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Transcripción del video

un tipo de problema muy común que se ve en muchos cursos de cálculo multivariable dice algo como lo siguiente dice encuentra y clasifica todos los puntos críticos de alguna función que que nos darán eventualmente en este caso tenemos la función que depende de dos variables x y llegue y que es 3x cuadrada por llegue menos de kubica menos tres equis cuadrada -3 ye cuadrada muy bien y antes que nada lo que quizás valdría la pena mencionar es que significa el término punto crítico verdad el punto crítico básicamente es un punto verdad del espacio de entradas en donde el gradiente se anula verdad entonces lo que tendríamos es un lujo un punto verdad donde el gradiente de nuestra función digamos un punto x com aie punto en donde el gradiente sea nula y por supuesto cuando pensamos en que se anula es decir que sea el cero estamos pensando lo como vector verdad y esto básicamente lo podríamos necesitar para cuando quisiéramos clasificar puntos como máximos mínimos o puntos y ya verdad ahora bien tenemos otro punto en nuestro problema y dice clasifica estos puntos críticos y en en realidad lo que significa clasificar es determinar justamente si estos puntos críticos son máximos mínimos o puntos y ya muy bien entonces vamos a tratar de hallar primero los puntos críticos y para eso pues básicamente tenemos que buscar cuando el gradiente se anula es decir cuando ambas derivadas parciales se hacen ser verdad entonces calculamos primero la derivada parcial df con respecto de x muy bien entonces derivamos estos términos con respecto de x entonces aquí yes como una constante y entonces al derivar esta parte tendremos 6 x purgue verdad - verdad no aquí tendríamos una constante entonces en realidad al derivarlos a 0 y luego tenemos menos tres equis cuadrada al derivarlo nos da menos 6 x esto sólo depende de yea sí que es constante y ésta es nuestra derivada parcial con respecto de x vamos a calcular ahora la derivada parcial de nuestra función efe con respecto de ye bien la derivada parcial con respecto de llegue ahora este término es una constante verdad 3x cuadrada tendríamos la derivada de esto es 3 x cuadrada verdad porque la derivada de yeso y ahora derivamos menos de kubica entonces esto es menos tres ye cuadrada este término sólo depende de x así que se anula al derribarlo y finalmente al derivar esto nos queda menos seis ye verdad y nosotros en esencia lo que queremos es que estas dos derivadas parciales sean igual a cero verdad entonces cuando igualamos a 0 la primera expresión lo que podríamos hacer primero es una factoría acción podemos factorizar 6 x y aquí 6x tendría que multiplicar aie para que nos dé el primer término y luego tendría que multiplicarán menos uno para que nos dé menos 6 x y esto es lo que tiene que ser igual a cero verdad entonces lo que podemos ver es que tenemos un producto de dos números que nos da cero entonces el primero es cero o el segundo es cero esto quiere decir que x tendría que ser cero entonces de aquí x es igual a cero o bien llegué tendría que ser igual a 1 verdad y eso es para que esta expresión nos de ser entonces éste tendría que ser digamos el primer requisito verdad para que sea punto crítico ahora bien podemos utilizar esta información en nuestra segunda ecuación que queremos igualar a cero verdad entonces podríamos suponer primero que x es igual a cero verdad y veamos qué es lo que pasaría entonces si x es igual a cero que es nuestra primera condición verdad y lo sustituimos en esta expresión pues esto se anula y lo que nos queda es menos tres ye cuadrada -6 igual a cero verdad entonces nuevamente aquí podríamos factorizar - 3 llegue menos 3g y hay que multiplicarlo por qué para que nos den menos tres de cuadrada y luego multiplicarlo por más dos verdad para que nos dé -6 llegue y esto es igual a cero entonces otra vez si este producto es igual a cero quiere decir que esto es cero o es tercero pero esto es 0 silles igual a cero y este factor es cero sigue es igual a menos dos muy bien entonces esta es la primera situación cuando x toma el valor de 0 que era la parte del del primer requisito entonces ya puede tener dos opciones o es cero o es menos dos veamos qué pasa en la otra situación que pasa si ahora es igual a 1 en este caso sustituimos en esta expresión y tendríamos vamos a ponerlo con amarillo tendríamos tres equis cuadrada menos tres por uno al cuadrado menos seis por uno y esto nos da cero verdad eso queremos que sea cero pero antes vamos a simplificarlo esto será 3x cuadrada menos tres por uno al cuadrado será menos tres y menos seis por uno es menos seis entonces -3 y -6 nos da menos nueve todavía podemos simplificar lo porque podríamos factorizar 3 que multiplica a x cuadrada -3 y esto es lo que queremos que sea igual a cero entonces aquí podemos ver que tres pues no va a ser cero entonces quién tiene que ser cero es x cuadrada -3 quiere decir que x tiene que ser la raíz cuadrada de 3 la raíz cuadrada de tres o puede ser también - la raíz cuadrada de tres entonces si nos damos cuenta ya encontramos las condiciones digamos complementarias para que los puntos sean puntos críticos verdad bien esencia tenemos cuatro posibilidades primero tenemos el caso en el que x vale cero entonces tendríamos el caso en el que x vale cero y tenemos dos posibilidades en cuyo caso tendríamos la posibilidad de que lleva el acero o de que lleva haga menos dos bien y en la siguiente situación tendríamos que llegue tiene que valer 1 verdad y tenemos dos posibilidades la primera posibilidad es que equivalga a raíz de tres y la otra posibilidad desde que x valga menos la raíz de tres y estos cuatro puntos que hemos encontrado aquí son los puntos críticos son los puntos críticos verdad son justo donde el gradiente se anula y lo que haremos en el siguiente video será clasificar estos cuatro puntos críticos ya sean máximos mínimos o puntos y allá