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Contenido principal
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Transcripción del video

en el último vídeo nos fijamos en esta función que es la función efe dec y ye igual a x elevado a la cuarta menos 4 x cuadrada más ye cuadrada y que tiene como gráfica a la que tenemos justamente del lado izquierdo y buscamos los puntos en donde el gradiente de la función se anulará es decir fuera igual al vector 0 y hallamos que había en realidad tres puntos distintos verdad aquí están estos tres puntos distintos y que es el 0-0 el raíz de 2,0 y menos raíz de 2,0 que corresponde por supuesto al puntos y ya y estos dos a unos mínimos locales y parecía que teníamos una explicación muy simple de esta verdad porque tomamos las segundas derivadas parciales aquí está la segunda derivada parcial con respecto a x ambas veces verdad y esto resultaba ser negativo cuando x era igual a cero verdad que era justo cuando estábamos en el origen y entonces decíamos que se ve como máximo y también tomamos la segunda derivada parcial con respecto de ye ambas veces también evaluando en cero aquí en realidad no importa la verdad siempre era positivo y bueno concluyamos al menos de forma intuitiva que podría ser un punto silla e hicimos un análisis similar con los otros puntos y vimos que era un que eran mínimos verdad pero al final del video anterior dije que en realidad no bastaba con hacer este tipo de análisis sino que faltaba analizar qué era lo que ocurría con la segunda derivada parcial de la función con respecto de xy con respecto de ella es decir las derivadas cruzadas y para ver esto vamos a tomar otro ejemplo aquí tenemos otro ejemplo entonces podemos ver fácilmente que en este nuevo ejemplo hay un punto si en el origen muy bien entonces vamos a a escribir primero la función que representa a esta gráfica vamos a quitar por ahora bien entonces vamos a escribir a esta función esta función es efe de x com aie y esto será x cuadrada más ye cuadrada más 4x bien ésta será la función que vamos a estar trabajando por ahora verdad y vamos a verificar que tiene en efecto un punto silla en el origen y primero vamos a verificar que el plano tangente a la gráfica de la función en el origen verdad evaluando en x y igual a cero es justamente paralelo al plano ekije así que vamos a tomar la derivada parcial df con respecto de x esto por supuesto es derivando esto con respecto de x nos da 12 x está derivada de llegada de cero y luego tenemos de tribus que derivar esto con respecto de x y nos da más 4 ye ahora derivamos la función con respecto de yee y ahora tendremos dos llegue más 4x cierta entonces estas son las derivadas parciales y nosotros queremos evaluar todo esto en el punto x com hay es igual a cero coma cero para ver que en efecto tenemos un plano que tangente al al 0-0 verdad pero que es paralelo al plano ekije entonces si nosotros sustituimos con x igual a 0 y llegó a la 0 podemos ver que esta expresión se anula si evaluamos en x y igual a cero aquí también se anula verdad entonces concluimos que el plano tangente a la gráfica en el origen verdad es paralela es paralelo perdona al plano ekije bien y entonces si nosotros hiciéramos un argumento como en el vídeo anterior podríamos tratar de calcular la segunda derivada de nuestra función con respecto de x ambas veces y podemos ver que aquí lo único que hay que derivar es esto verdad entonces derivando esto con respecto de x nos da justamente 2 y la segunda derivada de nuestra función respecto de ye ambas veces también es simplemente 2 verdad derivando este término entonces si nosotros sólo nos quedáramos con este análisis esto sugeriría que al tener una concavidad hacia arriba digamos en la dirección x y también en la dirección ya entonces más o menos en ambas direcciones se vería algo de este estilo verdad es decir tendríamos una especie de mínimo local pero al ver la gráfica de la función podemos concluir que no en realidad éste no puede ser un mínimo y en realidad es un punto si ya verdad y todo todo eso sale justamente de este término que tiene un producto cruzado muy bien entonces para este video vamos a empezar a hacer un análisis un poquito más extenso verdad vamos a quitar este número 4 vamos a quitar el número cuatro y ahora vamos a poner una p una peque en principio puede ser una constante pero que además digamos vamos a correr la en valores distintos para 0 1 2 3 y hasta 4 muy bien pp puede tomar cualquier valor entre 0 y 4 pero es una especie de constante y vamos a poner su valor digamos en pie igual a cero por ahora así que en este caso del lado izquierdo podemos ver que tenemos algo que era como como lo esperado verdadera justamente un mínimo incluso por ejemplo si podemos seguir aumentando el valor de bp podemos llevarlo hasta aproximadamente algo como 1.5 y vemos que tenemos todavía un mínimo local verdad pero lo que algo muy interesante es que tenemos un valor crítico que al pasar por ese valor verdad ahora se va a tener un punto silla y en realidad a partir de este valor siempre será un punto silla y ese valor crítico en donde tenemos el cambio de de la geometría de nuestra gráfica ocurre justamente cuando el valor de bp es igual a 2 y ya lo veremos más adelante porque tiene que ser igualados así que por ahora te mostraré cuál es el criterio para determinar esto y ya en otro video haremos el análisis de porqué funciona así que vamos arriba vamos hacia arriba y ahora vamos a empezar a trabajar con lo que conocemos como el criterio de la segunda derivada de la segunda segunda derivada deriva muy bien y en qué consiste este criterio bueno esencialmente siempre buscamos un punto digamos x 0 y el 0 tal que el gradiente evaluado en ese punto se anule verdad es justamente como empezamos el video anterior y vamos a considerar la siguiente expresión vamos a considerar la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces evaluada en ese punto x la segunda derivada de ji df perdón con respecto a deie ambas veces tan bien evaluada en ese punto verdad y ahora vamos a restar otro término que va a ser la derivada cruzada de bueno la segunda derivada cruzada verdad df con respecto de x y luego respecto de ye o en realidad lo mismo si primero derivamos respecto de yale luego de x verdad típicamente pero este término lo vamos a considerar al cuadrado muy bien entonces este digamos es el número que vamos a evaluar y es el que nos va a dar la información necesaria para hacer el análisis de los puntos verdad entonces vamos a decir que este número se llama h muy bien y vamos a tener varios casos tenemos el caso en que h sea un número positivo en este caso cuando la h es un número positivo podemos decir que el punto va a ser un máximo oponente ser un mínimo y en esencia la forma en determinar si va a ser un máximo o mínimo es fijándonos en el tipo de concavidad que exhibe por ejemplo si tuviéramos algo así una concavidad hacia arriba es decir que la noche por ejemplo en este caso podríamos pensar que la segunda derivada parcial df con respecto de x ambas veces fuera positivo verdad entonces en este caso tendríamos un mínimo verdad entonces bastaría analizar con alguno de los de las segundas derivadas para entender si va a ser un máximo y un mínimo y tenemos otro caso en el digamos que es cuando el valor de h es negativo y en este caso no será ni ni máximo ni mínimo si no será un punto si ya verdad y como siempre pues tenemos un caso posible en donde h pueda valer cero verdad y desafortunadamente en este caso el criterio de la segunda derivada no nos dice absolutamente nada sobre sobre el tipo de punto del que estamos hablando muy bien entonces veamos qué pasa con la función con la que empezamos verdad digamos nosotros tomamos esta función efe jgh iguala x cuadra más de cuadrada más pdx1 p x x porsche más bien entonces vamos a considerar esta nueva función tomando ve como si fuera una constante cualquiera verdad entonces nosotros ya hemos calculado la segunda derivada bf con respecto de x ambas veces por supuesto aquí modificando el 4 verdad en vez de cuatro vamos a tener un p lo mismo pasa acá así que de una vez vamos a ponerlo en vez de tener 4 vamos a poner un p verdad y al derivar esto respecto de x otra vez obtendremos el mismo resultado y lo mismo si derivamos respecto de ye mui bien entonces en este caso tenemos que la segunda derivada de este respecto de x y también respecto de ambas veces es 2 verdad entonces este número h que es el que queremos calcular aquí sería de 2 x otro 2 pero necesitamos calcular la segunda derivada cruzada verdad que en este caso quien tendría que ser por ejemplo si derivamos ahora esta expresión con respecto ye vemos que simplemente nos quedaría allí y que sería lo mismo si está de acá abajo derivamos con respecto de x entonces esta parte de aquí está parte de aquí vale p pero está elevado al cuadrado verdad entonces esta es nuestra expresión h para este cas entonces pensemos por ejemplo qué pasaría si pepe fuera igual a cero y peso era igual a cero entonces cuánto vale h bueno pues sería de 2 x 2 que es cuatro entonces hc igual a 4 que de hecho es un número positivo verdad entonces podríamos tener un máximo y un mínimo sin embargo recordemos que la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces dos tenemos una concavidad hacia arriba es decir se ve más o menos como de esta forma parabólica verdad quiere decir que este punto tendría que ser un mínimo muy bien ahora qué pasaría si tomamos el valor de bp igual a 4 bueno en este caso tendríamos dos por dos que es 4 - 4 al cuadrado que es 16 y 4 - 16 32 - 12 entonces tendríamos aquí igual a menos 12 en este caso entonces tendríamos que el valor de h negativo y tenemos un punto silla ahora podríamos pensar ese valor en dónde está el cambio entre tomar un valor h positivo y un valor de h negativo entonces pensamos cuando 2 x 2 - p al cuadrado nos da cero que es el valor de h y podemos ver que para pepe igualados justo tenemos que h es igual a cero verdad entonces cuando ps igualados el criterio de la segunda derivada no basta para decirnos qué tipo de punto es de hecho en este caso podemos observar verdad aquí tenemos la gráfica de esta función para el caso en el que pepe es igual a 2 podemos ver que es completamente plana en una dirección así que por ahora sólo digamos quise enfatizar como es el criterio verdad tomamos un a punto tal que el gradiente la función se anule verdad es que sería como el equivalente a que la primera derivada de la función de una variable se anule y luego consideramos este valor h verdad que es la segunda derivada de efe respecto de x ambas veces por la segunda derivada de efe con respecto de llegue a más veces menos la derivada cruzada la segunda derivada cruzada elevado al cuadrado y todo esto ha evaluado en el punto que nos interesa si ese es positivo tendremos un máximo y un mínimo que podrá determinarse a partir de la concavidad dada por la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces h será negativo cuando tengamos un punto si ya verdad y en el próximo video trataré de no obtener una mejor y intuición de donde salió toda esta fórmula y porque ver el signo de este número h es razonable para determinar el tipo de punto que tenemos nos vemos en el próximo video