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Cálculo multivariable
Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3
Lección 6: Optimización restringida (artículos)Ejemplos de multiplicadores de Lagrange
Ejemplos del Lagrangiano y de la técnica de los multiplicadores de Lagrange en acción.
La técnica del multiplicador de Lagrange. Recapitulación rápida
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante , sigue estos pasos:
- Paso 1: introduce una nueva variable
y define una nueva función como sigue:Esta función se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable se le conoce como un "multiplicador de Lagrange". - Paso 2: haz el gradiente de
igual al vector cero.En otras palabras, encuentra los puntos críticos de . - Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como
. Sustituye cada una en . O más bien, primero quita la componente , después sustitúyela en , ya que no es una entrada de . La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.
Ejemplo 1: restricciones presupuestarias
El problema
Supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus costos son predominantemente mano de obra, que cuesta por hora para tus trabajadores y el propio acero, que cuesta por tonelada. Supón que tus ingresos, , se modelan vagamente por la siguiente ecuación:
representa las horas de trabajo representa las toneladas de acero
Si tu presupuesto es de , ¿cuál es el ingreso máximo posible?
Solución
Los costos de por hora de trabajo y de por tonelada de acero nos dicen que el costo total de producción, en términos de y , es
Por lo tanto, el presupuesto de se puede traducir en la constricción
Antes de profundizar en el cálculo, puedes darte una idea de este problema al usar el siguiente diagrama interactivo. Puedes ver cuáles valores de dan un ingreso dado (curva azul) y cuáles satisfacen la constricción (recta roja).
Como necesitamos maximizar una función , sujeta a una constricción, , empezamos por escribir la función lagrangiana para esta configuración:
A continuación, hacemos el gradiente igual al vector . Esto es lo mismo que hacer cada derivada parcial igual a . Primero, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a .
A continuación, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a .
Por último, hacemos la derivada con resepcto a igual a que, como siempre, es igual a la constricción. En la práctica, puedes solamente escribir la propia constricción, pero vamos a escribir la derivada parcial para tener las cosas más claras.
Al juntarlo todo, el sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es
En la práctica, cuando tengas un sistema de ecuaciones como este, casi siempre debes usar una computadora. En especial porque, en las aplicaciones reales, es muy probable que la ecuación sea más complicada que esta. Una vez que lo resuelvas, vas a encontrar que la respuesta es
Esto significa que debes emplear alrededor de horas de mano de obra y comprar toneladas de acero, lo cual te dará un ingreso máximo de
La interpretación de esta constante se trata en el siguiente artículo.
Ejemplo 2: maximizar el producto punto
Problema: sea el vector tridimensional definido como sigue.
Considera todos los posibles vectores unitarios en el espacio tridimensional. ¿Para cuál es mayor el producto punto ?
El siguiente diagrama es bidimensional, pero la intuición no cambia mucho cuando nos movemos a tres dimensiones.
Si eres hábil con el producto punto, es posible que ya sepas la respuesta. Es uno de esos hechos matemáticos que valen la pena recordar. Si no sabes la respuesta, ¡mucho mejor! Porque ahora vamos a encontrar y probar el resultado al usar el método del multiplicador de Lagrange.
Solución:
Primero, necesitamos decir exactamente cómo es que este es un problema de optimización con constricciones. Escribimos las coordenadas de nuestros vectores unitarios como , y :
El hecho de que sea un vector unitario significa que su magnitud es :
Esta es nuestra constricción.
Maximizar significa maximizar la siguiente cantidad:
El lagrangiano, con respecto a esta función y la constricción de arriba, es
Ahora resolvemos para al hacer cada derivada parcial de esta expresión igual a .
Recuerda, hacer la derivada parcial con respecto a igual a solo reitera la constricción.
Resolviendo para , y en las primeras tres ecuaciones de arriba, obtenemos
Ah, qué hermosa simetría. Cada una de estas expresiones tiene el mismo factor , y los coeficientes , y coinciden con las coordenadas de . Siendo los buenos estudiantes de matemáticas que somos, no vamos a desaprovechar una buena simetría. En este caso, al combinar las tres ecuaciones de arriba en una sola ecuación vectorial, podemos relacionar y como sigue:
Por lo tanto, ¡ es proporcional a ! Geométricamente, esto significa que apunta en la misma dirección que . Hay dos vectores unitarios proporcionales a ,
- Uno que apunta en la misma dirección. Este es el vector que
. - Uno que apunta en la dirección opuesta. Este
.
Podemos escribir estos dos vectores unitarios al normalizar , lo que significa dividir entre su magnitud:
La magnitud es , así que podemos escribir el vector unitario que maximiza, , explícitamente así:
Solo sáltate el lagrangiano
Si leíste el artículo anterior, te acordarás que la idea del lagrangiano es que hacer conforma las dos propiedades que debe satisfacer un máximo con constricciones:
- La alineación del gradiente entre la función objetivo y la función de constricción,
- La constricción misma,
Cuando se trabajan los ejemplos, te puedes preguntar por qué nos molestamos en escribir el lagrangiano. ¿No sería más fácil empezar con estas dos ecuaciones en lugar de volver a establecerlas cada vez a partir de ? La respuesta corta es sí, sería más fácil. Si te encuentras resolviendo a mano un problema de optimización con constricciones, y recuerdas la idea de la alineación de los gradientes, siéntete libre de trabajar eso sin preocuparte por el lagrangiano.
En la práctica, a menudo es una computadora la que resuelve estos problemas, no un humano. Dado que hay muchos programas optimizados para encontrar cuando el gradiente de una función dada es , es tanto limpio como útil encapsular nuestro problema en la ecuación .
Además, el propio lagrangiano, al igual que varias funciones que se derivan de él, aparecen con frecuencia en el estudio teórico de la optimización. Bajo estas circunstancias, razonar acerca de un solo objeto en lugar de múltiples condiciones, hace más fácil ver la conexión entre las ideas de alto nivel. Sin mencionar que es más rápido de escribir en un pizarrón.
En cualquier caso, cualquiera que pueda ser tu relación a futuro con la optimización con constricciones, es bueno ser capaz de pensar acerca del propio lagrangiano y de lo que hace. Los ejemplos anteriores ilustran cómo funciona, y con suerte te ayudarán a hacer tuyo el hecho de que encapsula tanto a como a en una sola ecuación.
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