Factorizar con división de polinomios

nos dicen el polinomio pd x igual a 4 x al cubo más 19 x cuadrada más 19 x menos 6 tiene un factor conocido x + 2 reescribe pd x como un producto de factores lineales pausa en el vídeo y traten de resolverlo vamos a resolverlos juntos si no nos hubieran dado esta parte de la información que dice que tiene un factor conocido x más 2 este polinomio no sería tan sencillo de factorizar pero debido a que sabemos que existe este factor conocido x + 2 podemos usarlo para dividir esta expresión y ver si podemos factorizar el resultado vamos a hacerlo vamos a usar x + 2 para dividir el polinomio 4x al cubo más 19 x cuadrada más 19 x menos 6 y esto ya lo hemos hecho varias veces nos preguntamos cuántas veces cabe x en 4x al cubo cabe 4 x al cuadrado que escribimos en la columna de segundo grado 4 x cuadrada por x es 4 x al cubo 4 x cuadrada x 2 es 8 x cuadrada ahora arrestamos esto de acá y nos queda 19 x cuadrada menos 8 x cuadrada es igual a 11 x cuadrada bajamos el 19 x + 19 x y ahora vemos cuántas veces cabe x en 11 x cuadrada cabe 11 x veces aquí ponemos más 11 x 11 x x x es 11 x cuadrada 11 x x 2 es 22 x restamos esto de lo que está en verde y nos queda 19 de algo menos 22 negativo de ese algo es igual a menos 3 de ese algo en este caso es menos 3 x ahora bajamos al menos 6 y nuevamente vemos cuántas veces cabe x en menos 3x y cabe menos tres menos tres por x es menos 3x y menos 3 por 2 es menos 6 y como queremos restar lo que está en rojo de lo que está en magenta multiplicamos ambos por negativo todo se cancela y no queda residuo podemos reescribir px como igual a x2 por todo esto 4x cuadrada más 11 x menos 3 aún no terminamos porque no lo hemos expresado como producto de factores lineales esto de aquí es lineal pero 4x cuadrada más 11 x menos 3 no lo es a una escuadra tica por lo que tenemos que seguir factor izando y hay un par de formas con las que podemos resolver esto podemos tratar de aplicar la fórmula cuadrática o podemos factorizar por agrupación para factorizar por agrupación sólo necesitamos un coeficiente principal que no sea 1 y queremos pensar en dos números cuyo producto sea 4 x menos 3 los llamaremos a y de a por b debe ser igual a 4 x menos 3 que es menos 12 debe ser igual a 11 y solo se me ocurre que tienen que ser de signos opuestos porque el producto es negativo puede ser 12 y 1 negativo es menos 1 y b es 12 esto podría funcionar ahora lo que quiero hacer es tomar este término de primer grado 11 x y separarlo en 12 x y menos una x vamos a hacerlo y nos vamos a enfocar en esta parte de aquí por ahora después lo volveremos a juntar todo al final puedo reescribir esto como 4x cuadrada y en lugar de escribir 11 x que resalto en azul lo separo como 12 x y menos una x noten que al sumar ambos es igual a 11 x y después ponemos menos 3 veamos de estos dos primeros que puedo factorizar puedo factorizar 4x y si no están familiarizados con lo que estoy haciendo los invito a que revisen la factorización por agrupación en khan academy factor izamos 4x y nos queda x 3 y de los otros dos términos puedo factorizar el menos 1 si lo hacemos queda menos 1 por x 3 luego factor izamos los x + 3 me estoy quedando sin colores y nos queda x + 3 x 4 x voy a mantener los mismos colores para que se note de donde salieron estos números 4 x menos 1 nos está quedando una solución muy colorida ya factor hice la segunda parte en estos dos factores y ahora puedo juntar todo reescribimos pd x como un producto de factores lineales es igual a x2 x x 3 x 4 x menos 1 y con esto terminamos