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Contenido principal

Conclusión del ejemplo presentado en la introducción a los multiplicadores de Lagrange

Transcripción del video

en los dos vídeos anteriores estábamos hablando acerca de este ejercicio que tengo aquí de este ejercicio de optimización con restricciones donde queremos maximizar esta función que tengo aquí x cuadrada por james pero teníamos una restricción queríamos que x y james estuvieran en el conjunto que cumplieran que x cuadrada más de cuadrada sea igual a 1 que vivieran en el círculo unitario y terminamos trabajando con un razonamiento bastante geométrico y agradable hasta que por fin llegamos a estas ecuaciones que tengo aquí estas 3 ecuaciones y ahora en este vídeo no tenemos más que resolver estas ecuaciones así que voy a empezar con la primera déjame ponerle nombre voy a empezar con la primera justo por aquí tengo que 2x esto es igual a 2x lambda estás de acuerdo lambda por 2 x es dos veces x lambda ahora de aquí puedo dividir entre 2 x xi dividido entre 2 x llegarían a que siempre tiene que ser igual a lambda y ojo aquí solamente falta aclarar una cosa estoy diciendo que x no puede ser igual a 0 porque si x fuera igual a 0 entonces no podremos dividir entre 2 x de ambos lados de esta ecuación y ahora puede utilizar esta nueva información que acaba de obtener aquí en mi segunda ecuación esta es mi segunda ecuación y si utilizo key es igual a lambda me quedaría que x cuadrada es igual a lambda pero en lugar de lambda voy a poner game james que multiplica a 210 o dicho de otra manera aquí puedo obtener que x cuadrada es igual a 2 veces de cuadrada muy bien esto lo obtuve de la primera ecuación esto lo obtuve de la segunda ecuación y ahora puedo utilizar esta información en nuestra tercera ecuación que era justo esta que tengo acá esta es nuestra tercera ecuación porque si x cuadrada es igual a dos veces y cuadrada entonces esta tercera ecuación me quedaría de la siguiente manera me quedaría como x cuadrada pero x cuadradas dos veces de cuadrada dos veces y el cuadrado más cuadrada igual a 1 y de aquí ya puedo obtener el valor de jeff porque si supuestos 2 voy a obtener que tres veces de cuadrada es igual a 1 o dicho de otra manera ya cuadrada es igual a entre 3 o de aquí puedo concluir que bien va a ser igual a más o menos la raíz cuadrada de un tercio ok este es un valor importante es uno de los valores que buscábamos y por lo tanto lo voy a atrapar en un rectángulo muy bien ya tengo el valor del yen pero ahora nos falta el valor de x bueno puede utilizar esta información de kim en esta ecuación que tengo acá si sabemos que x cuadrada es igual a dos veces ya cuadrada y ya cuadrada es igual a un tercio entonces de aquí voy a obtener que x cuadrada es igual a 2 por un tercio es decir dos tercios luego dicho otra manera x va a ser igual a más menos la raíz cuadrada dos tercios de lujo entonces esta es otra información importante porque acabo de encontrar otras dos x que están en las soluciones de estas tres ecuaciones y podrá escribir cuánto vale lambda cierto me quiere decir en el caso en el que es igual a lambda entonces lambda valdría más o menos la raíz cuadrada de un tercio pero lo que en realidad queremos no es el valor de lambda si no son puntos que nos den la respuesta del ejercicio de restricción original recuerdas lo que nosotros buscamos es maximizar maximizar esta función que tengo aquí y usando la información que obtenemos no encontramos cuatro puntos donde maximizamos esa función que buscamos pero lo que sí nos dan son cuatro posibles soluciones las posibles soluciones son las siguientes puedo tener x igual a la raíz positiva de dos tercios dos tercios como la raíz positiva de un tercio ok este es un punto ahora también tengo otro punto que se ve como la raíz y es negativa de dos tercios dos tercios coma la raíz positiva de un tercio este sería otro punto que nos interesan tenemos también la posibilidad de tener la raíz es positiva de dos tercios coma la raíz negativa de un tercio esta es otra posibilidad y por último tenemos una cuarta posibilidad tenemos un último punto donde tendría la raíz negativa de dos tercios como la raíz negativa de un tercio y bueno esta sería mi último punto de estos cuatro puntos donde lo que sí sabemos es que son cuatro puntos donde las curvas de nivel gentes ahora no forzosamente todos maximizan la función de hecho vamos a buscar cuáles de estos maximizan la función y para encontrar cuáles de ellos maximiza la función sería muy bueno reescribir de aquí de nuevo mi función la recuerdas la función con la que hemos estado trabajando es la función de x de una función multi variable que era igual a x cuadrada por jeff muy bien entonces estamos maximizando esta función así que podríamos insertar estos cuatro puntos aquí en esta función y ver para qué valores obtenemos el valor más grande de esta efe de x tiene pero también podemos analizar un poco la función y decir mira x cuadrada esta parte de aquí siempre va a ser positiva entonces ésta siempre es positiva por lo tanto no importa si le ponemos la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa obtenemos un valor positivo aquí bien puede ir cambiando en tres el positivo y negativo depende del signo que le metamos si le metemos un valor negativo entonces esta función sería negativa y lo que queremos es el máximo así que simplemente voy a decir que ninguno de los puntos donde ya sea negativa puede ser el máximo ya que sería un valor positivo x cuadrada por un valor negativo así que éste no puede ser el máximo y éste tampoco puede ser el máximo y ahora como yo sé que estos dos si me van a dar un valor positivo entonces puedo calcular fácilmente cuánto valdría efe de xy aquí efe de estos dos puntos efe dm x que maximiza bien que maximizan bueno va a ser igual a x cuadrado que ya sabemos que es dos tercios tercios que multiplican ayer pero ya siempre valen la raíz de un tercio entonces que multiplican a la raíz de un tercio esto es lo que valdrá mi función en estos dos puntos que hacen que mi función se maximiza y justo esto nos da la respuesta final ahora lo único que quiero recalcar es que todo esto que hicimos toda esta álgebra que hicimos fue importante en claro pero lo más importante de este ejercicio de optimización con restricciones es introducir esta idea del multiplicador de lagrange ya que nos ayudó a encontrar el gradiente de una función restringida y luego hacer que estas dos fueran proporcionales una a la otra ésta es la clave del problema y luego el resto de todo esto fue simplemente aplicar cosas de álgebra ammán resolver ecuaciones y encontrar estos puntos fue un montón de trabajo y de detalles mínimos lo cual bueno también es importante para obtener la respuesta correcta así que ya está a continuación en lo sigue videos vamos a ver algunos ejemplos más