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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 13

Lección 1: Cancelar factores comunes
Matemáticas
Matemáticas 3
Funciones racionales
Cancelar factores comunes
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Simplificar expresiones racionales (avanzado)

Google Classroom
¿Ya has aprendido lo fundamental sobre la simplificación de expresiones racionales? ¡Excelente! Ahora adquiere más experiencia con algunos ejemplos más complicados.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Una expresión racional se considera simplificada si el numerador y el denominador no tienen factores en común.
Si esto es nuevo para ti, recomendamos que leas nuestra Introducción a la simplificación de expresiones racionales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección practicarás simplificar expresiones racionales más complejas. Veamos dos ejemplos, y luego ¡puedes tratar de resolver algunos problemas!

Ejemplo 1: simplificar space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador
Aquí es importante observar que aunque el numerador sea un monomio, también puede factorizarse.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
Paso 2: lista los valores restringidos
De la forma factorizada, vemos que x, does not equal, 0 y x, does not equal, 9.
Paso 3: cancela factores comunes
2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Paso 4: respuesta final
Escribimos la forma simplificada como sigue:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction para x, does not equal, 0

Receta aprendida

En este ejemplo vemos que algunas veces tendremos que factorizar monomios para simplificar una expresión racional.

Comprueba tu comprensión

1) Simplifica start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 2: simplificar space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador
Aunque no parece que haya factores comunes, x, minus, 3 y 3, minus, x están relacionados. De hecho podemos factorizar minus, 1 en el numerador para revelar el factor común x, minus, 3.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)Commutatividad\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Commutatividad}}} \end{aligned}
Paso 2: lista los valores restringidos
De la forma factorizada, vemos que x, does not equal, 3 y x, does not equal, minus, 1.
Paso 3: cancela factores comunes
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
El último paso de multiplicar por minus, 1 en el numerador no era necesario, pero es común hacerlo.
Paso 4: respuesta final
Escribimos la forma simplificada como sigue:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction for x, does not equal, 3

Receta aprendida

Los factores x, minus, 3 y 3, minus, x son opuestos, pues minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
En este ejemplo vimos que estos factores se cancelaron, al factorizar minus, 1. En otras palabras, los factores x, minus, 3 y 3, minus, x se cancelan por start text, negative, 1, end text.
En general, los factores opuestos a, minus, b y b, minus, a se cancelan por minus, 1, siempre que a, does not equal, b.

Comprueba tu comprensión

2) Simplifica start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
Escoge 1 respuesta:

3) Simplifica start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
para x, does not equal
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Intentemos otros problemas más

4) Simplifica start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
Escoge 1 respuesta:

5) Simplifica start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
para x, does not equal
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Simplifica start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction.
Escoge 1 respuesta:

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