Simplificar expresiones racionales: factores binomiales comunes

dado un rectángulo con largo cuadrada más 6 a 27 y ancho a cuadrada menos 9 escribe la razón entre el ancho y el largo como una expresión racional simplificada muy bien nos piden la razón entre el ancho y el largo lo voy a escribir por acá ancho ancho / largo esto de aquí sería esa razón entre el largo muy bien y luego queremos simplificar esa expresión pero aquí nos dan el largo y el ancho así que déjame empezar copiando los de este lado tenemos que poner el ancho que esa cuadrada menos 9 a cuadrada menos 99 y eso queremos dividirlo entre el largo que es cuadrada más 6 a cuadrada más 6 a menos 27 menos 27 muy bien estoy aquí sería la razón pero nos piden escribirlo como una razón simplificada y para simplificar esta expresión lo que tenemos que hacer es factorizar el numerador y el denominador si logramos factorizar los si tienen términos en común entonces podemos cancelar los y encontrar algo un poco más simple vamos a hacer eso déjame empezar factor izando el numerador que es a cuadrada menos 9 estoy aquí es un 9 a cuadrada menos 9 esto es una expresión de la forma cuadrada menos b cuadrada porque 9 estrés al cuadrado entonces la podemos factorizar como a más raíz de 9 x menos raíz de 9 nos quedaría voy a ponerlo así a más raíz de 9 o sea 3 x a menos raíz de 9 o sea a menos 3 aquí simplemente estoy utilizando la fórmula de diferencia de cuadrados si recuerdas cualquier expresión que se vea así como a cuadrada menos b cuadrada se puede factorizar como a más b por a - ve si no recuerdas por qué se da esta igualdad puedes multiplicar al lado derecho y ver qué queda el lado izquierdo bueno vamos a seguir con este problema eso lo queremos dividir entre esta expresión y para factorizar a cuadrada más 6 a 27 necesito encontrar dos números que multiplicados me den menos 27 y sumados meses de me den 6 y esos números a ver me parece que son 9 y menos 3 a ver voy a escribir la factorización y ahorita verificamos que funcione entonces eso a más 9 x a menos 3 vamos a verificar a por aysa cuadrada a x menos 3 es menos 3 a 9 con nada es 99 menos 9 a menos 36 a ajá y menos 3 por 9 es 27 entonces en efecto esto de aquí es la factorización y observa que aquí ya tenemos este factor y este factor en común en el numerador y el denominador así que podemos cancelarlo pero antes antes de que perdamos información déjame escribir algo importante necesitamos ver cuando el denominador se hace cero para saber cuando esta expresión no está definida y cuando el denominador se hace cero bueno pues se hace cero cuando es igual a menos nueve o bien cuando a es igual a tres entonces voy a ponerle aquí que 'ya tiene que ser distinto distinto de menos 9 de tres de tres y esto es importante porque habita que simplifiquemos que cancelemos estos términos puede que esta información se pierda sino la sino la pues conservamos si no la ponemos aquí al lado entonces ahora sí déjame simplificar voy a cancelar a menos tres a menos tres y esto me queda igual a igual a además tres armas 3 dividido entre a más 9 a las 9 y es muy importante escribir que a es distinto de menos 9 y de 3 a es distinto de menos 9 y de 3 observa que aquí ya no tenemos el a menos 3 entonces de aquí ya no podemos ver que a es distinto de menos 3 y por lo tanto debemos de ponerlo aquí al lado para que realmente estas dos expresiones sean equivalentes bueno entonces la razón entre el ancho y el largo como una expresión racional simplificada es a más 3 entre a más 9