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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 13

Lección 1: Cancelar factores comunes
Matemáticas
Matemáticas 3
Funciones racionales
Cancelar factores comunes
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Introducción a las expresiones racionales

Google Classroom
Aprende qué son las expresiones racionales, y acerca de los valores para los cuales están indefinidas.

Lo que aprenderás en esta lección

Esta lección te introduce a las expresiones racionales. Aprenderás cómo determinar si una expresión racional no está definida, y cómo encontrar su dominio.

¿Qué es una expresión racional?

Un polinomio es una expresión que consiste de una suma de términos que contienen potencias enteras de x, como 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.
Una expresión racional es simplemente un cociente de dos polinomios. En otras palabras, es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios.
Estos son ejemplos de expresión racionales:
  • start fraction, 1, divided by, x, end fraction
  • start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction
  • start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Observa que el numerador puede ser una constante, y que los polinomios pueden tener grados variables y formas diversas.

Expresiones racionales y valores no definidos

Considera la expresión racional start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
Podemos determinar el valor de esta expresión para valores particulares de x. Por ejemplo, evaluemos la expresión para start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd.
2(1)+31−2=5−1=−5\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{5}{-1} \\\\ &=\goldD{-5} \end{aligned}
Así, vemos que el valor de la expresión para start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd es start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Ahora encontremos el valor de la expresión para start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.
2(2)+32−2=70=¡indefinida!\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0} \\\\ &=\goldD{\text{¡indefinida!}} \end{aligned}
El valor de entrada 2 hace que el denominador sea 0. Como la divisón entre 0 no está definida, start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd ¡no es un valor de entrada posible para esta expresión!

Dominio de expresiones racionales

El dominio de cualquier expresión es el conjunto de todos los valores posibles de entrada.
En el caso de expresiones racionales, podemos utilizar cualquier valor de entrada excepto los que hacen que el denominador sea igual a 0 (pues la división entre 0 no está definida).
En otras palabras, el dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.

Ejemplo: determinar el dominio de start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Encontremos los ceros del denominador para restringir esos valores:
(x−3)(x+4)=0↙↘x−3=0ox+4=0x=3ox=−4\begin{aligned} (x-3)&(x+4)= 0 \\\\ \swarrow \quad&\quad \searrow \\\\ x-3=0 \quad &\text{o} \quad x+4=0 \\\\ x = 3 \quad&\text{o} \quad x=-4 \end{aligned}
Entonces escribimos que el dominio es todos los números reales, excepto start text, 3, end text y start text, negative, 4, end text, o simplemente x, does not equal, 3, comma, minus, 4.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
¿Cuál es el dominio de start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
¿Cuál es el dominio de start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

Problema 3
¿Cuál es el dominio de start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
¿Cuál es el dominio de start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

Problema 5
¿Cuál es el dominio de start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

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