Mínimo común múltiplo de polinomios

en este ejercicio nos piden que encontremos el mínimo común múltiplo que ahora vamos a llamar mcm para que sea más fácil de referirnos a él y nos piden encontrar el mcm de estos dos polinomios trecet a kubica menos 6 z cuadrada menos 9 z y el otro polinomio es 7 z a la cuarta más 21 z cúbica más 14 z cuadrada verdad entonces el primero pensemos si nos preguntaran por ejemplo cuál es el mínimo común múltiplo de dos números verdad de una forma de de pensarlo por ejemplo por ejemplo nos fijamos en sus múltiplos digamos de 4 y 6 pensemos en los múltiplos de 4 y 6 muy bien entonces si pensamos en los múltiplos por ejemplo de 4 tendríamos a 8 a 12 a 16 y así podríamos seguir nos verdad si pensamos en los múltiplos de 6 tendríamos 12 18 24 y podríamos también seguirnos hacia adelante verdad entonces en realidad estos dos números 4 y 6 pueden tener varios múltiplos en común verdad pero lo que nos piden es encontrar el más chico de ellos entonces por ejemplo aquí podemos ver que 12 es un múltiplo en común de 4 y 6 y es el más chico de todos los múltiplos con digamos que coincide en verdad esto el 12 es un múltiplo común de 4 y 6 y además es el más chico verdad y otra forma de pensarlo es tratando de descomponer en factores primos a 4 y 6 por ejemplo a 4 lo podemos escribir como 2 x 2 verdad y 6 a 6 lo podemos escribir como 2 x 3 entonces el mínimo común múltiplo como un múltiplo de 4 y 6 debe tener todos los factores de 4 y 6 y tratar de que no tengan más de eso es verdad entonces por ejemplo para qué bueno es este mínimo común múltiplo debe tener estos dos factores 2 verdad debe tener estos dos factores 2 y también debe tener el factor 2 y el factor 3 para que para que sea un múltiplo de 6 verdad pero aquí ya tenemos un factor 2 entonces lo único que faltaría es poner un factor 3 entonces aquí tenemos estos dos factores 2 que corresponden a 4 y también tenemos 2 y 3 que corresponden a 6 entonces este esta multiplicación sería 2 por 2 son 4 por 3 son 12 muy bien entonces esta es otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo de dos números verdad lo importante es que debe tener todos los factores de ambos números y no más verdad debe tener el mínimo número de factores posibles pero que complete en todos los factores de estos no menos entonces cuando cuando pensamos digamos esta idea para polinomios esencialmente es lo mismo pero necesitamos ver quiénes son los factores de los polinomios verdad así que el mínimo común múltiplo de dos polinomios debe contener a todos los factores de ambos y no más de lo necesario verdad entonces en realidad digamos un múltiplo de ambos polinomios se podría encontrar simplemente multiplicando lo es pero queremos el mínimo común múltiplo así que primero vamos a tratar de factorizar estos polinomios muy bien entonces empecemos factor izando esta expresión de aquí 3 zeta cúbica menos 6 se está cuadrada menos 9 zeta y podríamos ver por ejemplo que este polinomio tiene un factor 3 c está verdad es divisible entre 3 todos estos i salut tienen un factor 7 entonces podemos factorizar 3 zeta y ahora 3 zeta por zeta cuadrada nos da 3 z kubica menos 3 por 2 nos dará 6 y z por z nos da z cuadrada y finalmente 3 z por menos 3 nos da menos 9 z verdad entonces ahora podríamos tratar de pensar en factorizar este polinomio de grado 2 verdad entonces una forma de pensar esto es buscar dos números que multiplicados me den menos 3 pero que sumados nos den menos 2 verdad entonces por ejemplo funcionaría menos 3 y más 1 verdad entonces aquí vamos a poner 3 z que multiplica a z más 1 por zeta menos 3 verdad menos tres más uno son menos dos y menos tres por uno es menos tres entonces aquí ya tenemos la factorización de esta expresión ahora vamos con el segundo polinomio sería 7z a la cuarta más 21 zeta cúbica más 14z cuadrada muy bien podríamos ver aquí que podríamos factorizar por ejemplo 7 se está cuadrada 7 se está cuadrada verdad todos estos números son divisibles entre 7 y todos tienen al menos una seta cuadrada verdad ahora bien esto a quien tendría que multiplicar bueno 777 se está cuadrada x se está cuadrada nos da 7 z a la cuarta más 7 se está cuadrada por 3 z verdad nos da 21 set a kubica + 2 verdad aquí 2 por 77 cuadrada nos da 14 c está cuadrada muy bien y otra vez tratamos de factorizar esta expresión de aquí verdad sería dos números que multiplicados me den 2 y suma 2 3 eso es 2 y 1 verdad entonces 7 se está cuadrada que multiplica uno por z 2 esta es una factorización para esta expresión verdad entonces ya factor izamos estos dos polinomios de la misma forma que factor izamos a los a los números de acá verdad entonces ahora tenemos que tomar los factores necesarios para construir un múltiplo en común verdad entonces por ejemplo empecemos de este lado tomemos 3 zeta por zeta más uno por zeta menos 3 verdad de hecho de hecho voy a hacer un poquito más claro esto voy a ponerlo así voy a poner 3 x se está muy bien para que se vea que tenemos todos estos factores muy bien ahora necesitamos un factor 7 verdad y ese no lo encontramos en estos que ya hemos elegido entonces vamos a tener que agregar un factor 7 necesitamos se está cuadrada que lo podemos ver como zeta por zeta y aquí ya tenemos una zeta entonces podríamos agregar otras z aquí digamos o bien simplemente decir que estas dos zetas se vuelven z cuadrada verdad y finalmente agregamos un zeta más uno pero ese ya está aquí este factor se está más o no ya lo teníamos y sólo nos faltaba agregar z más 2 muy bien entonces digamos poniendo ya esto en limpio con un color más neutro tendríamos 7 por 3 que son 21 se está cuadrada por zeta más 1 por zeta menos 3 por zeta más 2 y aquí ya tenemos nuestro mínimo común múltiplo para estos dos polinomios y de verdad me gustaría que notarás que estamos haciendo exactamente lo mismo que cuando hablábamos de números verdad en realidad estábamos descomponiendo en factores por ejemplo para los números descomponemos en factores primos y vemos que el mínimo común múltiplo debe contener a todos los factores de ambos pero no más de ello verdad por ejemplo por aquí podríamos multiplicar por aquí podríamos multiplicar por 100 verdad pero eso ya no sería el mismo ya no sería el mínimo común múltiplo verdad lo mismo acá podríamos multiplicar por 100 y tener 1200 pero este ya no sería el mínimo común múltiplo de estos dos números así que en realidad esto no es el mínimo común múltiplo pero esto sí que es el mínimo común múltiplo de estos dos polinomios