Prueba del significado de los multiplicadores de Lagrange

bien en el vídeo anterior les mostré este dato que parecía un dato bastante loco así que en este vídeo vamos a ver cómo llegamos a él así que empecemos tenemos una configuración general para este caso o este problemas de optimización con restricción tenemos esta función r que es una función que queremos maximizar y en este caso las considerando como los ingresos para alguna compañía y además tenemos esta función vemos que es la función restricción la cual estoy considerando como algún tipo de presupuesto para esta compañía y como ustedes saben si han llegado hasta este vídeo una manera para resolver este ejercicio de optimización es definir la función la granja no la cual involucran a la función que estás tratando de maximizar menos lambda bs es la función del presupuesto - ven y ven en este caso era el presupuesto que habíamos definido en el vídeo anterior como 10 mil pesos y bueno lambda es el multiplicador de la granja y observa qué la granja no estaba definido para h para am y para lambda y bueno el dato lo cual que queremos llegar nos dicen que este multiplicador de lagrange no es un número del significante lo que nos dice es que si encontramos una solución para el gradiente de la granja nombre igual a cero que haga que se maximicen esta función r entonces a pesar de que sabemos que la idea general de lambda sale de aquí de esta constante de proporcionalidad ahora lo que vemos es que el abdi nos está diciendo cómo cambian el ingreso máximo que podemos obtener con respecto al presupuesto y es que aquí hay algo muy importante estamos considerando que el ingreso máximo que podemos obtener lo podemos ver como una función del presupuesto en este caso b es el presupuesto y esta vez no va a ser una constante como en el vídeo pasado vamos a trabajar a ver como una variable y si es una variable entonces y estrellas dependen de esa vez estás de acuerdo hay una relación muy implícita que tal vez al principio sea difícil de considerar pero a medida de que cambias esta vez va a cambiar el valor que toma la granja no y por lo tanto va a cambiar el gradiente de la granja no lo que va a hacer que cambien estos valores h estrellas y estrellas cuando se haga este gradiente igual a cero y se cambian h estrella la estrella también va a cambiar lambda estrella así que esta vez vamos a suponer desde un principio que estas tres son funciones del presupuesto y si h estrella y ya estrella son funciones debe entonces cuando las metemos en esta función r me van a dar el máximo de esta función r pero también va a depender de ver por qué estas dos funciones dependen de b entonces voy a ser muy explícito que esta m depende déjame ponerlo de esta forma esta estrella va a depender de la afirmación que hice en el vídeo pasado es que está lambda estrella es decir el valor de lambda que viene envuelto con esta estrella y esta estrella va a ser igual a la derivada del valor máximo que podemos alcanzar m estrella con respecto al presupuesto y tal vez todo esto parezca una especie de trabalenguas incluso toma mucho decir lo que está pasando pero en el contexto de un ejemplo económico obtiene un significado preciso y muy importante porque imagina que tú aumenta su presupuesto un peso pasas de 10.000 pesos a 10 mil pesos es decir tienes un pequeño cambio en un pequeño debe y ahora lo que te está diciendo holanda estrella es por cada peso que aumentes en el presupuesto que tanto puede aumentar tu ingreso máximo así que está increíble no crees pero ahora la pregunta sería por qué es cierto esto en la tierra esto es válido porque si observas por aquí parece que este resultado salió de la nada y lo que vamos a hacer aquí es demostrar que esto en efecto es cierto y para demostrarlo hay algunas observaciones inteligentes que nos van a ayudar la primera es la siguiente lo primero que voy a querer hacer es evaluar el la gran que ha no en estos valores h estrella a estrella lambda estrella en este punto crítico así que si los evaluamos me quedarían el la granja no la granja long evaluado en estos tres valores déjame escribirlo evaluado primero en h estrella primero en h estrella después en a estrella en am estrella y también en lambda estrella si nosotros ponemos estos tres valores en de la granja lo que vamos a obtener bueno primero recuerda que estos tres valores hacen que el gradiente de la granja no sea a cero y recuerda si encontramos varios puntos críticos que hagan de la granja no igual a cero vamos a evaluar todos ellos en la función r hasta encontrar el máximo vamos a encontrar el punto crítico que hagan que la función se maximicen y ese punto crítico le vamos a llamar h estrella a estrella blanda estrella esto va a ser útil porque si evaluamos esto me va a quedar que esto es igual a la función r a la función r evaluada en h estrella como a estrella ok ya esto le voy a quitar lambda estrella que multiplica a bueno a la función fem evaluada en h estrella evaluada el h estrella a estrella ya esto le vamos a quitar a b b que es nuestro presupuesto y puedo tal vez podrán decirme por qué estoy haciendo todo esto sólo estás introduciendo las estrellas a algo que ya sabíamos pero la clave aquí es que se introducen a h estrella ya a estrellas primero el valor de la función pm evaluado en h estrella a estrella menos este presupuesto esto me tiene que dar 0 y eso ya que tienen que satisfacer esta restricción recuerden una de las partes geniales acerca de esta función la gran que anna es que cuando sacan la derivada parcial con respecto a lambda entonces esto solamente obtienes la función verde - ven porque la derivada de lambda con respecto a la madame es 1 y si después tomamos esa derivada igual a 0 entonces me quedan que la función de de gea tiene que ser igual a el presupuesto a esta b minúscula que habíamos definido aquí y esto es porque la restricción te mantiene el presupuesto alcanzan los 10 mil pesos eso cuando se introducen esta h estrella y esta a estrella apropiadas a este valor recuerda no podemos gastar una infinidad de dinero entonces esto de aquí como h estrella y ya estrella son soluciones del ejercicio de optimización entonces toda esta parte de aquí va a ser igual a cero esto va a ser cero y lambda estrella por cero también se va a cancelar entonces simplemente me quedan con ere evaluada en h estrella a estrella pero observa que esto que tengo aquí es simplemente el máximo es simplemente me estrella entonces esto es m estrella y tal vez sea evidente que cuando evaluamos en la granja long en este punto crítico h estrella a estrella lambda estrella me dé pues simplemente m de estrella o tal vez no sea tan evidente pero lo acabamos de obtener entonces esto es lo que me dan ela granjeando evaluado en este punto crítico y es que finalmente lo que queremos entender es cómo cambian este valor máximo cuando lo consideras como una función del presupuesto así que claramente lo que vamos a buscar es preguntarnos cómo cambia el la granja no con relación al presupuesto es decir estamos muy interesados en saber cuál es la derivada de la granja no con respecto a b y bueno tal vez estés tentado a decir que viendo la definición de la granja no esto me va a quedar exactamente igual y bueno aquí solamente tenemos a ver entonces sería la derivada de esto con respecto a ver sería hacer la derivada de esto con respecto a b sería 0 y solamente me quedaría lambda vez que cuando lo derivamos con respecto a b me quedarían simplemente lambda entonces podrás decir sí claro por supuesto la derivada de xela granjeando con respecto a ver es la bda es todo lo que estamos trabajando pero hay que tener cuidado aunque suena convincente esto no forzosamente es cierto porque el problema es que la granja no no está definido como función debe si lo observas la definición de la granja no no consideran ave como una variable por lo tanto tal vez no sea completamente cierto tomarnos esta derivada de la granja no con respecto a ver y obtener eso para poder tomarme la granja no como una función debe lo que tendría que hacer es lo siguiente definir ahora a la granja no pero lo voy a definir como una función debe y la forma en la que voy a definirla es la siguiente me voy a tomar a esta h estrella h estrella pero ahora la voy a ver como una función de ver porque hemos visto que es una función de ver así que déjame escribirlo h estrella debe o kate coma y ahora me voy a fijar en esta estrella y también voy a tomar a esta estrella como función de ver a estrella debe porque como vimos también depende de cómo cambia el presupuesto y bueno también me falta fijarme en esta lambda estrella en esta lambda estrella que como vimos también es una función de ver entonces voy a poner aquí lambda estrella estrella de bem es una función que también va a depender de be y esta vez voy a tomarme una cuarta variable en este la granja no mi cuarta variable va a ser la misma porque bueno porque todas estas funciones dependen de ben entonces ve observa que podría decir que la granja no es una función solamente deben pero creo que se entiende más que aunque todas éstas dependen de ven en la granja no es una función multi variable y en este caso de cuatro variables y para hacerlo más explícito déjenme escribir aquí en cada una de las definiciones que teníamos aquí en el gran cañón pero que ahora dependen de bien la función r que dependen de h estrella porque recuerda estamos evaluándolo en h estrella y en la estrella pero ahora h estrella y estrella dependen de v así que lo voy a poner aquí a estrella y h estrellas dependen de v ya esto le quitamos lambda veces lambda estrella veces pero el lambda ahora también es una función que depende de b así que lo voy a escribir aquí que a su vez multiplican que a su vez multiplican a p mayúscula a la función del presupuesto depende de estrellas recuerda estamos evaluando en h estrella que a su vez depende de bem y también depende de la estrella que a su vez en esta ocasión también depende de be ok y a esto le quitábamos le quitábamos bueno simplemente en el presupuesto entonces le quitábamos ven y déjame cerrar este paréntesis observa que esta definición que puse aquí es la definición explícita de este la granja no en h estrella debe a estrella deben lambda estrella de b&b ahora recuerda tanto a estrellas como a estrellas como lambda estrella hacen que el gradiente de la granja no es decir de toda esta función que tengo aquí el gradiente de esta función sea igual a cero pero bueno ahora h estrella a estrella lambda estrella dependen de v así que si ahora queremos evaluar la derivada esta función la granja na con respecto a ven ahora si no puedo tomar esta derivada porque observa ahora si es una función que depende de p bueno pues esto va a ser igual y para hacer esta derivada lo que tenemos que utilizar es la regla de la cadena la regla de la cadena multivariable así que si en este punto no conoces la regla de la cadena multivariable puedes echarle un vistazo al vídeo acerca de ese tema definitivamente pausa el vídeo y ve a ver el vídeo sobre la regla de la cadena en este tipo de función multi variable asegúrate de que entiendes todo esto muy bien porque voy a suponer que ya conoces la regla de la cadena multivariable porque si ahora me tomo la derivada de la granja no con respecto a b lo que realmente voy a hacer es tomarme la derivada de la granja no con respecto a cada una de estas cuatro variables y a su vez multiplicarlo por la derivada de cada una de estas variables con respecto a bien es utilizar simplemente la regla de la cadena entonces si me fijo en la primera variable me quedaría la parcial de la granja no con respecto a esta h estrella y esto a su vez va a multiplicar déjame ponerlo con este color esto a su vez multiplicarían a la parcial de h estrella con respecto a esta variable b con respecto a b esto para la primera entrada a esto le tendríamos que sumar y bueno me va a pasar lo mismo aquí tengo la parcial de la granja no con respecto a esta estrella y esto a su vez va a multiplicar a la parcial de la estrella a estrella con respecto a esta nueva variable ok ya esto le tendríamos que sumar la parcial de la granja no con respecto a lambda estrella a lambda estrella esto que multiplica a la parcial de lambda estrella con respecto a b ok con respecto a b y por último le tendríamos que sumar bueno observa mi cuarta variables ven entonces tengo que sumarle la parcial de la granja no con respecto a b y bueno aunque esto es un poco absurdo vamos a ponerlo para terminar toda esta derivada que buscábamos por la derivada de la parcial de b con respecto a b aunque sepamos que esto es 1 y ahora seguramente estás pensando que esto está terrible de calcular imagínense calcular todo esto que tenemos aquí además seguramente te vas a preguntar cómo podremos obtener la derivada parcial de h estrella con respecto a b y la derivada parcial de estrella con respecto a b y la derivada de lambda estrella con respecto a b pero observa lo siguiente nosotros ya sabemos que si calculamos la parcial de esta es la granja con respecto a esta h estrella esto que tenemos aquí es la primera componente del gradiente de lambda evaluado en h estrella y cómo está evaluado en h estrella y h estrella hace que este gradiente sea 0 entonces esta parcial va a ser cero y 0 por lo que sea me da 0 y va a pasar lo mismo aquí si cálculo la parte de la granja no con respecto a estrellas bueno esta es la segunda componente del gradiente de la función la granja nam evaluada en la estrella pero a estrella hacía que esta segunda componente fuera igual a cero por lo tanto esto de aquí me quedaría cero por esto que tengo aquí lo cual me va a dar cero y va a pasar lo mismo para esto que tengo aquí la parcial de la granja no con respecto al hambre estrella es la tercera componente de este gradiente de la granja no porque lambda estrella hace que esta tercera componente sea igual a cero entonces esto también se va así que si observo que este es simplemente uno ahora puedo concluir que la parcial de la granja no con respecto a b es igual a la parcial de la granja no con respecto a bien y me vas a decir bueno y que tiene que lleguemos a esta respuesta bueno lo que pasa es que si ahora observas que ésta ya es una función de cuatro variables entonces podemos ver cuál es la derivada de esta función la gran henna con respecto de tal vez sea más fácil teniendo todas las estrellas que le pongan hombre de la granja no estrella y entonces aquí lo que quiero tomarme es la parcial de la granja no estrella con respecto a ver pero ahora lo importante es que aquí no tenemos a una vez de manera explícita entonces cuando calculó la derivada con respecto a ver esto se eliminan esta parte de aquí también se eliminan y solamente me quedaría la derivada de lambda estrella que es una función de b por b y si calculó esa derivada con respecto a b esto de aquí me va a dar simplemente esto de aquí me va a dar simplemente lambda estrella lambda estrella que bueno sabemos que es una función de ver déjame especificar la lambda estrella de es decir lo que hicimos fue escribir a esta es la granja no estrella como una función multi variable de cuatro variables pero tres de estas variables están bloqueadas porque son los valores donde evaluamos a esta función la granja nam para que su gradiente se hiciera igual al vector cero entonces podríamos decir que esta función de la granja no estrella solamente depende de si cambia bien cambian estos tres valores pero estos tres valores están bloqueados y tal vez esto sea un punto que parezca un poco confuso con toda esta anotación de las estrellas y bueno no estoy de acuerdo con ustedes pero aquí la parte importante la parte importante que vale la pena recordar es que sólo empezamos considerando avn como una variable y cuando b empezó a ser una variable cambió todo porque entonces h estrella debe a estrella devin y lambda estrella deben son funciones que ahora dependen de la variable be y también por otra parte hicimos la observación que m h estrella a estrella blanda estrella es aquel punto crítico donde si evaluamos esta función la granja nam obteníamos simplemente m estrella entonces ahora sí puedo decir que la derivada parcial de m estrella que es una función que depende de ver déjame ponerlo así m estrella debe esté con respecto a b esto va a ser igual bueno está derivada parcial está evaluada en el punto crítico por lo tanto todo esto se cancelarían y me quedo simplemente con lo que buscaba con lambda estrella de b déjenme escribirlo lambda estrella de ven que es a lo que queríamos llegar así que si quieres conocer la derivada del ingreso máximo con respecto al presupuesto vale la pena fijarse en el valor que toman lambda estrella el multiplicador de lagrange en el punto crítico que por cierto es lo mismo que la derivada parcial de la granjearon con respecto al presupuesto así que mientras estemos considerando todo esto en el punto crítico en los valores de h.stern a estrella y lambda estrella todo esto se reduce de una manera agradable a sacar esta derivada parcial que nos dan justo la relación que buscábamos