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Interpretación de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange son más que simples variables fantasmas que ayudan a resolver problemas de optimización con constricciones...

La técnica de los multiplicadores de Lagrange. Recapitulación rápida

Optimización restringida
Crédito de la imagen: por Nexcis (trabajo propio) [Dominio público], a través de Wikimedia Commons
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable f(x,y,) sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante g(x,y,)=c, sigue estos pasos:
  • Paso 1: introduce una nueva variable λ y define una nueva función L como sigue:
    L(x,y,,λ)=f(x,y,)λ(g(x,y,)c)
    Esta función L se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable λ se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
  • Paso 2: haz el gradiente de L igual al vector cero.
    L(x,y,,λ)=0Vector cero
    En otras palabras, encuentra los puntos críticos de L.
  • Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como (x0,y0,,λ0). Sustituye cada una en f. O más bien, primero quita la componente λ0, después sustitúyela en f, ya que λ no es una entrada de f. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.

Limitaciones presupuestarias. Una revisión

El artículo anterior que cubre ejemplos de la técnica del multiplicador de Lagrange incluyó el siguiente problema.
  • Problem: supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus costos son predominantemente mano de obra, que cuesta $20 por hora para tus trabajadores y el propio acero, que cuesta $170 por tonelada. Supón que tus ingresos, R, se modelan vagamente por la ecuación
    R(h,s)=200h2/3s1/3
    Donde
    • h representa las horas de trabajo
    • s representa las toneladas de acero
    Si tu presupuesto es de $20,000, ¿cuál es el ingreso máximo posible?
Puedes darte una idea de este problema al usar el siguiente diagrama interactivo, que te deja ver cuáles valores de (h,s) dan un ingreso dado (curva azul) y cuáles satisfacen la constricción (recta roja).
Los detalles completos de la solución se pueden encontrar en el artículo anterior. Para nuestro propósito, solo necesitas saber qué pasa en principio, a medida que seguimos los pasos de la técnica del multiplicador de Lagrange.
  • Si empezamos por escribir el lagrangiano L(h,s,λ) con base en la función R(h,s) y la restricción 20h+170s=20,000.
    L(h,s,λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000)
  • Después encontramos los puntos críticos de L, o sea las soluciones de
    L(h,s,λ)=0
  • Puede haber varias soluciones (h,s,λ) para esta ecuación,
    (h0,s0,λ0)(h1,s1,λ1)(h2,s2,λ2)
    así que para cada una sustituyes las componentes h y s en la función de ingreso R(h,s)para ver cuál es la que corresponde en realidad con el máximo.
Es común escribir este punto crítico que maximiza como (h,s,λ), usando los superíndices de asteriscos para indicar que esta es una solución. Esto significa que h y s representan las horas de mano de obra y las toneladas de acero que debes asignar para maximizar el ingreso sujeto a tu presupuesto. Pero, ¿cómo podemos interpretar el multiplicador de Lagrange λ que viene con estos valores que maximizan? Esta es la pregunta central del artículo.
Resulta que λ nos dice cuánto dinero más podemos ganar al cambiar nuestro presupuesto.
Vamos a darnos una idea de lo que significa cambiar el presupuesto. La siguiente herramienta es parecida a la de arriba, pero ahora la recta roja que representa cuáles puntos (h,s) satisfacen la constricción del presupuesto se van a mover a medida que hagas variar el presupuesto alrededor de $20,000. Este presupuesto se representa con la variable b.
Para cada valor del presupuesto b, trata de maximizar R al asegurarte de que las curvas se sigan tocando. Observa que el valor máximo de R que puedes lograr cambia a medida que b cambia. Estamos interesados en estudiar los detalles de ese cambio.
Sea M que represente el ingreso máximo que logras. En el siguiente diagrama interactivo, la única variable que puedes cambiar es b, y puedes ver cómo el valor de M depende de b.
En otras palabras, este ingreso máximo M es una función del presupuesto b, así que lo escribimos como
M(b)
Ahora podemos expresar un hecho verdaderamente maravilloso: el multiplicador de Lagrange λ(b) da la derivada de M:
dMdb(b)=λ(b)
En términos del diagrama interactivo de arriba, esto significa que λ(b) te dice la razón de cambio del punto negro que representa a M a medida que mueves el punto verde que representa a b.
Mostrar por qué esto es verdad es un poco difícil, pero, primero, tomémonos un momento para interpretarlo. Por ejemplo, si encontráramos que λ(b)=2.59, significaría que cada peso adicional que gastas por arriba de tu presupuesto generaría otros $2.59 de ganancia. Por el contrario, reducir tu presupuesto en un peso resultaría en una pérdida de ganancia por la misma cantidad.
Esta interpretación de λ aparece muy comúnmente en economía y se merece un nombre: "precio sombra". Es el dinero ganado por un solo peso al relajar la constricción, o por el contrario, el precio de apretar por un peso la restricción.

De manera general

Vamos a generalizar lo que acabamos de hacer con el ejemplo del presupuesto y ver por qué es verdadero. Explicar el resultado completo es en realidad bastante difícil, pero debe quedar claro al tener el siguiente mantra en tu cabeza: "¿cómo cambia la solución a medida que cambia la constricción?".
Empezamos con la configuración habitual del multiplicador de Lagrange. Hay una función que queremos maximizar,
f(x,y)
y una constricción,
g(x,y)=c
Empezamos por escribir el lagrangiano,
L(x,y,λ)=f(x,y)λ(g(x,y)c).
Sea (x,y,λ) el punto crítico de L, el cual resuelve nuestro problema de optimización con constricciones. En otras palabras,
L(x,y,λ)=0
Y (x,y) maximiza f (sujeta a la constricción).
Cuando empezamos a pensar en c como una variable, debemos tomar en cuenta el hecho de que la solución (x,y,λ) cambia a medida que la constricción c cambia. Para hacer esto, empezamos por escribir cada componente como una función de c:
x(c)y(c)λ(c)
En otras palabras, cuando la constricción es igual a cierto valor c, el triplete que es solución del problema del multiplicador de Lagrange es (x(c),y(c),λ(c)).
Ahora hacemos que M(c) represente el valor máximo (con constricción) de f como una función de c, que también se puede escribir en términos de f, x(c) y y(c) como sigue:
M(c)=f(x(c),y(c))
El resultado básico que queremos mostrar es que
dMdc=λ(c)
Esto dice que el multiplicador de Lagrange λ da la razón de cambio de la solución al problema de maximización con constricciones a medida que la constricción varía.

¿Quieres ser más listo que tu profesor?

Probar este resultado podría ser una pesadilla algebraica, ya que no hay una fórmula explícita para las funciones x(c), y(c), λ(c) o M(c). Esto significa que tendrías que empezar con la propiedad que define a x, y y λ, esto es, que L(x,y,λ)=0, y razonar para llegar a dMdc. Esto no es para nada directo (¡inténtalo!).
Hay una historia divertida, en la cual le preguntaron a un profesor cuál fue la verdad más dura que aprendió de un estudiante. Él recordó una clase que dio en la que pasó por una demostración de álgebra larga y difícil, para que al final un estudiante le dijera que había una aproximación mucho más sencilla. La lección, dijo, fue que él no era tan listo como creía.
El resultado del que estaba hablando resulta ser el que estamos tratando de probar. Aunque la aproximación del estudiante no es tan sencillo como dice la historia, sigue siendo una manera limpia de ver el problema. Más importante aún, es más fácil de recordar que las otras demostraciones, así que lo voy a decir completo aquí. Como suele ser común en matemáticas, un poco de intuición nos puede salvar de álgebra excesiva.

La intuición

La idea subyacente es que al evaluar el propio lagrangiano en una solución (x,y,λ), obtendremos el valor máximo M. Esto es porque el término "g(x,y)c" en el lagrangiano se anula (ya que una solución debe satisfacer la constricción), por lo que tenemos
L(x,y,λ)=f(x,y)λ(g(x,y)c)=f(x,y)+0=M
Dado que queremos encontrar dMdc, esto sugiere que debemos encontrar una manera para tratar a L como una función de c. Después tal vez podamos relacionar la derivada que queremos con una derivada de L con respecto a c.

La continuación

Empieza por tratar a L como una función de cuatro variables en lugar de tres, ya que c ahora se modela como un valor que cambia:
L(x,y,λ,c)=f(x,y)λ(g(x,y)c).
Pregunta de reflexión: cuando L está escrita como una función de cuatro variables como esta, ¿qué es Lc?
Escoge 1 respuesta:

Esta derivada parcial es prometedora, ya que nuestro objetivo es mostrar que dMdc=λ, y sabemos que M=L en las soluciones. Sin embargo, todavía tenemos trabajo por hacer.
Para codificar el hecho de que solo nos importa el valor de L en las soluciones (x,y,λ) para un valor dado de c, reemplazamos x,y y λ con x(c),y(c) y λ(c). Estas son funciones de c que corresponden a la solución del problema del lagrangiano para una opción dada de la "constante" c.
Esto nos permite escribir M como una función de c como sigue:
M(c)=L(x(c),y(c),λ(c),c)
Aunque esta expresión solo tiene una variable, c, hay una función de cuatro variables L como intermediaria. Por lo tanto, para tomar esta derivada (ordinaria) con respecto a c, usamos la regla de la cadena multivariable:
dMdc=ddcL(x(c),y(c),λ(c),c)=Lxdxdc+Lydydc+Lλdλdc+Lcdcdc
Observa que cada derivada parcial en la expresión anterior debe evaluarse en (x(c),y(c),λ(c),c), pero escribir eso haría que la expresión fuera más confusa de lo que ya es.
Esto puede parecer mucho, pero recuerda de donde viene cada uno de los términos x, y y λ. Cada derivada parcial Lx, Ly y Lλ se hace cero cuando se evalúa en (x,y,λ). ¡Así es como se define una solución (x,y,λ)! Esto significa que los primeros tres términos se hacen cero.
Lxdxdc+Lydydc+Lλdλdc+Lcdcdc
Además, como dcdc=1, toda la expresión se simplifica a
dMdc=Lc
Es importante darse cuenta que la razón para esta simplificación depende de las propiedades especiales de los puntos que son solución (x,y,λ). De otro modo, trabajar toda la derivada con base en la regla de la cadena multivariable ¡podría haber sido una pesadilla!
Po el bien de la limpieza de la notación, no incluimos las entradas para estas derivadas, pero vamos a escribirlas.
dMdc(c)=Lc(x(c),y(c),λ(c),c)
Como en la pregunta de reflexión de arriba vimos que Lc=λ, esto significa
dMdc(c)=λ(c)
¡Terminamos!

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