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Contenido principal
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Transcripción del video

cuando tenemos una función de varias variables digamos un a efe que depende de x ley y quizás muchas otras cosas verdad en realidad esta función toman varias variables de entrada y digamos que esta función tiene un sólo un número de salida en verdad algo algo muy común que solemos hacer con este tipo de bichos verdad es tratar de buscar un valor máximo para esta función es decir estaríamos tratando de maximizar nuestra función vamos a tratar de maximizar nuestra función verdad qué significa esto bueno significa hallar digamos los valores de x gay y quizás las otras variables de entrada para hallar todas estas de tal suerte que nuestra función efe o la salida bajo efe es tan grande como sea posible y esto parece digamos en la práctica todo el tiempo verdad porque por lo general no no sólo jugamos con estas funciones de bari de varias variables sólo por por hacer trucos y derivadas y demás verdad en realidad estas funciones pueden significar varias cosas por ejemplo una opción que puede significar es que la función efe tiene la interpretación de que sean ganancias de una empresa verdad donde las variables pues podrían ser distintas podría ser los salarios de cada trabajador quizás el número de trabajadores los costos digamos de de de la materia prima si estás haciendo algún producto quizás la deuda que vas a adquirir para invertir en fin puede tener muchísimas muchísimas interpretaciones verdad y esencialmente tenemos técnicas para encontrar los valores máximos que puede alcanzar esta función y los veremos enlace en los próximos videos verdad otra fue otra digamos interpretación que podemos darle a esta función y que de hecho tiene gran relevancia en los estudios de inteligencia artificial verdad es cuando asignamos una función de costo alguna tarea que realiza la computadora la computadora entonces vamos a asignar una función de costos verdad donde por ejemplo lo mejor estamos queriendo enseñar a una computadora digamos a entender un audio o quizás a leer un texto entonces lo que tratamos de hacer es hallar una función que diga que tan mal lo está haciendo cuando hace un intento entonces si diseñamos bien esta función verdad entonces lo que necesitaríamos es minimizar la función de costos verdad es decir minimizar la función de costo es decir hallar una forma de tal suerte que la computadora sepa que no lo haga tan mal verdad o que lo haga lo mejor posible así que muchas cosas en inteligencia artificial se reducen a hallar digamos una función de costo que quizás no es una tarea fácil y después tratar de aplicar técnicas que que veremos en los siguientes videos y dejar que la computadora trate de minimizar esa función de costo pero no sólo que que lo haga de esta forma en realidad mucha investigación se ha enfocado en lograr que estas técnicas se realicen de forma rápida y eficiente y antes que nada primero vamos a tratar de pensar qué significan hallar el máximo de una función de varias variables y aquí del lado izquierdo tengo una gráfica de una función de dos variables es decir tenemos una entrada en un espacio de dos dimensiones y la salida esencialmente es la altura en la gráfica de la función verdad es un número y si queremos maximizar entonces tendríamos que hallar el pico más alto en la gráfica de esta función ya que hemos hallado el pico ahora buscamos la entrada en el plano ekije verdad debajo del pico es decir esto sería la entrada que maximiza la función verdad entonces cómo podríamos hallar esta entrada bueno la observación fundamental aquí es pensar que si tomamos un plano tan gente en el pico verdad aquí aquí podemos ver el plano este plan no será paralelo al plano ekije y si lo hiciéramos digamos no sé quizás en otro punto digamos en en algún otro lado cercano donde no hay un máximo si el plan está inclinado que es lo que nos dice esto bueno pues nos dice que si nos movemos ligeramente en la dirección de la inclinación del plano podríamos aumentar el valor de la función y si no hay digamos si no hay pendiente de este plan no es una señal de que si nos movemos en alguna dirección en realidad no va a aumentar considerablemente su su valor su altura verdad ahora la pregunta natural es bueno y esto qué significa en términos de fórmulas verdad entonces aquí tendríamos que recordar cómo hallar los planos tangentes para eso te recomiendo que hace que los videos que ya hemos desarrollado en can academy sobre este tema así que si pensamos en la pendiente digamos en la dirección x aquí podemos ver esa pendiente y pensamos también en la pendiente en la dirección pues entonces ambas deben ser cero verdad ambas se tienen que anular así que lo que requerimos es que la derivada parcial df con respecto a la variable x verdad por supuesto en el lugar en donde alcanzamos el pico más alto verdad en digamos en el punto x 0 10/0 necesitamos que está derivada parcial se anule verdad y lo mismo debe ocurrir para la derivada parcial de la función con respecto de ye exactamente en el mismo punto x 0 que cerró esta derivada parcial también debe anularse verdad y y ambas deben anularse porque si vemos de este lado verdad si imaginamos digamos que estamos caminando en la dirección de yeso sobre el plano en realidad no estamos aumentando nuestro valor verdad la pendiente en este caso sería cero es decir la derivada parcial respecto de yesería 0 pero si nos movemos en la dirección de x verdad entonces vemos que nuestra pendiente es negativa porque porque disminuimos al aumentar el valor de x esto no implica que pequeños pasos sobre la gráfica hará que la altura disminuya verdad en esa dirección así que si vemos estas dos ecuaciones en realidad tenemos un sistema de ecuaciones donde buscamos hallar los valores de x 0 y jess 0 que satisfagan a ambas ecuación es verdad que cumplan ambas ecuaciones ahora sólo porque se cumplen estas dos ecuaciones no implica que ya hayamos el máximo sólo es un requisito pero si buscamos digamos por ejemplo en los pequeños picos que tenemos alrededor de este gran pico verdad en realidad en todos ellos su plano tangente también sería paralelo al plano y guille verdad de hecho es por esto que a todos estos picos se les conoce de una forma muy particular y se les llama máximos máximos locales máximos locales y eso que significaba no esencialmente son máximos pero en realidad no estamos pensando respecto a los vecinos de este pico verdad no no lo estamos pensando con respecto al resto de la función porque respecto al toda la función en realidad sólo tenemos un máximo digamos que podríamos llamar global podríamos también tener otra circunstancia que pasa con los puntos mínimos por ejemplo de este lado vemos un mínimo global y aquí tenemos alrededor algunos mínimos local es verdad que serían justamente como los picos pero invertidos cierto entonces lo que significa o digamos lo que implica es que si tratamos de minimizar la función esto nos dice que necesitamos cumplir este mismo requisito de las dos ecuaciones de que las dos derivada se anulen para encontrar mínimos así que el trabajo en realidad no acaba simplemente hallando los puntos en donde las derivadas parciales se anulen sino que necesitamos considerar más criterios para poder verificar si son máximos o si son mínimos local es verdad entonces esto que tenemos aquí de forma simplificada se puede expresar de la siguiente forma nosotros sabemos que el gradiente de la función el gradiente de la función es un vector que recopila toda la información de las derivadas parciales verdad por ejemplo tenemos la derivada parcial respecto de x la derivada parcial la derivada parcial df con respecto de yee y quizás si tenemos más variables pues tenemos más derivadas parciales cierto entonces este es el vector gradiente y nosotros podríamos decir que estoy acá arriba es igual al vector 0 verdad es igual al vector que tiene puras componentes 0 si bien es la misma forma de decir esto verdad pero con una anotación en vectores y de hecho una forma más compacta es considerar a este vector de digamos donde todos sus componentes son cero como el vector 0 y algunas personas lo denotan como un un cero en negrita cierto entonces esencialmente de forma de digamos de forma compacta buscamos x 0 ig0 de tal suerte que el gradiente de la función en ese punto iguale a hacer muy bien al vector ser en realidad hacemos esto para ocupar menos espacio en la práctica pues de todos nos tenemos que calcular las derivadas parciales igualarlas a cero y tratar de resolver el sistema de ecuaciones pero la idea detrás de todo esto es que el plano tangente es paralelo al plano xd y ya vimos que en realidad no basta con esto para determinar si es máximo mínimo verdad puede que sea cualquiera de los dos pero además en cálculo tenemos otra posibilidad es digamos puede ser un lugar en donde el plan no sea paralelo al plano x ye pero que en realidad no se vea ni como un máximo ni tampoco como un mínimo local ya ese tipo de puntos los conocemos como puntos y allá pero bueno de estos puntos ya hablaremos en el próximo video