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Matemáticas 3

Curso: Matemáticas 3 > Unidad 13

Lección 6: Multiplicar y dividir expresiones racionales
Matemáticas
Matemáticas 3
Funciones racionales
Multiplicar y dividir expresiones racionales
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Dividir expresiones racionales

Google Classroom
Aprende a obtener el cociente de dos expresiones racionales.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. El dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hagan que el denominador sea igual a cero.
Podemos multiplicar expresiones racionales de manera similar a la multiplicación de fracciones numéricas: factorizar, cancelar factores comunes, y multiplicar por líneas.
Si esto no te es familiar, puedes estudiar primero estos artículos:

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a dividir expresiones racionales.

Dividir fracciones

Para dividir dos fracciones numéricas, multiplicamos el dividendo (la primera fracción) por el recíproco del divisor (la segunda fracción). Por ejemplo:
=29÷83=29⋅38Multiplica por el recıˊproco=23⋅3⋅32⋅4Factoriza numeradores y denominadores=23⋅3⋅32⋅4Cancela factores comunes=112Multiplica por lıˊneas\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Multiplica por el recíproco}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Factoriza numeradores y denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Cancela factores comunes}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Multiplica por líneas}}} \end{aligned}
Podemos utilizar este mismo método para dividir expresiones racionales.

Ejemplo 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44⋅109xMultiplica por el recıˊproco=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xFactoriza numeradores y denominadores=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xCancela factores comunes=5x36Multiplica por lıˊneas\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Multiplica por el recíproco}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Factoriza numeradores y denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Cancela factores comunes}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Multiplica por líneas}}} \end{aligned}
Como siempre, debemos pensar en los valores restringidos. Al dividir dos expresiones racionales, el cociente no está definido...
  • para cualquier valor que haga que cualquiera de las expresiones racionales originales no esté definida,
  • y para cualquier valor que haga que divisor sea igual a cero.
Para resumir, la expresión que se obtiene de start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction no está definida cuando B, equals, 0, C, equals, 0, o D, equals, 0.
Examinemos el dividendo y el divisor en este problema para determinar si hay restricciones en el dominio.
  • El dividendo start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction está definido para todo valor de x.
  • El divisor start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction está definido para todo valor de x, y es igual a cero para x, equals, 0.
Por lo tanto, podemos concluir que el cociente que resulta está definido para x, does not equal, 0. Esta es nuestra respuesta final:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction para x, does not equal, 0

Comprueba tu comprensión

1) Divide y simplifica el resultado.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
para x, does not equal
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ejemplo 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Como siempre, multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor. Después factorizamos, cancelamos factores comunes, y multiplicamos por líneas. Finalmente, consideramos los valores restringidos.
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Multiplica por el recıˊproco=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Factoriza=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Cancela factores comunes=x−5x+5Multiplica por lıˊneas\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Multiplica por el recíproco}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Factoriza}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Cancela factores comunes}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Multiplica por líneas}}} \end{aligned}
Examinemos el dividendo y el divisor en este problema para determinar si hay restricciones en el dominio. Es más sencillo utilizar la forma factorizada de estas expresiones.
  • El dividendo start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction está definido para x, does not equal, minus, 5, comma, 2.
  • El divisor start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction está definido para x, does not equal, 5, y es igual a cero para x, equals, minus, 3.
Por lo tanto, podemos concluir que el cociente que resulta está definido para x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5.
Por ello, debemos hacer notar que x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3. No necesitamos agregar que x, does not equal, minus, 5, pues esto ya se entiende. Esta es nuestra respuesta final:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Comprueba tu comprensión

2) Divide y simplifica el resultado.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
¿Cuáles son las restricciones en el dominio de la expresión resultante?
Elige todas las respuestas adecuadas:

3) Divide y simplifica el resultado.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
¿Cuáles son las restricciones en el dominio de la expresión resultante?
Elige todas las respuestas adecuadas:

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