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Graficar funciones racionales de acuerdo a sus asíntotas

CCSS.Math:
HSF.IF.C.7d

Transcripción del video

tenemos que fx es igual a 3 x cuadrada menos 18 x menos 81 sobre 6 x cuadrada menos 54 y lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar las ecuaciones de las cintas horizontal y vertical te invito a que le pongas pausa al video e intentas hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos supongo que ya lo intentaste así es que encontremos cada una de ellas consideremos primero la a sin tota horizontal la a sin tota horizontal a ver si existe una de ellas la us in toto horizontal es aquella recta aquella recta horizontal a la cual se acerca la función cuando el valor absoluto de x tiende a infinito cuando el valor absoluto de cristiano infinito esto es a qué valor tiene fx cuando x tiene infinito ya qué valor tienen de fx cuando extiende a menos infinito hay varias maneras de hacer esto para empezar déjame escribir fx nuevamente por acá abajo esto es 3 x cuadrada menos 18 x menos 81 todo eso dividido entre 6 x cuadrada menos 54 y aquí hay dos maneras de pensar en esto a medida que x tiene valores cada vez más grandes que el valor absoluto de x es cada vez más grande los términos de mayor orden arriba y abajo en la fracción los términos de mayor orden en el numerador y el denominador son los que van a dominar y cuáles son estos términos de mayor orden en el numerador estrés x cuadrada y en el denominador es 6x cuadrada así es que cuando el valor absoluto de x tiene infinito cuando el valor absoluto de x tiende a infinito estos dos términos van a dominar así es que fx es aproximadamente igual a 3 x cuadrada sobre 6 x cuadrada estos términos ya no van a pesar de mente -54 ya no va a crecer y menos 18 x va a crecer mucho más lento que 3x cuadrada los términos de mayo el orden son los que van a pesar así es que fx se va a comportar como esto podemos simplificar aquí estos términos en x cuadrada fx se va a aproximar a 3 sextos que es igual a un medio podemos decir entonces que hay una sintonía horizontal en ye igual a un medio u otra manera para calcular esto si no te gusta el argumento digamos práctico que hemos usado por el cual estos dos términos son los que van a dominar es que podemos dividir tanto el numerador como el denominador entre x elevada la mayor potencia la que se encuentra y hacia el numerador o el denominador así es que el término de mayor órdenes x cuadrado en el numerador dividamos numerado y denominador entre x cuadrada de hecho x cuadra es la mayor potencia tanto en el numerador como el denominador dividamos entonces tanto el numerador como el denominador entre x cuadrada así es que multiplicamos el numerador por uno / x cuadrada y multiplicamos el denominador también por 1 / x cuadrada nota que no estamos afectando la fracción pues estamos multiplicando la x 1 estamos suponiendo que x es distinta de cero y esto nos da tres equis cuadrada / x cuadrada es igual a 3 - 18 sobre x menos 81 sobre x cuadrada y eso dividido entre 6 x cuadrada / x cuadrada 6 - 54 sobre x cuadrada y que va a pasar para valores de x cada vez más grandes es decir queremos calcular el límite el límite cuando x tiene infinito y esto cuánto va a ser bien este término este término y éste terminó tienden a cero así es que la función se aproxima a 3 sextos o un medio si queremos tomar el límite cuando extiende a menos infinito sería lo mismo este éste y éste tienden a cero y la función de nueva cuenta tiende a un medio así es que ésta es la cinta horizontal y a igual a un medio pensemos ahora en las cintas verticales voy a hacerlo por acá las asín totas verticales así en total verticales si es que existen y quizás hay más de una común entre se piensa que la 5ta vertical va a ocurrir cuando el denominador sea cero que es cuando esta expresión racional no está definida pero como veremos para este caso eso no es exactamente así si únicamente hacemos el denominador igual a cero no necesariamente vamos a tener un asiento está vertical definitivamente la función está definida pero eso no basta para encontrarla sin total vertical analicemos entonces este denominador podemos factorizar lo como de hecho vamos a factorizar numerador y denominador vamos a verlo por aquí fx es igual en el numerador podemos sacar tres como factor común 3 que multiplica ax cuadrada menos 6 x menos 27 y en el denominador podemos factorizar 66 que multiplica ax cuadrada -9 y aquí podemos seguir actualizando tanto numerador como denominador tenemos que fx es igual a tres que multiplica veamos los números que multiplicados y al menos 27 y sumados sean menos 6 - 9 y más 3 parece funcionar esto es 3 x x menos 9 x x + 3 y el denominador es 6 y esto es una diferencia cuadrados que multiplica a x menos 3 x x + 3 así que cuando se hace el denominador 0 bien el denominador es igual a cero el denominador es igual a cero cuando x es igual a tres o x es igual a menos tres ahora invitó nuevamente a que hagas una pausa en el video y piense si estas dos son así no estás verticales quizá te diste cuenta que el numerador también sea cero cuando x es igual a menos tres por lo que podemos entonces simplificar esta expresión a fin de que encontremos las cintas verticales vamos a hacer esto para simplificar fx podemos dividir entre x + 3 tanto el numerador como el denominador sólo hay que tomar en cuenta que esto está permitido para x distinto de -3 y esto lo tenemos que tomar en cuenta pues deseamos mantener la igualdad y recuerda que la división entre 0 no está permitida vamos a escribirlo entonces acá abajo fx es igual a dividimos entre x + 3 numerador y denominador para obtener que es 3 x x menos 4 sobre 6 x x -3 y esto es válido para x distinto x distinto de -3 observa que esta es una definición equivalente a nuestra función original pero tenemos que incluir esta condición que estoy poniendo aquí para x distinto al menos tres pues la función original no está definida para x igual a menos tres equis igual a menos tres no se encuentra el dominio de la función original y simplificamos estos términos en el numerador y el denominador a simplificar x + 3 tenemos que recordar esto si nosotros simplemente pusiéramos esto ésta no sería la misma función si te fijas esta expresión si está definida para x igual a menos tres y lo que queremos es exactamente la misma función así es que hemos encontrado un punto de discontinuidad aquí y ahora ya podemos considerarlas asientos verticales éstas ocurren para los valores de x que hacen ser el denominador pero que no hacen 0 el numerador como vimos x igual a menos tres a cero tanto el denominador como el numerador así es que hay una cinta vertical lo voy a hacer en verde hay una asintótica está asintótica está vertical así en total vertical en x igual a tres cuando x es igual a tres se hace ser el denominador pero no sea cero el numerador déjame escribirlo aquí la 5ta vertical es x igual a tres ahora usando estas dos piezas de información que hemos obtenido aquí ya deberíamos de ser capaces de hacer un bosquejo de la gráfica de la función necesitamos también gráfica algunos puntos para ver cómo se comporta la función conforme se va acercando a ambas así notas pero si quisiéramos esbozar la gráfica hechos y si vamos a hacer la vamos a hacerla simplemente por diversión y también para tener una imagen completa de cómo se está comportando esta función la función se va a haber más o menos así se va a haber más o menos así no lo estoy haciendo escala este es uno y este es un medio que igual a un medio es la cinta horizontal llegó al un medio en la cinta horizontal ésta es igual a un medio y tenemos un asiento está vertical en x igual a 3 y tenemos 12 mejor lo va a ser en azul 123 no lo hice en escala bueno x y ya no están en la misma escala aquí tenemos la 5ta vertical en x igual a tres pero tan sólo con esto no podemos saber cómo se ve la función quizás se ve así y también por aquí viene así la función o quizás aquí viene por acá oa la mejor la función viene por aquí y por acá fue la mejor más bien viene por acá con esto tenemos una idea de cómo podría ser la función ya para verla más precisamente necesitamos gráfica algunos puntos también hemos establecido claramente que la función no está definida en x igual a menos tres dejan ubicar entonces x igual a menos tres aquí tenemos menos 1 - 2 - 3 entonces no sabemos cómo la función como hemos dicho pero si la función viniera por aquí aquí tendríamos que hacerlo más para con la cinta x tendríamos el punto discontinuidad y la función vendría por aquí con las cintas y por aquí podría seguir esta rama o si la función viniera para acá si la función minera por aquí por arriba de la 5ta entonces ahí estaría el punto discontinuidad y esta sería la cim total ajustaría cada vez más cerca la 5ta aquí podría venir la otra rama de la función o también podría venir por acá abajo de nuevo cuenta para ver la forma precisa la función hay que graficar algunos de sus puntos te invito a que una vez terminado este video obtengas algunos puntos para que puedas determinar la forma precisa de la gráfica de la función