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Contenido principal

Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 6: Optimización restringida (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Optimización restringida (artículos)
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Ejemplos de multiplicadores de Lagrange

Google Classroom
Ejemplos del Lagrangiano y de la técnica de los multiplicadores de Lagrange en acción.

Antecedentes

La técnica del multiplicador de Lagrange. Recapitulación rápida

Optimización restringida
Crédito de la imagen: por Nexcis (trabajo propio) [Dominio público], a través de Wikimedia Commons
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99 sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual a una constante start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612, sigue estos pasos:
  • Paso 1: introduce una nueva variable start color #0d923f, lambda, end color #0d923f y define una nueva función L como sigue:
    L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, end color #0c7f99, minus, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, left parenthesis, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, minus, c, end color #bc2612, right parenthesis
    Esta función L se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable start color #0d923f, lambda, end color #0d923f se le conoce como un "multiplicador de Lagrange".
  • Paso 2: haz el gradiente de L igual al vector cero.
    del, L, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, e, r, o, end text, end color gray
    En otras palabras, encuentra los puntos críticos de L.
  • Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Sustituye cada una en f. O más bien, primero quita la componente start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, después sustitúyela en f, ya que start color #0d923f, lambda, end color #0d923f no es una entrada de f. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás buscando.

Ejemplo 1: restricciones presupuestarias

El problema

Supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus costos son predominantemente mano de obra, que cuesta dollar sign, 20 por hora para tus trabajadores y el propio acero, que cuesta dollar sign, 170 por tonelada. Supón que tus ingresos, R, se modelan vagamente por la siguiente ecuación:
R, left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis, equals, 200, h, start superscript, 2, slash, 3, end superscript, s, start superscript, 1, slash, 3, end superscript
  • h representa las horas de trabajo
  • s representa las toneladas de acero
Si tu presupuesto es de dollar sign, 20, comma, 000, ¿cuál es el ingreso máximo posible?

Solución

Los costos de dollar sign, 20 por hora de trabajo y de dollar sign, 170 por tonelada de acero nos dicen que el costo total de producción, en términos de h y s, es
20h+170s\begin{aligned} \quad 20h + 170s \end{aligned}
Por lo tanto, el presupuesto de dollar sign, 20, comma, 000 se puede traducir en la constricción
20h+170s=20,000\begin{aligned} \quad \redE{20h + 170s = 20{,}000} \end{aligned}
Antes de profundizar en el cálculo, puedes darte una idea de este problema al usar el siguiente diagrama interactivo. Puedes ver cuáles valores de left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis dan un ingreso dado (curva azul) y cuáles satisfacen la constricción (recta roja).
Como necesitamos maximizar una función start color #0c7f99, R, left parenthesis, h, comma, s, right parenthesis, end color #0c7f99, sujeta a una constricción, start color #bc2612, 20, h, plus, 170, s, equals, 20, comma, 000, end color #bc2612, empezamos por escribir la función lagrangiana para esta configuración:
L, left parenthesis, h, comma, s, comma, lambda, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 200, h, start superscript, 2, slash, 3, end superscript, s, start superscript, 1, slash, 3, end superscript, end color #0c7f99, minus, lambda, left parenthesis, start color #bc2612, 20, h, plus, 170, s, minus, 20, comma, 000, end color #bc2612, right parenthesis
A continuación, hacemos el gradiente del, L igual al vector start bold text, 0, end bold text. Esto es lo mismo que hacer cada derivada parcial igual a 0. Primero, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a start color #0c7f99, h, end color #0c7f99.
0=∂L∂h0=∂∂h(200h2/3s1/3−λ(20h+170s−20,000))0=200⋅23h−1/3s1/3−20λ\begin{aligned} \quad 0 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \blueE{h}} \\ \\ 0 &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{h}}(200\blueE{h}^{2/3}s^{1/3}-\lambda(20\blueE{h}+170s-20{,}000)) \\ \\ 0 &= 200 \cdot \dfrac{2}{3}\blueE{h}^{-1/3}s^{1/3} - 20\lambda \\ \end{aligned}
A continuación, nos encargamos de la derivada parcial con respecto a start color #0d923f, s, end color #0d923f.
0=∂L∂s0=∂∂s(200h2/3s1/3−λ(20h+170s−20,000))0=200⋅13h2/3s−2/3−170λ\begin{aligned} \quad 0 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \greenE{s}} \\ \\ 0 &= \dfrac{\partial}{\partial \greenE{s}}(200h^{2/3}\greenE{s}^{1/3}-\lambda(20h+170\greenE{s}-20{,}000)) \\ \\ 0 &= 200 \cdot \dfrac{1}{3}h^{2/3}\greenE{s}^{-2/3} - 170\lambda \end{aligned}
Por último, hacemos la derivada con resepcto a start color #a75a05, lambda, end color #a75a05 igual a 0 que, como siempre, es igual a la constricción. En la práctica, puedes solamente escribir la propia constricción, pero vamos a escribir la derivada parcial para tener las cosas más claras.
0=∂L∂λ0=∂∂λ(200h2/3s1/3−λ(20h+170s−20,000))0=−20h−170s+20,00020h+170s=20,000\begin{aligned} \quad 0 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \goldE{\lambda}} \\ \\ 0 &= \dfrac{\partial}{\partial \goldE{\lambda}}(200h^{2/3}s^{1/3}-\goldE{\lambda}(20h+170s-20{,}000)) \\ \\ 0 &= -20h-170s+20{,}000 \\ \\ 20h &+ 170s = 20{,}000 \end{aligned}
Al juntarlo todo, el sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es
0=200⋅23h−1/3s1/3−20λ0=200⋅13h2/3s−2/3−170λ20h+170s=20,000\begin{aligned} \quad 0 &= 200 \cdot \dfrac{2}{3}{h}^{-1/3}s^{1/3} - 20\lambda \\ \\ 0 &= 200 \cdot \dfrac{1}{3}h^{2/3}{s}^{-2/3} - 170\lambda \\ \\ 20h &+ 170s = 20{,}000 \end{aligned}
En la práctica, cuando tengas un sistema de ecuaciones como este, casi siempre debes usar una computadora. En especial porque, en las aplicaciones reales, es muy probable que la ecuación sea más complicada que esta. Una vez que lo resuelvas, vas a encontrar que la respuesta es
h=2,0003≈666.667s=2,00051≈39.2157λ=8,0004593≈2.593\begin{aligned} \quad h &= \dfrac{2{,}000}{3} \approx 666.667 \\ \\ s &= \dfrac{2{,}000}{51} \approx 39.2157 \\ \\ \lambda &= \sqrt[3]{\dfrac{8{,}000}{459}} \approx 2.593 \\ \\ \end{aligned}
Esto significa que debes emplear alrededor de 667 horas de mano de obra y comprar 39 toneladas de acero, lo cual te dará un ingreso máximo de
R(667,39)=200(667)2/3(39)1/3≈$51,777\begin{aligned} \quad R(667, 39) = 200(667)^{2/3}(39)^{1/3} \approx \boxed{\$51{,}777} \end{aligned}
La interpretación de esta constante lambda, equals, 2, point, 593 se trata en el siguiente artículo.

Ejemplo 2: maximizar el producto punto

Problema: sea el vector tridimensional start bold text, v, end bold text, with, vector, on top definido como sigue.
v⃗=[231]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}
Considera todos los posibles vectores unitarios start bold text, u, end bold text, with, hat, on top en el espacio tridimensional. ¿Para cuál es mayor el producto punto start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top?
El siguiente diagrama es bidimensional, pero la intuición no cambia mucho cuando nos movemos a tres dimensiones.
Producto punto del vector unitario
Analogía bidimensional del problema tridimensional que tenemos. ¿Cuál vector unitario start bold text, u, end bold text, with, hat, on top maximiza el producto punto start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top?
Si eres hábil con el producto punto, es posible que ya sepas la respuesta. Es uno de esos hechos matemáticos que valen la pena recordar. Si no sabes la respuesta, ¡mucho mejor! Porque ahora vamos a encontrar y probar el resultado al usar el método del multiplicador de Lagrange.
Solución:
Primero, necesitamos decir exactamente cómo es que este es un problema de optimización con constricciones. Escribimos las coordenadas de nuestros vectores unitarios como x, y y z:
u^=[xyz]\begin{aligned} \quad \hat{\textbf{u}} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \end{aligned}
El hecho de que start bold text, u, end bold text, with, hat, on top sea un vector unitario significa que su magnitud es 1:
∣∣u^∣∣=x2+y2+z2=1⇓x2+y2+z2=1\begin{aligned} \quad ||\hat{\textbf{u}}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} &= 1 \\ &\Downarrow \\ \redE{x^2 + y^2 + z^2} &\redE{= 1} \end{aligned}
Esta es nuestra constricción.
Maximizar start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top significa maximizar la siguiente cantidad:
[xyz]⋅[231]=2x+3y+z \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] = \blueE{2x + 3y + z}
El lagrangiano, con respecto a esta función y la constricción de arriba, es
L, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, lambda, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 3, y, plus, z, minus, lambda, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, minus, 1, right parenthesis, point
Ahora resolvemos para del, L, equals, start bold text, 0, end bold text al hacer cada derivada parcial de esta expresión igual a 0.
∂∂x(2x+3y+z−λ(x2+y2+z2−1))=2−λ2x=0∂∂y(2x+3y+z−λ(x2+y2+z2−1))=3−λ2y=0∂∂z(2x+3y+z−λ(x2+y2+z2−1))=1−λ2z=0\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \greenE{x}}(2\greenE{x} + 3y + z - \lambda(\greenE{x}^2 + y^2 + z^2 - 1)) &= 2 - \lambda 2\greenE{x} = 0 \\ \dfrac{\partial}{\partial \goldE{y}}(2x + 3\goldE{y} + z - \lambda(x^2 + \goldE{y}^2 + z^2 - 1)) &= 3 - \lambda 2\goldE{y} = 0 \\ \dfrac{\partial}{\partial \maroonE{z}}(2x + 3y + \maroonE{z} - \lambda(x^2 + y^2 + \maroonE{z}^2 - 1)) &= 1 - \lambda 2\maroonE{z} = 0 \\ \end{aligned}
Recuerda, hacer la derivada parcial con respecto a lambda igual a 0 solo reitera la constricción.
∂∂λ(2x+3y+z−λ(x2+y2+z2−1))=−x2−y2−z2+1=0\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \redE{\lambda}}(2x + 3y + z - \redE{\lambda}(x^2 + y^2 + z^2 - 1)) &= -x^2-y^2-z^2 + 1 = 0 \\ \end{aligned}
Resolviendo para start color #0d923f, x, end color #0d923f, start color #a75a05, y, end color #a75a05 y start color #9e034e, z, end color #9e034e en las primeras tres ecuaciones de arriba, obtenemos
x=2⋅12λy=3⋅12λz=1⋅12λ\begin{aligned} \quad \greenE{x} &= 2\cdot \dfrac{1}{2\lambda} \\ \goldE{y} &= 3\cdot \dfrac{1}{2\lambda} \\ \maroonE{z} &= 1\cdot \dfrac{1}{2\lambda} \end{aligned}
Ah, qué hermosa simetría. Cada una de estas expresiones tiene el mismo factor start fraction, 1, divided by, 2, lambda, end fraction, y los coeficientes 2, 3 y 1 coinciden con las coordenadas de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Siendo los buenos estudiantes de matemáticas que somos, no vamos a desaprovechar una buena simetría. En este caso, al combinar las tres ecuaciones de arriba en una sola ecuación vectorial, podemos relacionar start bold text, u, end bold text, with, hat, on top y start bold text, v, end bold text, with, vector, on top como sigue:
u^=[xyz]=12λ[231]=12λv⃗\begin{aligned} \quad \hat{\textbf{u}} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \dfrac{1}{2\lambda} \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] = \dfrac{1}{2\lambda}\vec{\textbf{v}} \end{aligned}
Analogía bidimensional que muestra los dos vectores unitarios que maximizan y minimizan la cantidad start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Por lo tanto, ¡start bold text, u, end bold text, with, hat, on top es proporcional a start bold text, v, end bold text, with, vector, on top! Geométricamente, esto significa que start bold text, u, end bold text, with, hat, on top apunta en la misma dirección que start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Hay dos vectores unitarios proporcionales a start bold text, v, end bold text, with, vector, on top,
  • Uno que apunta en la misma dirección. Este es el vector que start color #0d923f, start text, m, a, x, i, m, i, z, a, end text, end color #0d923f start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • Uno que apunta en la dirección opuesta. Este start color #bc2612, start text, m, i, n, i, m, i, z, a, end text, end color #bc2612 start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Podemos escribir estos dos vectores unitarios al normalizar start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, lo que significa dividir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top entre su magnitud:
u^maˊx=v⃗∣∣v⃗∣∣u^mıˊn=−v⃗∣∣v⃗∣∣\begin{aligned} \quad \greenE{\hat{\textbf{u}}_{\text{máx}}} &= \dfrac{\vec{\textbf{v}}}{||\vec{\textbf{v}}||} \\ \\ \redE{\hat{\textbf{u}}_{\text{mín}}} &= -\dfrac{\vec{\textbf{v}}}{||\vec{\textbf{v}}||} \end{aligned}
La magnitud vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar es square root of, 2, squared, plus, 3, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 14, end square root, así que podemos escribir el vector unitario que maximiza, start color #0d923f, start bold text, u, end bold text, with, hat, on top, start subscript, start text, m, a, with, \', on top, x, end text, end subscript, end color #0d923f, explícitamente así:
u^maˊx=[2/143/141/14] \greenE{\hat{\textbf{u}}_{\text{máx}}} = \left[ \begin{array}{c} 2 / \sqrt{14} \\ 3 / \sqrt{14} \\ 1 / \sqrt{14} \end{array} \right]

Solo sáltate el lagrangiano

Si leíste el artículo anterior, te acordarás que la idea del lagrangiano L es que hacer del, L, equals, 0 conforma las dos propiedades que debe satisfacer un máximo con constricciones:
  • La alineación del gradiente entre la función objetivo y la función de constricción,
    ∇f(x,y)=λ∇g(x,y)\begin{aligned} \quad \nabla \blueE{f(x, y)} &= \lambda \nabla \redE{g(x, y)} \\ \end{aligned}
  • La constricción misma,
    g(x,y)=c\begin{aligned} \quad \redE{g(x, y) = c} \end{aligned}
Cuando se trabajan los ejemplos, te puedes preguntar por qué nos molestamos en escribir el lagrangiano. ¿No sería más fácil empezar con estas dos ecuaciones en lugar de volver a establecerlas cada vez a partir de del, L, equals, 0? La respuesta corta es sí, sería más fácil. Si te encuentras resolviendo a mano un problema de optimización con constricciones, y recuerdas la idea de la alineación de los gradientes, siéntete libre de trabajar eso sin preocuparte por el lagrangiano.
En la práctica, a menudo es una computadora la que resuelve estos problemas, no un humano. Dado que hay muchos programas optimizados para encontrar cuando el gradiente de una función dada es 0, es tanto limpio como útil encapsular nuestro problema en la ecuación del, L, equals, 0.
Además, el propio lagrangiano, al igual que varias funciones que se derivan de él, aparecen con frecuencia en el estudio teórico de la optimización. Bajo estas circunstancias, razonar acerca de un solo objeto L en lugar de múltiples condiciones, hace más fácil ver la conexión entre las ideas de alto nivel. Sin mencionar que es más rápido de escribir en un pizarrón.
En cualquier caso, cualquiera que pueda ser tu relación a futuro con la optimización con constricciones, es bueno ser capaz de pensar acerca del propio lagrangiano y de lo que hace. Los ejemplos anteriores ilustran cómo funciona, y con suerte te ayudarán a hacer tuyo el hecho de que del, L, equals, 0 encapsula tanto a del, f, equals, lambda, del, g como a g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, c en una sola ecuación.

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