Graficar funciones racionales 4

vamos a hacer un tercer ejemplo de graficar una función racional y es que esto realmente no se puede practicar demás bueno la que vamos a hacer es igual a x dividido entre x al cuadrado menos x menos 6 y lo primero que voy a hacer es factorizar el denominador para ver cuando esta expresión está indefinida y para encontrar las asientos verticales vale bueno abajo tenemos una expresión cuadrática entonces tenemos que encontrar dos números que multiplicados nos den menos 6 y que sumados nos den menos uno creo que tres y dos con algunos signos adecuados funcionan sí creo que x + 2 con x menos 3 funciona a haber 2 x menos 13 es menos 6 2 menos 13 es menos 1 muy bien entonces podemos reescribir esta expresión racional como x / / / x + 2 x x 3 entonces ya tenemos los puntos en los cuales el denominador se hace igual a 0 verdad es cuando x + 2 es igual a 0 o bien cuando x menos 3 es igual a 0 cuando x es igual a menos 2 lo voy a poner por aquí cuando x es igual a menos 2 o cuando x es igual a 3 va entonces ahí se anula el denominador pero para tener asiento está vertical necesitamos que además esos términos no se cancelen con nada del numerador y en efecto no se cancela con nada verdad arriba no hay ni x2 ni x 3 entonces x igual a menos 2 y es igual a 3 si son las síntomas déjame ponerlas aquí en el dibujo entonces x igual a menos 12 es por acá voy a poner así las líneas punteadas como siempre aquí tenemos una sin tota vertical en x igual a menos 2 y tenemos otra a sin tota vertical en x igual a 3 entonces viene por acá y sube y sube y sube y baja la línea punteada ok entonces ahí tenemos otra sin tota vertical vale bueno ahora qué sucede con las cintas horizontales tendremos alguna sin tota horizontal bueno pues qué sucede cuando x se hace muy muy grande tenemos que analizar los términos de mayor grado en el numerador y en el denominador en el numerador tenemos grado 1 y en el denominador tenemos grado 2 aquí tenemos x y aquí x al cuadrado entonces resulta que el x al cuadrado le gana a todo lo demás a qué me refiero con esto pues imagínate que ponemos un 1.000.000 si ponemos un millón aquí arriba nos queda un millón aquí abajo un millón al cuadrado y aquí otras cosas que son pequeñas en comparación con el un millón al cuadrado entonces nos quedaría como un millón entre un millón al cuadrado y eso es como uno entre un millón o sea realmente este x al cuadrado hace que lo que pongamos abajo importe mucho más de modo que si ponemos una equis muy muy muy muy grande pues entonces vamos a dividir entre algo muy muy grande y nos vamos a ir a cero entonces conforme x conforme x tiende a infinito tenemos que tiende a cero y lo mismo si x tiende a menos infinito vale de esta forma vamos a tener una cinta un asiento está horizontal en de igual a cero con este color azul está básicamente sobre el eje x entonces ahí tenemos la línea igual a 0 que es el eje x vale entonces otra vez como le hicimos pues comparamos términos de mayor grado arriba el grado es 1 abajo el grado es 2 el denominador tiene mayor grado entonces esta expresión se va a ir a 0 de hecho hasta lo podemos verificar con la calculadora si vamos a hacer eso nada más para para que veamos cómo salen las cuentas vamos a probar valores 10 100 y 1000 entonces voy a sacar la calculó que ham encenderla voy a salirme de esta gráfica entonces vamos a ver qué pasa si le ponemos digamos x igual a 10 entonces tenemos que hacer 10 sin eso no es cero 10 10 dividido entre aquí voy a abrir paréntesis para poner el denominador 10 al cuadrado menos 10 menos 10 menos 6 menos 6 bueno x igual a 10 no es tan grande así que no es tan cercano a cero pero ya es menos de uno es punto uno vale estoy es chiquito vamos a ver qué pasa si ponemos una equis más grande déjame copiar la entrada anterior y aquí voy a poner ahora x igual a 100 entonces necesito meter un 0 aquí es un cero a esta otro 6 tercero ahora vamos a meter otra vez el cero y por acá también entonces un cero más le damos enter y mira nos vamos acercando cada vez más a cero tenemos punto 0 1 0 0 sea creció la equis y la ye se hizo más pequeña vamos a hacer uno más nada más así por pura diversión entonces tenemos que meter aquí otro cero vamos a evaluar la expresión en 1000 vamos a meter otro cero más y finalmente aquí un último cero y que nos queda pues si se sigue y se sigue yendo a 0 vale entonces nos queda algo todavía más pequeño y si en efecto tenemos que cuando x se va infinito ya se va a cero puedes probar otros valores en tu calculadora por ti mismo vale bueno ya que tenemos las actitudes verticales y está siendo está horizontal vamos a probar algunos valores para entender el comportamiento por ejemplo vamos a hacer una pequeña tabla le voy a poner con este color verde limón entonces vamos a poner aquí algunos valores de xy de iu y vamos a entender primero qué sucede aquí adentro en esa línea que lo superficial déjame hacerla con la realmente a con la herramienta de línea recta entonces vamos a ver qué sucede aquí adentro déjame poner de valores 1 - 1 entonces cuánto nos quedaría y en cada caso aquí nos quedaría 0 entre 0 - 06 00 06 nos quedaría 0 entre -6 aquí voy a hacer las cuentas 0 entre cualquier cosa que no sea cero es cero entonces el punto cero cero está en la gráfica voy a hacer este de una vez a ver aquí nos quedaría 111 dividido entre 111 cuadrados 1 - 1 - 6 y éste se va con este nos queda menos un sexto nos queda menos un sexto y finalmente en x igual a menos uno aquí voy a poner menos un sexto menos un sexto y finalmente en x igual a menos uno nos queda menos uno menos uno dividido entre menos uno al cuadrado que es uno menos menos uno menos seis esto de aquí es menos uno entre 2 6 2 6 4 entonces nos queda igual a un cuarto aquí nos queda un cuarto vamos a pasar estos puntos a la gráfica entonces está el 0 0 es este de acá está el 1 - un sexto 1 como a menos un sexto más o menos como por acá y el menos 1,4 menos 1 a lo mejor ese un 6º me quedo muy arriba más bien sería como por ahí y finalmente menos 1 como en cuarto menos 1,1 cuarto muy bien bueno están súper pegaditos pero creo que aquí ya podemos decir que sucede porque porque observa necesitamos que al acercarnos a esta sin total la función se pegue a ella y bueno aquí ya tenemos que esto va creciendo entonces entonces yo digo que la gráfica se va a ver más o menos algo así vale entonces aquí empieza a crecer y se empieza a pegar a la cim total y acá de un poco sueca para volver a hacerla ahí va creciendo ustedes no regresarse siempre ir hacia la izquierda y crecer izquierda y crecer bueno creo que es la idea verdad ahí está y bueno digo esta fue como intuición pero en realidad podemos verificar que al acercarnos a este a este punto a -2 de a de veras nos vamos infinito cómo le hacemos pues podemos tomar un punto cercano al menos 2 por la derecha por ejemplo menos 1.9 9999 y vamos a analizar qué sucede aquí menos 1.9 999 hace que lo de arriba sea negativo que este de aquí sea negativo verdad es menos menos algo menos otra cosa y aquí menos algo más 2 es positivo entonces tenemos menos entre menos que es más y aquí hay otro más entonces nos queda más entonces ésta va a ser una expresión positiva pero x más 2 va a ser súper súper súper chiquito súper súper cercano a 0 dividimos entre algo súper cercano a 0 entonces toda la expresión se hace muy grande se hace muy grande y con signo positivo entonces por eso nos vamos a infinito de manera similar aquí y bueno del 0 pasamos a algo negativo entonces lo que nos dice en nuestra intuición es que tenemos que irnos ahora a menos infinito entonces aquí empieza a bajar y a bajar y nos vamos acercando a la cinta pero nunca la tocamos y en efecto también podemos probar con valores cercanos a a3 por la izquierda por ejemplo 2.999 92 puntos 999 hace que éste sea positivo que éste sea positivo y que esté de acá sea negativo entonces nos queda algo negativo pero como esto es muy chiquito todo queda muy grande nos queda algo muy grande negativo y grande negativo quiere decir que se va a menos infinito vale que se va para allá bueno entonces ahí están las explicaciones de lo que sucede aquí adentro vamos a probar algunos puntos más para ver qué pasa por acá y para ver qué pasa por acá entonces déjame tomar otro color vamos a pasarnos a un color azul un poco más fuerte entonces ahora vamos a hacer otra pequeña tabla eso como una continuación de esta pero la voy a poner acá por para tener un poco más de espacio entonces sí pongo x igual a 4 digamos por acá que sucede pues a ver nos quedaría 4 aquí voy a hacer las cuentas 4 dividido entre 4 al cuadrado que es 16 - 4 - 4 - 6 16 menos 4 es 12 6 6 entonces nos queda 4 sextos 4 sextos y 4 sextos es lo mismo que dos tercios dos tercios y finalmente voy a poner aquí el menos tres para entender qué sucede por acá entonces en menos tres menos tres este punto en menos tres tenemos menos tres dividido entre menos tres al cuadrado que es 9 menos menos 3 que es más 3 menos 6 nos queda menos tres menos 3 / 9 312 6 de 6 entonces nos queda menos un medio tenemos queda menos un medio vale vamos a copiar estos puntos aquí a nuestra gráfica el 4,2 tercios uno dos tres cuatro dos tercios más o menos va por ahí y finalmente el menos tres coma menos un medio menos 1 - 2 - 3 - un medio más o menos son puntos aproximados yo digo que con esto ya podemos entender totalmente qué pasa porque ve aquí a la derecha tenemos esta 5ta vertical a la cual tenemos que acercarnos hacia ella pero además tenemos que acercarnos a esta 5ta horizontal entonces al parecer la única forma de completar esta función es venir desde desde infinito en la cim total bajar sin este está bien difícil de hacer déjame hacerlo para el otro lado entonces más bien empezando en este punto y acercándonos al 3 tenemos que irnos a infinito sí creo que eso queda un poco mejor pero todavía así es un poco chueco ahí está ahí vamos nos acercamos más y más y luego de este lado tenemos que acercarnos a la 5ta horizontal aquí igual a cero vale entonces ya tenemos lo que pasa acá y finalmente veamos qué sucede de este lado de este lado tenemos que empezar cerca de la cim total entonces empezar cerca de igual a cero y tenemos que empezar a bajar hasta llegar a este punto y luego tenemos que pegarnos a estas in total de acá así que tenemos que bajar tenemos que bajar bajar chinesse si no quedó nada bien lo voy a volver a hacer bueno se ve la idea general verdad se ahora tenemos que bajar y nada más acercarnos al asiento está muy bien entonces bueno según nuestro análisis así de graficar una expresión racional la gráfica se ve más o menos así finalmente para verificar que todo haya salido muy bien déjame dibujar esto en la calculadora para ver que nos queda para verificar nuestra respuesta entonces aquí está la cálculo la enciendo no voy a graficar déjame borrar esta expresión y tengo que poner ahora la expresión x x dividido entre x al cuadrado x al cuadrado menos x menos x menos 6 menos 6 entonces suena el redoble de tambores y si esto es exactamente lo que hicimos bueno aquí se ve un poco chueco porque en realidad no tiene tan buena resolución la calculadora pero es la misma idea verdad venimos a horizontales bajamos cuando llegamos a esta sin tota vertical luego venimos de infinito bajamos otra vez nos vamos a infinito y otra vez nos vamos para la sien total horizontal de hecho podríamos ajustar un poquito la vista para que se vea mejor a lo mejor convenga poner aquí un -5 lo voy a poner un -5 menos 5 y aquí voy a poner un 5 y con un poco de suerte ahora se ve mejor ahí está si esto se ve mucho mejor entonces venimos venimos baam tenemos una sin tota luego avanzamos avanzamos bajan segunda sin tota y otra vez nos vamos a la 5ta horizontal bueno espero que te hayan parecido pues divertidos todos estos ejemplos que hicimos y bueno espero que te haya gustado el tema y que estos vídeos te hayan sido de utilidad