El Lagrangiano

muy bien hoy vamos a estar hablando acerca de la granja no anteriormente hablamos acerca de los multiplicadores de la granja y este nuevo concepto de la granja no es un concepto que está muy relacionado con los multiplicadores de la granja de hecho no nos está enseñando nada nuevo simplemente es aplicar lo que ya sabíamos de una forma un poco más sencilla y compacta así que para recordarles la configuración del ejercicio de optimización con restricciones del cual estábamos hablando voy a escribir de nuevo aquí una función voy a escribir de nuevo que aquí teníamos una cierta función f de x y una función multi variable y bueno esta función era igual am y no sean se me ocurren x cuadrada que multiplica a m elevado a la gent x gent y lo que tenemos aquí mostrado son las curvas de nivel para esta función entonces decimos qué pasa si establecemos esta función igual a una cierta constante y bueno si escojo una constante entonces vamos a ver unas ciertas curvas de nivel pero sí cambios de constante si escoge una constante diferente entonces esta curva del nivel puede verse un poco diferente pero observa que es agradable que tengan formas parecidas entonces esta es la función y estamos tratando de maximizar la el objetivo es maximizar esta función x bien así que déjame escribirlo el objetivo era maximizar la y por supuesto no sólo eso la razón por la cual llamamos a este ejercicio un ejercicio de optimización con restricción es porque tienen una cierta restricción vamos a tener otra función llamada la función gm que también es una función desde x ideye que me va a dar todos los posibles valores que puede tomar x james igualada a una cierta cantidad así que en este caso voy a decir que gm de clic en esta función x cuadrada más cuadrada y lo voy a hacer igual a una cierta constante voy a hacerlo igual por lo tanto no podemos tomar cualquier valor que se nos ocurran de equis de ye justo aquí para maximizar esta función tenemos que cumplir también la restricción de que x cuadrada malla cuadrada tiene que ser igual a 4 y hable acerca de esto en los últimos vídeos sobre algunas de las cosas fantásticas que encontramos una de ellas fue que al ver las diferentes curvas de nivel de efe el máximo sería alcanzado cuando esa curva de nivel sea perfectamente paralela a la curva del nivel de g y un ejemplo bastante clásico que habíamos visto de eso es cuando esta función efe le poníamos el nombre de r era la función r que era mi función de ingreso el ingreso que obtiene una cierta compañía no sé ustedes están modelando sus ingresos basados en diferentes gestiones que podrían hacer dirigiendo justo esa compañía y a esta función restricción en lugar de llamarla gm le poníamos el nombre de la función de la función que cumplían un cierto presupuesto entonces lo que estamos tratando de hacer es maximizar el ingreso que entra a tu compañía limitado a un cierto presupuesto es decir lo que estás dispuesto a gastar y bueno todas estas funciones son ficticias nunca tendrás un presupuesto que se viera como un círculo y esta es una configuración aleatoria para tu ingreso pero en principio ustedes saben a lo que me refiero así que la manera en la que sacamos provecho de esto es que si tenemos la propiedad de la tangencia imagínate que esta es la curva y que por acá nos tomamos a la otra curva imagínate esta otra curva ambas son tangentes en un punto entonces el punto donde las dos funciones son tangentes entre sí me dicen que el vector gradiente donde las curvas son tangentes el vector gradiente de esta función r déjame ponerle nombre éste es el vector gradiente de la función r este va a ser paralelo o proporcional al vector de a diente de nuestra función restricción al gradiente de nuestra función restricción que en este caso es el gradiente esta función ven y lo que significa es que cuando quieres resolver un tipo de ejercicio de optimización con restricciones entonces vas a fijarte en que el gradiente de esta función r no va a ser forzosamente igual al gradiente de esta función bem va a ser proporcional entonces si pongo aquí el gradiente de esta función ven hay que multiplicar por una cierta constante ya esa constante le poníamos el nombre de lambda que era justo el multiplicador de lagrange entonces el gradiente del ingreso es proporcional al grado ente del presupuesto e hicimos un par de ejercicios resolviendo este tipo de cosas porque recuerda esto nos daban dos ecuaciones que utilizaban derivadas parciales y después teníamos una tercera ecuación que era justo está la ecuación de la restricción ahora bien él la granja no que es justo lo que queremos estudiar en este vídeo es una manera de resolver esta misma ecuación junto con la ecuación en una sola entidad así que si lo piensas en esa manera no estamos añadiendo información nueva pero lo que sí es que vamos a simplificar bastante las cosas que hacemos a mano y sobre todo va a ser más sencillo si hacemos esto a computadora así que voy a mostrarte a qué me refiero la forma en la que defino la granja no es con esta el lector si va va a ser una función multi variable que va a tener las mismas entradas que tienen la función que queda es maximizar y tu función de restricción x y james pero además va a tener una nueva variable la otra variable que va a tener va a ser lambda lambda así que esta es la forma en la que vamos a definir el a granjean o la manera en la que lo definimos es la siguiente te vas a tomar la función que quieres maximizar la función de ingreso tal cual con las mismas variables es decir agarras a efe que depende de x y que depende de iu ya esto le vas a quitar lambda veces y aquí están porque incluimos la lambda en el la granja no le vamos a quitar lambda veces que multiplique a la función restricción es decir la función del presupuesto de de x 100 ok fíjate que tenemos las mismas entradas que en pm y a esto le vamos a quitar el valor al que esté igualada la función en este caso el valor es 4 aquí lo puedes ver es 4 o bueno tal vez lo podemos ver de manera más general de la siguiente manera si en lugar de 4 aquí pongo no sea cualquier número es decir le pongo be cualquier número entonces a esto le tendremos que quitar b ibm es una constante así que esta es la forma en la que voy a definir este la granja no observan que es una función multi variable tienes x allí involucrados tanto en la función r como la función ven y tienes a lambda que está multiplicando a esta diferencia y bueno es una función multi variable que depende de x de jay y de lambda porque esta vez constante por lo tanto no depende de esta vez así que déjame especificarlo esta vez de aquí es sólo una constante y tal vez esto te parece una cosa bastante rara y un poco aleatoria sobre todo si lo ves fuera de contexto pero yo pienso que es algo bastante estupendo y vamos a continuar y trabajar con esta función para que veas a lo que me refiero porque ahora lo que vamos a querer es hacer el gradiente de stella granjean o el gradiente de toda esta función que tengo aquí esto igual am el vector 0 déjame ponerlo con este color es el vector 0 y gracias a esto vamos a obtener las tres ecuaciones que obteníamos en los vídeos anteriores y éstas van a salir de calcular el gradiente de l porque el gradiente va a ser un vector de tres entradas diferentes voy a tener la derivada parcial de la granja no con respecto a x la derivada parcial de la granja no con respecto a james y la derivada parcial de la granja no con respecto a lambda porque son nuestras tres entradas que estamos considerando en esta función así que déjame escribirlo esto va a ser lo mismo que y lo voy a poner con este color la derivada parcial de m l con respecto primero a x ok después tengo la derivada parcial de l con respecto ayer y por último tengo la derivada parcial d con respecto a la vda así que lo voy a escribir así y bueno si hago este vector igual al vector 0 lo que realmente estoy diciendo es que cada una de estas componentes va a ser igual a 0 estás de acuerdo esta componente va a ser igual a 0 esta componente va a ser igual a 0 y esta otra componente también va a ser igual a 0 es decir lo que estoy diciendo es que cada una de estas ecuaciones va a ser igual a 0 y tal vez lo encuentres así como una negrita en los libros de texto tal vez encuentres como una flecha en los libros de texto no realmente está hablando del vector 0 entonces estas tres derivadas parciales las vamos a hacer iguales a cero todas ahora piensen un poco de esto que son las derivadas parciales bueno pues vamos a calcular la primera vamos a calcular déjame ponerlo con este color la derivada parcial de él con respecto a x con respecto a x bueno pues esto va a ser igual y observa aquí tenemos primero la función r que depende de x entonces me quedarían déjame ponerlo con su respectivo color me va a quedar como la derivada parcial de esta función r con respecto a x ya esto le voy a quitar y ahora observa lambda cuando te digo con respecto a x me parece como una constante es simplemente una constante así que es una constante que multiplica a lo que está acá adentro es una constante que va a multiplicar a bueno la derivada de esto que tengo aquí adentro ahora quién es la derivada de esto que tengo aquí adentro si observas primero tengo la derivada de esta función p con respecto a x porque esta función ver depende de x entonces me quedaría la derivada parcial de b con respecto a x y después tengo la derivada de b con respecto a x pero b es una constante entonces se eliminan simplemente me quedaría 0 la derivada de una constante con respecto a x es 0 entonces se va así que ésta va a ser la derivada de la granja no con respecto a x y xi esto lo hacemos igual a cero observamos que es lo mismo que tomarme la derivada de r con respecto a x igual a lambda veces la derivada de b con respecto a x que si recuerdas en los vídeos pasados era justo la primera componente que nos tomábamos cuando hablábamos de esta función que tengo aquí del gradiente de r igual a lambda veces el gradiente de b entonces nos daría la primera porción de esta parte que habíamos visto en otros vídeos la primera componente de esto sería la derivada parcial de r con respecto a x igual a lambda veces la derivada parcial de ver con respecto a x que es justo lo que tenemos y si hacemos con otro color derivada de l con respecto a 10 observa que vamos a obtener algo muy similar con respecto a yemen esto va a ser igual bueno primero vamos a derivar esta función r con respecto a yemen entonces me queda la derivada parcial de r con respecto a ok - ya esto le vamos a quitar lambda veces porque lambda zona constante lambda que multiplica a y bueno va a ser algo muy parecido tengo la derivada de b con respecto a gem la derivada parcial de b con respecto ayer y si derivamos una constante bueno con respecto ayer o con respecto a x esos 0 entonces si hago esto igual a cero observa que estoy obteniendo la segunda componente de esta parte que tengo aquí del gradiente de r igual a lambda veces el gradiente de bem porque si esto es igual a cero me quedaría que la derivada parcial de r con respecto a eso a lambda a veces la derivada de b con respecto ayer lo único que está pasando es que este gradiente de aquí está trayendo del otro lado las dos ecuaciones que ya teníamos pero ahora nos falta calcular la derivada parcial de l con respecto a la anb da y cuántos eso bueno pues vamos a bajar un poco la pantalla para calcularla vamos a calcular la derivada parcial de l con respecto a landa y lo primero que quiero que observes es que toda esta función r depende de x y depende de james por lo tanto no va a tener nada de lambda involucrado aquí es meramente una función que depende de x de jane por lo tanto la derivada parcial de esto con respecto a lambda es cero es una constante por lo tanto se va y aquí me quedarían menos menos es este menos de aquí y ahora tengo algo por lambda si cálculo la derivada de una constante porque nada de esto depende de lambda que multiplica a lambda me quedaría simplemente la constante entonces esto sería p de equis bien ok esto - bien y aquí tenemos un paréntesis menos b ok y si ahora hacemos esto de aquí igual a cero esto de aquí igual a cero y si observas esto quiere decir que esta parte de aquí tiene que ser igual a cero o dicho de otra manera ven la función pm que depende de x y de james tiene que ser igual a esta b minúscula a esta constante que que crees es justo lo que tenemos aquí llegamos a la tercera ecuación que veíamos en los otros vídeos acabamos de encontrar la ecuación de restricción así que gracias a establecer esta forma que tenemos aquí el gradiente de lambda igual a cero tenemos una forma muy compacta de escribir estas tres ecuaciones estas tres ecuaciones que antes teníamos por separado y todo esto recuerdan era el ejercicio de optimización con restricción y bueno quiero enfatizar que en la práctica tal vez sea mucho más fácil resolver las estas tres por separado tal vez aquí lo que estamos haciendo es envolviendo todo para después desenvolverlo pero el objetivo de esto o la razón por la cual creo que esto es un modelo muy útil es que las computadoras a menudo pueden resolver este tipo de ecuaciones de una manera muy rápida y esto porque las computadoras ven el gradiente de una función igual a cero por lo tanto no se preguntan cuál es el máximo de la función cuál es mínimo de la función o si tenemos una función de reflexión o un ejercicio de optimización con restricciones simplemente tienen un gradiente que tienen que hacer igual a cero bueno por ahora los voy a dejar en este vídeo pero en el siguiente vídeo les voy a hablar sobre esta lambda que tenemos aquí y vamos a ver cómo está lambda no es simplemente una variable fantasma de hecho tiene una interpretación muy agradable para un ejercicio con restricción dado como éste