Modelo de área para multiplicar polinomios con términos negativos

En videos anteriores hemos usado modelos de área  para visualizar la multiplicación de expresiones,   por ejemplo, multiplicar (x + 7) (x + 3). En  esos videos vimos que para encontrar el área de   un rectángulo podemos dividir sus longitudes.  En este ejemplo, una parte de este lado tiene   longitud x y el resto longitud 7, esto es  7, la longitud total de este lado es x + 7;   y en este lado la longitud es x + 3. Los  modelos de área nos ayudan a visualizar   por qué multiplicamos los diferentes términos  o cómo multiplicamos los diferentes términos,   porque si estamos buscando el área total va a ser  x + 7, (x + 7) (x + 3), por x + 3, y luego por   supuesto podemos dividir esto en sub rectángulos.  Este rectángulo, que en realidad es un cuadrado,   va a tener un área de x², este de aquí tendrá un  área de 7x, 7 por x; este de aquí tendrá un área   de 3x, y luego este de aquí tendrá una área  de 3 por 7 o 21. Y así podemos darnos cuenta   de que el producto final va a ser x² + 7x + 3x  + 21, esa será el área de todo el rectángulo.   Por supuesto podríamos sumar 7x y 3x para obtener  10x, pero algunos de ustedes podrían preguntarse:   "Bueno, todo esto está muy bien. Cuando tengo  + 7 y + 3 puedo pensar en longitudes positivas,   puedo pensar en áreas positivas, pero ¿y si no  fuera así? ¿Qué pasaría si estuviéramos tratando   con números negativos en lugar de estos?" Por  ejemplo, si ahora intentáramos hacer lo mismo,   podríamos decir: "Está bien, esta longitud  superior que tenemos aquí es x - 7";   intentémoslo y llamemos a esta longitud de aquí  arriba - 7, entonces tenemos una longitud de - 7,   y no estamos necesariamente acostumbrados a pensar  en longitudes negativas. Vamos a continuar. Y   luego esta altura sería x - 3, podríamos escribir  una x para esta parte de la altura y para esta   parte podríamos poner - 3, entonces veamos: si  continuamos con lo que hicimos la última vez, el   área aquí sería x², el área aquí sería - 7 por x,  entonces eso sería -7x, esta área verde sería -3x,   entonces esta área naranja sería -3 por -7 que es  21 positivo, y luego diríamos que todo el producto   es x² - 7x - 3x + 21. Por supuesto podemos sumar  estos dos para obtener -10x. ¿Pero esto tiene   sentido? Bueno, una forma de pensar en esto es  que un área negativa es un área que quitarías   del área total, de modo que si x resulta ser  un número positivo aquí entonces esta área   rosa sería negativa, y así la quitaríamos del área  total. Y eso es exactamente lo que está sucediendo   en esta expresión, y vale la pena mencionar  que incluso antes, cuando este no era un -7,   cuando era 7 positivo, y esto era 7x positivo,  era completamente posible que x fuera negativa,   en cuyo caso habría tenido un área negativa de  todos modos. Pero para apreciar que todo esto   funciona incluso con números negativos, haré el  ejemplo si x fuera igual a 10, eso nos ayudará a   dar sentido a las cosas. Así que si x fuera igual  a 10, obtendríamos un modelo de área como este:   tenemos 10 - 7, así que pondré menos 7 justo  aquí, multiplicado por 10 - 3. Ahora ¿puedes   darte cuenta a qué va a ser igual esto? 10 - 7  es 3, 10 - 3 es 7. Entonces todo esto debería   sumar 21 positivo, asegurémonos de que esto  ocurra realmente. Entonces, esta área azul   es igual a 10 por 10 que es 100; esta área  rosa ahora es 10 por - 7, de modo que es -70,   así que lo vamos a quitar del área total; esta  área verde es - 3 por 10 que es igual a - 30,   y luego - 3 por - 7, esta área naranja es 21  positivo. ¿Todo esto funciona? Veamos, si tomamos   esta área positiva: 100 - 70 - 30 + 21, 100 - 70  = 30 - 30 es 0, y luego sólo nos quedan 21, que es   exactamente lo que esperamos. Podríamos mover  esta área rosa sobre el área azul y restarla,   y luego podríamos tomar esta área verde, ponerla  vertical y restarla del resto del área azul,   y todo lo que nos quedaría sería esta área  naranja. Espero que esto te ayude a apreciar que   los modelos de área para multiplicar expresiones  también funcionan si los términos son negativos.   Como recordatorio, las x de aquí también  podrían haber sido negativas en un principio.