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Contenido principal
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Transcripción del video

aquí nos dan la función f x igual a 7 x cuadrada menos 2 x todo esto dividido entre 15 x + 5 y nos preguntan a qué valor se aproxima la función f x cuando x tiende a menos infinito es decir cuando x se hace cada vez más y más y más negativo verdad entonces como siempre te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema por tu propia cuenta bueno tratemos de hacerlo todos juntos a mí sobre todo lo que lo que me gusta mucho cuando trabajo este tipo de problemas es reescribir la función vamos a reescribir la función f x que es 7 x cuadrada menos 2 x todo esto dividido entre 15 x más 5 muy bien esta es nuestra función original verdad y digamos una técnica interesante para resolver este tipo de problemas es dividir el numerador y el denominador entre la potencia de x con el exponente más grande que podamos encontrar en el denominador entonces en este caso por supuesto estaríamos hablando de este verdad aquí tenemos la potencia digamos con el exponente más grande en x que podemos hallar en el denominador entonces lo que vamos a hacer es dividir o si quieres puedes pensarlo como multiplicar por 1 entre x el numerador y también multiplicar por 1 entre x el denominador verdad y en realidad cuando multiplicamos por digamos el mismo factor tanto en el numerador como en el denominador en realidad estamos multiplicando por 1 verdad aquí tenemos uno entre x dividido entre 1 entre x que es 1 así que en realidad no estamos cambiando ningún valor de esta expresión verdad entonces lo que nos permite hacer esto es que ahora vamos a poder reescribir esta función de una forma que sea más fácil de analizar el comportamiento cuando x se aproxime a menos infinito así que vamos a reescribir esto verdad esto simplemente será igual a 7x cuadrada que multiplica x 1 entre x tendremos simplemente 7x verdad y menos 2x x 1 entre x simplemente es menos dos luego dividimos entre el 15 x x 1 entre x que es simplemente + 5 que multiplica a 1 entre x eso simplemente será 5 entre x muy bien entonces esta expresión que hemos encontrado aquí esta expresión que hemos encontrado aquí es equivalente a la que teníamos anteriormente lo único digamos que hemos ganado y expresando lo de esta forma es que será más fácil analizar el comportamiento de esta función cuando x se aproxime a menos infinito muy bien entonces lo que podemos observar es qué pasa con los términos en donde aparece x por ejemplo aquí en el numerador tenemos este término 7x entonces en realidad este término se hace muy grande y negativo cuando x se digamos tiende a menos infinito verdad este término se hace muy muy grande pero con valores negativos y si esto es muy muy grande con valores negativos al restarle 2 pues en realidad sigue siendo un número muy muy grande con valores negativos verdad cuando dividimos aquí tenemos 15 + 5 entre x así que perdón si tenemos 15 + 5 entre x este término de aquí este término de aquí es 5 dividido entre un número muy muy grande aunque sea negativo verdad el punto es que cuando dividimos un número entre un número muy grande esto se va a aproximar cada vez más a 0 aunque se va a aproximar con valores negativos verdad porque el denominador sería negativo entonces aquí tenemos que todo el denominador va a parecerse simplemente a 15 verdad entonces como como podríamos concluir tenemos un número que es muy muy grande con valores negativos luego le restamos 2 que pues prácticamente no le hace nada verdad y luego dividimos entre 15 más un número que prácticamente 0 verdad pero si ya teníamos aquí arriba un número que era muy muy grande con valores negativos y dividimos entre 15 pues en realidad seguimos teniendo un número muy grande con valores negativos así que toda esta función va a atender a menos infinito verdad entonces ahora una forma en la que también podríamos abordar este problema es pensar en los términos que van a dominar tanto en el numerador como en el denominador de hecho de hecho a mí me gusta más esta técnica entonces vamos a ver cómo sería esto nosotros tenemos quiénes fx aquí tenemos f x es 7 bueno de una vez lo voy a hacer si pensamos en los términos dominantes de esta función verdad si pensamos en los términos dominantes pues tenemos que pensar en aquellas potencias de x que tengan el exponente más grande verdad porque así cuando x sea muy muy grande o digamos que tenga una magnitud grande entonces vamos a ponerlo así para x grande y cuando nos referimos a que x sea grande estamos pensando en que su valor absoluto o también que le llamamos magnitud verdad su valor absoluto o su magnitud es muy grande en eso estamos pensando cuando esto ocurre pues justamente el término dominante en el numerador es 7x cuadrada y el término dominante en el denominador es 15 x así que esta función fx se va a parecer a 7x cuadrada en el numerador y 15 x en el denominador verdad entonces si nosotros vemos a quienes esto realmente simplemente tendremos 7x dividido entre 15 y esto es muy fácil de ver verdad que es lo que va a ocurrir cuando x tiende a menos infinito porque aquí tenemos 715 abós de un número que es cada vez más y más negativo entonces esto realmente se ve que se hará menos infinito cuando x tiende a menos infinito entonces hagamos otro ejercicio más vamos a hacer otro ejercicio aquí tenemos aquí tenemos esta función q de x que es 6x quinta menos 2 dividido entre 3x a la 2 más x a la 9 nos dice encuentra la a sin tota horizontal de q y como siempre trata de resolverlo primero por tu propia cuenta aunque de todos modos lo vamos a hacer todos juntos muy bien entonces cuando cuando se refiere encontrar la acin tota horizontal de una función en realidad estamos pensando digamos en el valor al que se aproxima nuestra función q de x cuando x tiende a infinito o cuando x tiende a menos infinito verdad es decir vamos vamos a ver digamos un ejemplo gráfico digamos que nosotros tenemos aquí nuestros ejes de coordenadas ahí está el eje horizontal el eje vertical y digamos que tenemos una función que en igualados e igualados tiene una cinta horizontal entonces quizás la función de la que estemos hablando no sé cómo podría verse a lo mejor se ve algo así pero el punto es que cuando x se hace cada vez más más grande este esta función se va a aparecer cada vez más al valor de igualados verdad la función tiende a 2 cuando x tiende a infinito y alomejor ocurre también que por el lado izquierdo quién sabe cómo se vea pero cuando x tiende a menos infinito esa función se va a aparecer a 2 sin llegar a hacer dos verdades es la idea importante de lajas into estás nunca alcanzan ese valor muy bien quizás también podríamos verlo de esta otra forma a lo mejor tenemos una función que por ejemplo aquí tenga una a sin tota vertical verdad es decir que cuando se aproxime a este valor de x tiende pues no sé digamos a menos infinito entonces podría verse algo así verdad aquí tenemos un asiento está horizontal pero también tenemos una cinta vertical en este valor verdad y quizás del lado derecho viene desde acá arriba y se va aproximando a este valor de igual a 2 cuando x se hace muy muy grande verdad entonces podemos tener varias varios tipos de comportamientos veamos qué es lo que ocurre con nuestra función q de x para eso vamos a reescribir la aquí vamos a poner q de x q de x pues como como lo vimos en el ejemplo anterior lo que tenemos que hacer es dividir el numerador y el denominador entre la potencia de x con el exponente más grande en este caso sería x a la 9 verdad entonces si dividimos esto entre x a la 9 tendríamos 6 x a la 5 entre quizá la 9 eso es 6 6 dividido entre x a la 4 no se ve muy bien a la 4 - 2 / / x a la 9 y luego el denominador también vamos a dividirlo entre quizá la 9 así que tendremos 3x cuadrada entre x a la 9 esto es 3 entre x a la 7 más x a la 9 entre x a la 9 que es 1 entonces pensemos qué es lo que ocurre con cada uno de estos términos cuando x se hace muy muy grande ya sea digamos que tiende a infinito oa menos infinito bueno pues aquí estaríamos dividiendo 6 entre un número muy muy grande ya sea positivo o negativo así que esto se va a aparecer a 0 lo mismo va a ocurrir con este término verdad 2 dividido entre un número muy grande positivo o negativo no importa se verá digamos de tenderá a cero verdad lo mismo ocurre con este término en el denominador esto tenderá a 0 porque 3 dividido entre un número muy grande se parece a 0 verdad y aquí finalmente simplemente nos queda este este número esta constante que es 1 entonces lo que podemos observar es que en el numerador se aproxima 0 y en el denominador se aproxima a 1 entonces esta función se parece a 0 entre 1 que es 0 verdad es decir q de x tiende a cero cuando x tiende a infinito oa menos infinito es decir la cinta horizontal la recta de igual a cero veamos un último ejercicio aquí tenemos otra función f x aquí nos dan esta función y nos preguntan a qué valor se aproxima la función f x cuando x tiende a menos infinito muy bien entonces hagamos el digamos la misma técnica que hemos estado utilizando tomamos fx y dividimos tanto en el numerador como en el denominador entre la potencia con el exponente más grande que tenemos en x en el denominador que en este caso es x a la cuarta verdad entonces dividimos tanto arriba como abajo entre x a la cuarta y obtenemos lo siguiente de hecho lo voy a poner quizás acá del lado derecho para ponerlo del lado derecho vamos a dividir entre este término verdad entonces tendremos 3x cuarta entre x cuarta simplemente será 3 menos 7 x cuadrado entre x cuarta es 7 sobre x cuadrada y menos uno dividido entre x cuarta es uno menos 1 entre x cuarta todo esto va dividido entre x cuarta entre x cuarta es 1 luego tenemos menos 2x cúbico me perdón menos 2 x cúbica entre x a la cuarta es menos 2 sobre x verdad y luego tenemos más 3 dividido entre x a la cuarta entonces nuevamente podemos ver que este término de aquí se va a aproximar a 0 verdad este término de aquí se va aproximando a 0 este también se aproxima a 0 y finalmente este también todo esto porque son constantes divididas entre números cada vez más y más grandes entonces concluimos que esta función tiende a 3 entre 1 que podemos decir que es 3 verdad entonces esta es digamos este es el valor que toma f x cuando x tiende a menos infinito otra forma de pensar este problema es digamos considerando los términos dominantes verdad este sería el término dominante en el numerador este sería el término dominante en el denominador y para cuando x es muy muy grande es decir cuando existir lea menos infinito estos términos van a ser digamos despreciables porque estos son los términos que crecen más más rápido entonces podemos escribir que fx se parece a 3x a la cuarta que es el término dominante en el numerador dividido entre x a la cuarta que es el término dominante en el denominador verdad y esto es para valores de x con digamos de magnitud grande verdad es decir de valor absoluto grande magnitud grande grande muy bien entonces aquí simplemente podemos ver que las equis cuartas se cancelan y concluimos que fx se parece a tres cuando x tiene una magnitud grande así que esa es otra forma en la que podrías digamos abordar este problema