Gráficas de funciones racionales (ejemplo anterior)

aquí tenemos tres funciones esta función f en color magenta esta función g en este color verde y esta función a h con esta línea punteada color violeta y aquí tenemos tres potenciales expresiones tres expresiones que podrían corresponder a estas funciones lo que quiero hacer en este vídeo es establecer la correspondencia entre la gráfica y la expresión de la función para empezar te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos hay un par de maneras de hacer esto la primera es hacer directamente la gráfica de estas funciones y ver a cuál de estas que tenemos aquí corresponde o podemos a partir de las gráficas de las funciones determinar cuáles son las asín totas verticales y horizontales y ver cuál de estas expresiones corresponde a dichas assynt o estás no va a hacer de la segunda manera viendo las gráficas tiendo a ser más de visualizar las cosas parece ser que f voy a empezar con f parece ser que f tiene una sintética en x 5 perdón en x igual a menos 5 entonces f tiene una cinta vertical en x 5 ahora veamos cuál de estas tiene una cinta vertical en x 5 recordemos que para que haya una sin tota vertical la función no está definida ahí y aún así tendríamos que checar que efectivamente es una sin tota vertical y no un hoyo una discontinuidad puntual en la función así es que revisemos las expresiones veamos esta primera expresión si está definida en x igual a menos 5 no estaría definida si el denominador fuera 0 pero aquí vemos que menos 5 menos 5 es igual a menos 10 si está definida para ese valor así es que ésta no s t ésta también está definida en x igual a menos 5 el denominador no se hace 0 ésta tampoco es f esta de aquí el denominador se hace cero cuando x es igual a menos 5 así es que por un razonamiento meramente deductivo esta expresión es la única que posiblemente es fx verifiquemos que es consistente con otros elementos de la gráfica chequemos lajas into estás horizontales al ver la gráfica observamos que aquí hay una sintonía son tal cuando existiendo infinito cuando x tiene es cada vez más grandes fx tiende a 1 se cumple eso para la expresión a medida que x se hace cada vez más grande a medida que existiendo infinito entonces menos 2 y 5 ya no van a afectar a medida que extiende infinito para valores de x grandes esto se va a aproximar a x sobre x los cuales son los términos de mayor orden así es que esto tiende a 1 restar 2 y sumar 5 restar 2 al numerador y sumar 5 al denominador no afecta para nada cuando x es un número que es cada vez más grande así es que fx tiende a 1 f x es consistente con la cinta horizontal hay algún otro aspecto que podamos checar bien cuando se hace de x igual a 0 esto se cumple cuando el numerador es igual a 0 es decir cuando x es igual a 2 lo cual se ve aquí en la gráfica estoy satisfecho con esta fx veamos ahora que x gdx tiene una cinta vertical en x igual a 5 aquí la tenemos la cinta está vertical en x 5 pero espera aquí nos damos cuenta que no nos sirve de mucho esta cinta está vertical para discernir entre g y h pues ambas tienen las into está vertical en x 5 g y h ambas tienen asiento está vertical en x igual a 5 y aquí lo puedes ver cuando x igual a 5 ambos denominadores se hacen 0 con lo cual estas funciones no están definidas en x igual a 5 veamos si la cinta horizontal nos puede ayudar parece que tiene una sintonía horizontal en ye igual a menos 2 en g igual a menos 2 cuando x toma valores negativos o positivos muy grandes head se aproxima a menos 2 veamos qué sucede con esta de arriba bien eliminando paréntesis en el numerador esto va a ser igual a 2x menos 12 sobre x menos 5 ahora cuando x es cada vez más grande ni el menos 5 ni el menos 12 van a influir cuando existiendo infinito esto va a ser aproximadamente igual a 2x sobre x y aquí voy a precisar esto para no mejoro a poner como cuando x tiende a infinito esto tiende a 2x sobre x y esto se aproxima a 2 cuando x tiende a infinito la función se aproxima 20 g de x se aproxima a menos 2 en cambio vemos que hdx cuando x tiende a infinito si se aproxima a 2 tiene una cinta horizontal en igualados con lo cual esta de aquí arriba parece ser hdx parece ser hdx y podemos confirmar esto cuando se hace hdx igual a 0 bueno cuando el denominador es 0 y esto ocurre cuando x es igual a 6 aunque esto en realidad tampoco nos ayuda mucho porque x también se hace cero cuando x es igual a 6 así es que es la cinta horizontal lo que nos da la clave para distinguir entre hdx y g x cuando x es cada vez más grande restar 12 el numerador y 5 el denominador no va a importar vemos los términos de mayor orden que son 2x sobre x con lo cual la función se aproxima a 2 y eso corresponde a h ahora para g si usamos nuestro razonamiento deductivo pues esperamos que ésta sea gdx a ver veamos que de x es igual a 12 menos 2x sobre x menos 5 ahora cuando x es cada vez más grande cuando x tiende a infinito tomamos los términos de mayor orden esto es aproximadamente igual a menos 2 x sobre x y esto es cuando existiendo infinito menos 2 x sobre x es igual a menos 2 o esto se aproxima a menos 2 que es de hecho donde se ubica a la sin tota horizontal de g cuando x es cada vez más grande que se aproxima a menos dos y cuando x es cada vez más pequeña que también se aproxima a menos 2 menos 2 x menos un billón sobre menos un billón también va a ser menos 2 con lo cual podemos confiar que ésta efectivamente es gd x