If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 6: Optimización restringida (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Optimización restringida (artículos)
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies

Interpretación de los multiplicadores de Lagrange

Google Classroom
Los multiplicadores de Lagrange son más que simples variables fantasmas que ayudan a resolver problemas de optimización con constricciones...

Antecedentes

La técnica de los multiplicadores de Lagrange. Recapitulación rápida

Optimización restringida
Crédito de la imagen: por Nexcis (trabajo propio) [Dominio público], a través de Wikimedia Commons
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99 sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612, sigue estos pasos:
  • Paso 1: introduce una nueva variable start color #0d923f, lambda, end color #0d923f y define una nueva función L como sigue:
    L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99, minus, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, left parenthesis, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, minus, c, end color #bc2612, right parenthesis
    Esta función L se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable start color #0d923f, lambda, end color #0d923f se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
  • Paso 2: haz el gradiente de L igual al vector cero.
    del, L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, e, r, o, end text, end color gray
    En otras palabras, encuentra los puntos críticos de L.
  • Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Sustituye cada una en f. O más bien, primero quita la componente start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, después sustitúyela en f, ya que start color #0d923f, lambda, end color #0d923f no es una entrada de f. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.

Limitaciones presupuestarias. Una revisión

El artículo anterior que cubre ejemplos de la técnica del multiplicador de Lagrange incluyó el siguiente problema.
  • Problem: supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus costos son predominantemente mano de obra, que cuesta dollar sign, 20 por hora para tus trabajadores y el propio acero, que cuesta dollar sign, 170 por tonelada. Supón que tus ingresos, R, se modelan vagamente por la ecuación
    R(h,s)=200h2/3s1/3\begin{aligned} \quad R(h, s) = 200 h^{2/3} s^{1/3} \end{aligned}
    Donde
    • h representa las horas de trabajo
    • s representa las toneladas de acero
    Si tu presupuesto es de dollar sign, 20, comma, 000, ¿cuál es el ingreso máximo posible?
Puedes darte una idea de este problema al usar el siguiente diagrama interactivo, que te deja ver cuáles valores de left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis dan un ingreso dado (curva azul) y cuáles satisfacen la constricción (recta roja).
Los detalles completos de la solución se pueden encontrar en el artículo anterior. Para nuestro propósito, solo necesitas saber qué pasa en principio, a medida que seguimos los pasos de la técnica del multiplicador de Lagrange.
  • Si empezamos por escribir el lagrangiano L, left parenthesis, h, comma, s, comma, lambda, right parenthesis con base en la función start color #0c7f99, R, left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis, end color #0c7f99 y la restricción start color #bc2612, 20, h, plus, 170, s, equals, 20, comma, 000, end color #bc2612.
    L(h,s,λ)=200h2/3s1/3−λ(20h+170s−20,000)\begin{aligned} \quad \mathcal{L}(h, s, \lambda) = \blueE{200h^{2/3}s^{1/3}}-\lambda(\redE{20h+170s-20{,}000}) \end{aligned}
  • Después encontramos los puntos críticos de L, o sea las soluciones de
    ∇L(h,s,λ)=0\begin{aligned} \quad \nabla \mathcal{L}(h, s, \lambda) = 0 \end{aligned}
  • Puede haber varias soluciones left parenthesis, h, comma, s, comma, lambda, right parenthesis para esta ecuación,
    (h0,s0,λ0)(h1,s1,λ1)(h2,s2,λ2)⋮\begin{aligned} \quad (h_0, &s_0, \lambda_0) \\ (h_1, &s_1, \lambda_1) \\ (h_2, &s_2, \lambda_2) \\ &\vdots \end{aligned}
    así que para cada una sustituyes las componentes h y s en la función de ingreso R, left parenthesis, h, comma, s, right parenthesispara ver cuál es la que corresponde en realidad con el máximo.
Es común escribir este punto crítico que maximiza como left parenthesis, h, start superscript, times, end superscript, comma, s, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis, usando los superíndices de asteriscos para indicar que esta es una solución. Esto significa que h, start superscript, times, end superscript y s, start superscript, times, end superscript representan las horas de mano de obra y las toneladas de acero que debes asignar para maximizar el ingreso sujeto a tu presupuesto. Pero, ¿cómo podemos interpretar el multiplicador de Lagrange lambda, start superscript, times, end superscript que viene con estos valores que maximizan? Esta es la pregunta central del artículo.
Resulta que lambda, start superscript, times, end superscript nos dice cuánto dinero más podemos ganar al cambiar nuestro presupuesto.
Vamos a darnos una idea de lo que significa cambiar el presupuesto. La siguiente herramienta es parecida a la de arriba, pero ahora la recta roja que representa cuáles puntos left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis satisfacen la constricción del presupuesto se van a mover a medida que hagas variar el presupuesto alrededor de dollar sign, 20, comma, 000. Este presupuesto se representa con la variable b.
Para cada valor del presupuesto b, trata de maximizar R al asegurarte de que las curvas se sigan tocando. Observa que el valor máximo de R que puedes lograr cambia a medida que b cambia. Estamos interesados en estudiar los detalles de ese cambio.
Sea M, start superscript, times, end superscript que represente el ingreso máximo que logras. En el siguiente diagrama interactivo, la única variable que puedes cambiar es b, y puedes ver cómo el valor de M, start superscript, times, end superscript depende de b.
En otras palabras, este ingreso máximo M, start superscript, times, end superscript es una función del presupuesto b, así que lo escribimos como
M∗(b)\begin{aligned} \quad M^*(b) \end{aligned}
Ahora podemos expresar un hecho verdaderamente maravilloso: el multiplicador de Lagrange lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis da la derivada de M, start superscript, times, end superscript:
dMdb(b)=λ∗(b)\begin{aligned} \quad \dfrac{dM}{db}(b) = \lambda^*(b) \end{aligned}
En términos del diagrama interactivo de arriba, esto significa que lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis te dice la razón de cambio del punto negro que representa a M, start superscript, times, end superscript a medida que mueves el punto verde que representa a b.
Mostrar por qué esto es verdad es un poco difícil, pero, primero, tomémonos un momento para interpretarlo. Por ejemplo, si encontráramos que lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, 2, point, 59, significaría que cada peso adicional que gastas por arriba de tu presupuesto generaría otros dollar sign, 2, point, 59 de ganancia. Por el contrario, reducir tu presupuesto en un peso resultaría en una pérdida de ganancia por la misma cantidad.
Esta interpretación de lambda, start superscript, times, end superscript aparece muy comúnmente en economía y se merece un nombre: "precio sombra". Es el dinero ganado por un solo peso al relajar la constricción, o por el contrario, el precio de apretar por un peso la restricción.

De manera general

Vamos a generalizar lo que acabamos de hacer con el ejemplo del presupuesto y ver por qué es verdadero. Explicar el resultado completo es en realidad bastante difícil, pero debe quedar claro al tener el siguiente mantra en tu cabeza: "¿cómo cambia la solución a medida que cambia la constricción?".
Empezamos con la configuración habitual del multiplicador de Lagrange. Hay una función que queremos maximizar,
f(x,y)\begin{aligned} \quad f(x, y) \end{aligned}
y una constricción,
g(x,y)=c\begin{aligned} \quad g(x, y) = c \end{aligned}
Empezamos por escribir el lagrangiano,
L(x,y,λ)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c).\begin{aligned} \quad {\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda (g(x, y)-c)}. \end{aligned}
Sea left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis el punto crítico de L, el cual resuelve nuestro problema de optimización con constricciones. En otras palabras,
del, L, left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis, equals, 0
Y left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, right parenthesis maximiza f (sujeta a la constricción).
Cuando empezamos a pensar en c como una variable, debemos tomar en cuenta el hecho de que la solución left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis cambia a medida que la constricción c cambia. Para hacer esto, empezamos por escribir cada componente como una función de c:
x∗(c)y∗(c)λ∗(c)\begin{aligned} \quad x^*(c) \\ y^*(c) \\ \lambda^*(c) \\ \end{aligned}
En otras palabras, cuando la constricción es igual a cierto valor c, el triplete que es solución del problema del multiplicador de Lagrange es left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, comma, y, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, right parenthesis.
Ahora hacemos que M, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis represente el valor máximo (con constricción) de f como una función de c, que también se puede escribir en términos de f, x, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis y y, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis como sigue:
M, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, comma, y, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, right parenthesis
El resultado básico que queremos mostrar es que
start fraction, d, M, start superscript, times, end superscript, divided by, d, c, end fraction, equals, lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis
Esto dice que el multiplicador de Lagrange lambda, start superscript, times, end superscript da la razón de cambio de la solución al problema de maximización con constricciones a medida que la constricción varía.

¿Quieres ser más listo que tu profesor?

Probar este resultado podría ser una pesadilla algebraica, ya que no hay una fórmula explícita para las funciones x, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, y, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis, lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis o M, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, c, right parenthesis. Esto significa que tendrías que empezar con la propiedad que define a x, start superscript, times, end superscript, y, start superscript, times, end superscript y lambda, start superscript, times, end superscript, esto es, que del, L, left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis, equals, 0, y razonar para llegar a start fraction, d, M, start superscript, times, end superscript, divided by, d, c, end fraction. Esto no es para nada directo (¡inténtalo!).
Hay una historia divertida, en la cual le preguntaron a un profesor cuál fue la verdad más dura que aprendió de un estudiante. Él recordó una clase que dio en la que pasó por una demostración de álgebra larga y difícil, para que al final un estudiante le dijera que había una aproximación mucho más sencilla. La lección, dijo, fue que él no era tan listo como creía.
El resultado del que estaba hablando resulta ser el que estamos tratando de probar. Aunque la aproximación del estudiante no es tan sencillo como dice la historia, sigue siendo una manera limpia de ver el problema. Más importante aún, es más fácil de recordar que las otras demostraciones, así que lo voy a decir completo aquí. Como suele ser común en matemáticas, un poco de intuición nos puede salvar de álgebra excesiva.

La intuición

La idea subyacente es que al evaluar el propio lagrangiano en una solución left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis, obtendremos el valor máximo M, start superscript, times, end superscript. Esto es porque el término "g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, minus, c" en el lagrangiano se anula (ya que una solución debe satisfacer la constricción), por lo que tenemos
L(x∗,y∗,λ∗)=f(x∗,y∗)−λ∗(g(x∗,y∗)−c)=f(x∗,y∗)+0=M∗\begin{aligned} \quad \mathcal{L}(x^*, y^*, \lambda^*) &= f(x^*, y^*) - \lambda^*(g(x^*, y^*)-c) \\ &= f(x^*, y^*) + 0 \\ &= M^* \end{aligned}
Dado que queremos encontrar start fraction, d, M, start superscript, times, end superscript, divided by, d, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end fraction, esto sugiere que debemos encontrar una manera para tratar a L como una función de start color #bc2612, c, end color #bc2612. Después tal vez podamos relacionar la derivada que queremos con una derivada de L con respecto a start color #bc2612, c, end color #bc2612.

La continuación

Empieza por tratar a L como una función de cuatro variables en lugar de tres, ya que start color #bc2612, c, end color #bc2612 ahora se modela como un valor que cambia:
L(x,y,λ,c)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c).\begin{aligned} \quad {\mathcal{L}(x, y, \lambda, \redE{c}) = f(x, y) - \lambda (g(x, y)-\redE{c})}. \end{aligned}
Pregunta de reflexión: cuando L está escrita como una función de cuatro variables como esta, ¿qué es start fraction, \partial, L, divided by, \partial, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end fraction?
Escoge 1 respuesta:

Esta derivada parcial es prometedora, ya que nuestro objetivo es mostrar que start fraction, d, M, start superscript, times, end superscript, divided by, d, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end fraction, equals, lambda, start superscript, times, end superscript, y sabemos que M, start superscript, times, end superscript, equals, L en las soluciones. Sin embargo, todavía tenemos trabajo por hacer.
Para codificar el hecho de que solo nos importa el valor de L en las soluciones left parenthesis, x, start superscript, times, end superscript, comma, y, start superscript, times, end superscript, comma, lambda, start superscript, times, end superscript, right parenthesis para un valor dado de start color #bc2612, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end color #bc2612, reemplazamos start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #0d923f, y, end color #0d923f y start color #a75a05, lambda, end color #a75a05 con start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, end color #0c7f99, comma, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, end color #0d923f y start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, end color #a75a05. Estas son funciones de start color #bc2612, c, end color #bc2612 que corresponden a la solución del problema del lagrangiano para una opción dada de la "constante" start color #bc2612, c, end color #bc2612.
Esto nos permite escribir M, start superscript, times, end superscript como una función de start color #bc2612, c, end color #bc2612 como sigue:
M∗(c)=L(x∗(c),y∗(c),λ∗(c),c)\begin{aligned} \quad M^*(\redE{c}) = \mathcal{L}(\blueE{x^*(\redE{c})}, \greenE{y^*(\redE{c})}, \goldE{\lambda^*(\redE{c})}, {\redE{c}}) \end{aligned}
Aunque esta expresión solo tiene una variable, start color #bc2612, c, end color #bc2612, hay una función de cuatro variables L como intermediaria. Por lo tanto, para tomar esta derivada (ordinaria) con respecto a c, usamos la regla de la cadena multivariable:
dM∗dc=ddcL(x∗(c),y∗(c),λ∗(c),c)=∂L∂xdx∗dc+∂L∂ydy∗dc+∂L∂λdλ∗dc+∂L∂cdcdc\begin{aligned} \quad \dfrac{dM^*}{d\redE{c}} &= \dfrac{d}{d\redE{c}}\mathcal{L}(\blueE{x^*}(\redE{c}), \greenE{y^*}(\redE{c}), \goldE{\lambda^*}(\redE{c}), \redE{c}) \\ \\ &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\blueE{\partial x}} \dfrac{d\blueE{x^*}}{d\redE{c}} + \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\greenE{\partial y}} \dfrac{d\greenE{y^*}}{d\redE{c}} + \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\goldE{\partial \lambda}} \dfrac{d\goldE{\lambda^*}}{d\redE{c}} + \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \redE{c}} \dfrac{d\redE{c}}{d\redE{c}} \end{aligned}
Observa que cada derivada parcial en la expresión anterior debe evaluarse en left parenthesis, start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, end color #0c7f99, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, comma, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, end color #0d923f, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, comma, start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, end color #a75a05, left parenthesis, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, comma, start color #bc2612, c, end color #bc2612, right parenthesis, pero escribir eso haría que la expresión fuera más confusa de lo que ya es.
Esto puede parecer mucho, pero recuerda de donde viene cada uno de los términos start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, end color #0c7f99, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, end color #0d923f y start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, end color #a75a05. Cada derivada parcial start fraction, \partial, L, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, start fraction, \partial, L, divided by, start color #0d923f, \partial, y, end color #0d923f, end fraction y start fraction, \partial, L, divided by, start color #a75a05, \partial, lambda, end color #a75a05, end fraction se hace cero cuando se evalúa en left parenthesis, start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, end color #0c7f99, comma, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, end color #0d923f, comma, start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, end color #a75a05, right parenthesis. ¡Así es como se define una solución left parenthesis, start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, end color #0c7f99, comma, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, end color #0d923f, comma, start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, end color #a75a05, right parenthesis! Esto significa que los primeros tres términos se hacen cero.
∂L∂xdx∗dc+∂L∂ydy∗dc+∂L∂λdλ∗dc+∂L∂cdcdc\begin{aligned} \quad \cancel{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\blueE{\partial x}}} \dfrac{d\blueE{x^*}}{d\redE{c}} + \cancel{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\greenE{\partial y}}} \dfrac{d\greenE{y^*}}{d\redE{c}} + \cancel{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\goldE{\partial \lambda}}} \dfrac{d\goldE{\lambda^*}}{d\redE{c}} + \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \redE{c}} \dfrac{d\redE{c}}{d\redE{c}} \end{aligned}
Además, como start fraction, d, start color #bc2612, c, end color #bc2612, divided by, d, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end fraction, equals, 1, toda la expresión se simplifica a
dM∗dc=∂L∂c\begin{aligned} \quad \dfrac{dM^*}{d\redE{c}} = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \redE{c}} \end{aligned}
Es importante darse cuenta que la razón para esta simplificación depende de las propiedades especiales de los puntos que son solución left parenthesis, start color #0c7f99, x, start superscript, times, end superscript, end color #0c7f99, comma, start color #0d923f, y, start superscript, times, end superscript, end color #0d923f, comma, start color #a75a05, lambda, start superscript, times, end superscript, end color #a75a05, right parenthesis. De otro modo, trabajar toda la derivada con base en la regla de la cadena multivariable ¡podría haber sido una pesadilla!
Po el bien de la limpieza de la notación, no incluimos las entradas para estas derivadas, pero vamos a escribirlas.
dM∗dc(c)=∂L∂c(x∗(c),y∗(c),λ∗(c),c)\begin{aligned} \quad \dfrac{dM^*}{d\redE{c}}(\redE{c}) = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \redE{c}}(\blueE{x^*}(\redE{c}), \greenE{y^*}(\redE{c}), \goldE{\lambda^*}(\redE{c}), \redE{c}) \end{aligned}
Como en la pregunta de reflexión de arriba vimos que start fraction, \partial, L, divided by, \partial, start color #bc2612, c, end color #bc2612, end fraction, equals, lambda, esto significa
dM∗dc(c)=λ∗(c)\begin{aligned} \quad \boxed{\dfrac{dM^*}{d\redE{c}}(\redE{c}) = \goldE{\lambda^*}(\redE{c})} \end{aligned}
¡Terminamos!

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.