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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 8

Lección 3: Resolver triángulos generales
Matemáticas
Matemáticas 3
Trigonometría
Resolver triángulos generales
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Repaso de las leyes de los senos y los cosenos

Google Classroom
Repasa la ley de los senos y la ley de los cosenos, y utilízalas para resolver problemas para cualquier triángulo.

Ley de senos

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Ley de cosenos

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
¿Quieres aprender más sobre la ley de los senos? Mira este video.
¿Quieres aprender más sobre la ley de los cosenos? Mira este video.

Conjunto de práctica 1: resolver triángulos mediante la ley de los senos

Esta ley es útil para encontrar un ángulo faltante, cuando están dados un ángulo y dos lados, o bien para encontrar un lado faltante cuando están dados dos ángulos y un lado.

Ejemplo 1: encontrar el lado faltante

Encontremos A, C en el siguiente triángulo:
De acuerdo a la ley de senos, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Ahora podemos sustituir valores y resolver:
ABsin⁡(∠C)=ACsin⁡(∠B)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8.45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8.45&\approx AC \end{aligned}

Ejemplo 2: encontrar el ángulo faltante

Encontremos m, angle, A en el siguiente triángulo:
De acuerdo a la ley de senos, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Ahora podemos sustituir valores y resolver:
BCsin⁡(∠A)=ABsin⁡(∠C)11sin⁡(∠A)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(∠A)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Al evaluar con una calculadora y redondear:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, point, 4, degrees
Recuerda que si el ángulo faltante es obtuso debemos tomar 180, degrees y restar lo que obtuvimos en la calculadora.
Problema 1.1
  • Corriente
B, C, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Redondea a la décima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: resolver triángulos mediante la ley de los cosenos

Esta ley es especialmente útil para encontrar la medida de un ángulo cuando están dadas todas las longitudes de los lados. También es útil para encontrar un lado faltante cuando están dados los otros lados y la medida de uno de los ángulos.

Ejemplo 1: encontrar un ángulo

Encontremos m, angle, B en el siguiente triángulo:
De acuerdo a la ley de los cosenos:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Ahora podemos sustituir los valores y resolver:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Al evaluar con una calculadora y redondear:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, point, 33, degrees

Ejemplo 2: encontrar un lado faltante

Encontremos A, B en el siguiente triángulo:
De acuerdo a la ley de los cosenos:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Ahora podemos sustituir los valores y resolver:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14.3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14.3 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Corriente
m, angle, A, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Redondea al grado más cercano.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 3: problemas verbales con triángulos

Problema 3.1
  • Corriente
"Solo queda uno", le indica Ryan a su hermano desde su escondite.
Matt recibe el mensaje y asiente, observando al último robot malvado.
"34 grados". Matt envía la señal que le informa a Ryan del ángulo que él observó entre Ryan y el robot.
Ryan registra este valor en su diagrama (como se muestra abajo) y realiza un cálculo. Después de calibrar su cañón láser a la distancia correcta, se levanta, apunta y dispara.
¿A qué distancia calibró Ryan su cañón láser?
No redondees al hacer tus cálculos. Redondea tu respuesta al metro más cercano.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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