Ejemplo de multiplicadores de Lagrange. Parte 1

imagina que estamos dirigiendo algún tipo de compañía y esta compañía produce un cierto tipo de aparatos un cierto tipo de dispositivos déjenme anotarlo los cuales por buena suerte toda la gente los utilizan son unos dispositivos de moda y estos dispositivos tienen dos principales costos de producción el primer costo de producción importante que tienen es la mano de obra déjame escribirlo con este color la mano de obra y por otra parte el segundo costo más grande que tienen es el material del que están hechos estos dispositivos están hechos supongamos de acero entonces estos son los dos costos más importantes que tienes y voy a suponer que el costo por mano de obra es de 20 pesos por hora lo voy a escribir aquí es de 20 pesos por hora de cada uno de tus trabajadores este es el primer costo que tengo y luego voy a suponer que el costo del acero es se me ocurren de dos mil pesos de dos mil pesos pero bueno este no es programa este es por tonelada así que teniendo estos dos has contratado a unos ciertos analistas que trabajando un poco con esta información han encontrado un modelo para los ingresos que tú puedes obtener vendiendo estos dispositivos y este modelo es una función de las horas de mano de obra que trabajan los empleados y de las toneladas de acero para hacer estos dispositivos así que imagina que el modelo de ingresos que elaboraron es una función r le voy a poner r a esta función y bueno digamos que es una función primero de las horas demandas de obra y también vamos a fijarnos en las toneladas de acero así que voy a poner a para las toneladas de acero y bueno encontraron que el modelo de esta función es igual a 100 h elevado a la potencia dos tercios ok que multiplica a ha elevado a la potencia un té así muy bien observa que si pones una cierta cantidad de horas de mano de obra y una cierta cantidad de toneladas de acero entonces esta función r h te va a dar la cantidad de dinero que obtienes o que esperas ganar al vender tus dispositivos y por supuesto lo que vas a querer hacer es ganar tanto como puedas pero en realidad tienes un presupuesto para cuánto puedes gastar en mano de obra y en acero así que vamos a notarlo imagina que tienes un presupuesto para gastar de 20 mil pesos en tu compañía están dispuestos a gastar 20 mil pesos y bueno claro quieren hacer tanto dinero como puedan de acuerdo con este modelo ahora esto es exactamente el tipo de ejercicio que está hecho para la técnica de los multiplicadores de lagrange estamos tratando de optimizar algún tipo de función y tenemos una restricción esta restricción de aquí no está escrita como una fórmula pero muy fácilmente podemos escribirla como una fórmula ya que que conforma nuestro presupuesto bueno va a ser la cantidad de horas de mano de obra multiplicada por 20 entonces 20 por la cantidad de horas de mano de obra ya esto le sumamos la cantidad de toneladas de acero por 2 mil 2000 por la cantidad de toneladas de acero que te gastes y bueno esta restricción va a ser igual al presupuesto que tú tienes así que va a ser igual a 20.000 ahora podría ser también menor está restricción pero intuitivamente y en la realidad va a ser el caso que tengas a fin de optimizar tus ingresos deberían de aprovechar al máximo cada peso que tengan disponibles y verdaderamente alcanzar esta restricción ahora observan 20h más 2000 a igual a 20 mil a esta de aquí le voy a poner un nombre y voy a decir que esta es la función g de h h así que esta va a ser mi función g y esto nos va a servir porque si recordamos un poco lo que vimos en los últimos vídeos la manera en la que visualizamos algo como esto es pensarlo como el conjunto de todas las entradas posibles así que qué te parece si lo visualizamos para que todo sea más claro voy a dibujar por aquí un eje de las toneladas de acero que tengo y por aquí lo voy a tomar a mi eje h a mi eje de la cantidad de horas de la mano de obra así que voy a ponerle el nombre este va a ser mi eje y este va a ser mi eje h en este eje tengo la cantidad de horas de mano de obra am y en el otro eje tengo la cantidad de toneladas de acero ahora bien esta restricción de aquí lo único que nos está dando es una recta una recta que se ve más o menos así es una función lineal y por otra parte esta función de ingresos va a ser un conjunto de curvas no sé se me ocurre que tal vez los ingresos de diez mil pesos se vean más o menos así los ingresos de 100 mil pesos se vean más o menos así es decir tenemos una familia de curvas pero lo que queremos encontrar es qué valor apenas está tocando las rectas la restricción es decir una curva que sea tangente en un solo punto a esta recta es la restricción a un solo punto y esto es porque la recta tangente a la curva es aquella donde si suben un poco el valor un poco al menos entonces no sé inter secaría con esta recta no habrá más valores de hsm que satisfagan la restricción y la manera de pensar en encontrar esta tangencia es considerando el vector perpendicular a la recta tangente a la curva en este punto que afortunadamente representa al gradiente se ve más o menos así es más déjame quitar esto para que no nos estorben vamos a quitar esta gráfica que tengo aquí porque me voy a centrar en este vector que tengo aquí este vector es el gradiente de esta función r así que lo voy a escribir es el gradiente de r de nuestra función de ingreso y para hacer tangente a la recta de restricción vamos a tener otro vector que se va a ver más o menos así va a ser otro vector que va a ser el gradiente de g y se ve más o menos así este de aquí es mi gradiente de g y para nuestra suerte ambos apuntan en la misma dirección es decir es proporcional al vector gradiente de r y la manera típica de escribir esto es que el gradiente de la función r déjame ponerlo con su respectivo color el gradiente de la función r este va a ser igual a una cierta constante que voy a llamar lambda que multiplica el gradiente deje al gradiente de g y esta lambda que es una constante de proporcionalidad tiene un nombre muy particular y muy importante a esta lambda se le conoce con el nombre déjame ponerlo por aquí a esta lambda se le conoce con el nombre de multiplicador de lagrange multiplicador de lagrange muy bien así que continuemos y comencemos a trabajar en esto que tengo aquí así que primero vamos a calcular el gradiente de r el gradiente de r se va a ver como en la primera componente tengo la parcial de r con respecto a la primera variable con respecto a la primera variable que es h en la segunda componente tengo a la parcial de r con respecto a la segunda componente que es a con respecto aa así que vamos a calcular cuánto es esto esto me va a quedar como bueno la derivada de r con respecto a h eso es lo mismo que 100 ok que va a multiplicar a bajamos el exponente estamos derivando con respecto a h así que hay que aplicar la regla de las potencias a h me quedarían por dos tercios ok que multiplica a h elevado a la dos tercios menos uno lo cual es menos un tercio menos uno tercio ok que multiplica a ha elevado a la un tercio ok esta es nuestra primera componente y acá abajo voy a hacer la derivada de r con respecto a up así que me va a quedar 100 que multiplica y bueno voy a poner el exponente de am recuerda baja y me queda un tercio ok que multiplican a h elevado a las dos tercios en este caso h la2 tercio solamente se ve como una constante que multiplicamos a amd elevado a la potencia un tercio menos uno un tercio menos uno es menos éste era el gradiente de r ahora vamos a hacer por acá el gradiente de g así que si pienso en el gradiente de g bueno pues éste va a ser igual y déjeme poner las dos componentes va a ser a la derivada parcial de gm con respecto a la primera variable que es h y la derivada parcial de g con respecto a la segunda variable que es a ok entonces me va a quedar fuera esto es más fácil porque tenemos una función lineal y si tenemos una función lineal diago la parcial de g con respecto a h entonces de esta ecuación que tengo aquí solamente me voy a fijar en la parte que tiene h y la derivada de 20 h es simplemente ok esto por una parte ahora que me fijo en la derivada de g con respecto a a bueno me fijo en la parte que tiene a todos los demás es constante es una función lineal y derivó 2000 a su derivada con respecto a am es simplemente 2000 2000 ok entonces si me fijo en el gradiente de r igual a lambda veces el gradiente de g entonces obtengo dos ecuaciones las dos ecuaciones que obtengo las voy a poner aquí son las siguientes déjame bajar un poco en la pantalla para escribirlas bien entonces la primera me va a quedar de la siguiente manera la primera es todo esto que tengo aquí cien por dos tercios lo voy a escribir como doscientos tercios doscientos tercios que multiplican a h elevado a la menos un tercio bueno eso es exactamente lo mismo que poner h elevado a la potencia un tercio recuerda cuando tienes un signo negativo podemos bajar a la variable y cambiarle el signo a la potencia y que multiplica a ha elevado a la un tercio ok y esto va a ser igual a quien a lambda veces la primera componente del gradiente de gm que es 20 entonces esto va a ser igual a 20 veces quien lambda que lo voy a poner con su respectivo color 20 veces lambda muy bien esto por una parte porque también tengo una segunda ecuación que es esta de aquí 100 por un tercio me quedan 100 tercios tercios de h elevado a las dos tercios elevado a las dos tercios esto a su vez dividido entre ha elevado a los dos tercios aquí tengo un signo negativo entonces lo paso para abajo y esto va a ser igual y de nuevo va a ser igual a la segunda componente de nuestro gradiente de gm que es 2000 2000 pero hay que multiplicarlo por lambda hay que multiplicarlo por lambda así que lo voy a poner con su respectivo color 2000 lambda y todo esto sale porque estos dos vectores tienen que ser proporcionales y bueno creo que justo aquí es un buen punto para detenernos y en el siguiente vídeo continuaremos con estas dos ecuaciones hasta poder obtener los valores de amp y de h correspondientes trabajaremos en los detalles y aterrizaremos en una solución