos
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Introducción a logaritmos

Google Classroom
Aprende qué son los logaritmos y cómo evaluarlos. 

Temas con los que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Deberías estar familiarizado con los exponentes, de preferencia también con los exponentes negativos.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás qué son los logaritmos, y evaluarás algunos logaritmos básicos. Esto te preparará para el trabajo futuro con expresiones y funciones logarítmicas.

¿Qué es un logaritmo?

Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.
Por ejemplo, sabemos que 2 elevado a la 4a potencia es igual a 16. Esto se expresa con la ecuación exponencial 24=16.
Ahora supongamos que nos preguntan: "¿2 elevado a qué potencia es igual a 16?" La respuesta sería: 4. Esto se expresa con la ecuación logarítmica log2⁡(16)=4 (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").
24=16⟺log2⁡(16)=4
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números 2, 4, y 16; donde 2 es la base y 4 es el exponente.
La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia 16, y la forma logarítmica aísla el exponente 4.
He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.
Forma logarítmicaForma exponencial
log2⁡(8)=3⟺23=8
log3⁡(81)=4⟺34=81
log5⁡(25)=2⟺52=25

Definición de un logaritmo

Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.
logb⁡(a)=c⟺bc=a
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre a, b, y c:
  • b es la base,
  • c es el exponente, y
  • a es el valor de entrada.

Una observación útil

Al volver a escribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente.

Comprueba tu comprensión

En los siguientes problemas convertirás entre formas exponenciales y logarítmicas de ecuaciones.
Problema 1
¿Cuál de las siguientes es equivalente a 25=32?
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
¿Cuál de las siguientes es equivalente a 53=125?
Escoge 1 respuesta:

Problema 3
Escribe log2⁡(64)=6 en forma exponencial.

Problema 4
4) Escribe log4⁡(16)=2 en forma exponencial.

Evaluar logaritmos

¡Excelente! Ahora que ya entendemos la relación en tre exponentes y logaritmos, veamos si podemos evaluar logaritmos.
Por ejemplo, evaluemos log4⁡(64).
Empecemos por igualar esa expresión a x.
log4⁡(64)=x
Al escribir esto como una ecuación exponencial, obtenemos:
4x=64
¿4 elevado a qué potencia es 64? Pues bien, 43=64, así que log4⁡(64)=3.
Con la práctica podrás condensar algunos de estos pasos, y evaluar log4⁡(64) simplemente preguntando "¿4 elevado a qué potencia es 64?"

Comprueba tu comprensión

Recuerda que para evaluar logb⁡(a), puedes preguntar: "¿b elevado a qué potencia es a?"
Problema 5
log6⁡(36)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 6
log3⁡(27)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 7
log4⁡(4)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 8
log5⁡(1)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema de desafío
log3⁡(19)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Restricciones en las variables

logb⁡(a) está definido cuando la base b es positiva y diferente de 1, y el argumento o valor de entrada a es positivo. Estas restricciones son resultado de la conexión entre logaritmos y exponentes:
RestricciónRazonamiento
b>0En una función exponencial la base b debe ser positiva, por definición.
a>0logb⁡(a)=c significa que bc=a. Como un número positivo elevado a cualquier potencia es positivo, o sea bc>0, tenemos que a>0.
b≠1Supongamos por un momento que b pudiera ser 1. Consideremos ahora la ecuación log1⁡(3)=x. La forma exponencial equivalente sería 1x=3. Pero esto nunca puede ser verdadero, pues 1 elevado a cualquier potencia es siempre 1. Así, tenemos que b≠1.

Logaritmos especiales

Aunque la base de un logaritmo puede ser una de muchos valores, hay dos bases que se utilizan más que las demás.
Específicamente, la mayoría de las calculadoras tienen botones para estos dos tipos de logaritmos. Veamos cuáles.

El logaritmo común

El logaritmo común es un logaritmo cuya base es 10 ("logaritmo base 10").
Al escribir estos logaritmos matemáticamente omitimos la base. Se entiende que es 10.
log10⁡(x)=log⁡(x)

El logaritmo natural

El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es e ("logaritmo base e").
En lugar de escribir la base e, indicamos este logaritmo como ln.
loge⁡(x)=ln⁡(x)
Esta tabla resume lo que necesitamos saber acerca de estos dos logaritmos especiales:
NombreBaseNotación usualNotación especial
Logaritmo común10log10⁡(x)log⁡(x)
Logaritmo naturaleloge⁡(x)ln⁡(x)
Aunque la notación es diferente, ¡la idea para evaluar un logaritmo es exactamente la misma!

¿Para qué estudiamos logaritmos?

Como acabas de aprender, los logaritmos revierten los exponentes. Por esta razón son muy útiles para resolver ecuaciones exponenciales.
Por ejemplo, el resultado de 2x=5 puede darse como un logaritmo: x=log2⁡(5). En las siguientes lecciones aprenderás a evaluar esta expresión logarítmica.
Las expresiones y funciones logarítmicas también resultan ser muy interesantes por sí mismas, y son muy comunes en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, muchos fenómenos físicos se miden con escalas logarítmicas.

¿Qué sigue?

Aprende sobre las propiedades de logaritmos que nos ayudan a volver a escribir expresiones logarítmicas, y sobre la regla del cambio de base, que nos permite evaluar cualquier logaritmo con una calculadora.

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