Gráficas de polinomios: problemas de desafío

En este caso no sabemos los valores específicos de $a$‍, $b$‍ y $c$‍, así que no podemos determinar el comportamiento en los extremos, intersecciones con el eje $x$‍, ni los intervalos en los cuales el polinomio es positivo o negativo.

Sabemos, sin embargo, que el término constante es $2$‍. Esta es la intersección de la gráfica de $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$‍ con el eje $y$‍, pues con el valor de entrada $x=0$‍ obtenemos $y=2$‍.

Así que la intersección de la gráfica de la función con el eje $y$‍ es $(0,2)$‍. La única gráfica con esta característica es $C$‍.

En este caso no conocemos el polinomio $p(x)$‍, así que no podemos determinar las intersecciones con el eje $x$‍ o $y$‍, ni los intervalos en los cuales el polinomio es positivo or negativo.

Podemos, sin embargo, determinar el comportamiento de la función en los extremos. Puesto que el grado de $p(x)$‍ es menor que el grado de $-2x^5$‍, sabemos que $-2x^5$‍ ¡debe ser el término principal del polinomio!

Así que el comportamiento en los extremos de $y=-2x^5+p(x)$‍ es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio $-2x^5$‍.

Puesto que el grado de $-2x^5$‍ es impar $(5)$‍, y el coeficiente principal es negativo $(-2)$‍, el comportamiento en los extremos es como sigue:

Esta característica solo la tiene la gráfica $B$‍.

No sabemos el valor de $k$‍, así que no podemos afirmar nada sobre la intersección con el eje $y$‍, el comportamiento en los extremos, ni de los intervalos positivos y negativos de la gráfica de la función.

Sabemos, sin embargo, que $2$‍ es un cero de grado par. Esto significa que la gráfica de la función debe tocar el eje $x$‍ en $(2,0)$‍.

También sabemos que $-1$‍ es un cero de grado impar. Esto sgnifica que la gráfica de la función debe cruzar el eje $x$‍ en $(-1,0)$‍.

Las únicas gráficas con estas características son $A$‍ y $D$‍.