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Transcripción del video

en el video anterior nos dieron una función de varias variables efe dec y ginos pedían que encontráramos y clasificáramos todos los puntos críticos de esta función verdad entonces recordemos que un punto crítico es justamente donde el gradiente de nuestra función se anula es decir es el vector 0 verdad y nosotros en realidad hayamos cuatro puntos críticos y aquí están los cuatro puntos críticos el 000 como -2 raíz de 3,1 y menos raíz de 3,1 ahora el siguiente paso es clasificarlos y para eso requerimos el criterio de la segunda derivada así que voy a copiar y pegar las derivadas las primeras derivadas que son éstas copiar y pegar las abajo para poder tener espacio y trabajar muy bien entonces vamos a copiar estas derivas muy bien entonces de hecho no necesitamos esta simplificación sólo vamos a dejarlo así para que tengamos un buen espacio para trabajar muy bien entonces lo que necesitamos para aplicar el criterio de la segunda derivada es justamente calcular todas las derivadas de segundo orden entonces empecemos primero con la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces entonces tenemos que derivar esta expresión con respecto de x y aquí ya es una constante verdad entonces tendremos seis por llegue por la deriva de x respecto x que es uno menos la derivada de 6 x que es 6 ahí tenemos nuestra primera derivada ahora derivamos dos veces a efe con respecto ayer verdad ambas veces entonces sería derivar esta expresión con respecto de esto es una constante entonces al derivar es cero verdad es una constante para fines de derivar con respecto de yee y derivamos esto con respecto de jane nos da menos seis porque verdad y luego al derivar esto de aquí es menos seis menos y finalmente tenemos que calcular la derivada parcial mixta verdad primero respecto de x y luego respecto de yee y por supuesto que en realidad puede ser primero al respecto de yale luego respecto de ekin y xaki en realidad tenemos por los polinomios es algo que se puede hacer pero vamos a derivar ahora esta expresión con respecto de ye mui bien entonces aquí ya es la variable 6 x es una constante entonces al derivar estos simplemente nos da 6 x y esto es una constante para fines derivar respecto deye ruyi al derivarlo nos da cero entonces estas tres son las derivadas parciales de segundo orden así que vamos ahora a borrar esto y pongamos la expresión necesaria que tenemos que que analizar para utilizar el criterio de la segunda derivada verdad recordemos que necesitamos calcular el la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces multiplicarlo por la segunda derivada de efe con respecto de llegan más veces y luego restarle el cuadrado de la segunda derivada de efe pero la la derivada mixta cierto esta es la expresión que necesitamos así que vamos a ver cuánto vale esto en cada uno de nuestros puntos críticos entonces digamos para el punto 0-0 necesitamos evaluar esto cuando llegues igual a cero verdad entonces tendremos 6 por 0 es cero -6 es menos seis ahora esto evaluado en cero sería menos 6 por 0 que 0 - seis es otra vez menos seis y luego restamos esto evaluado en x igual a cero al cuadrado pero por supuesto que esto es 0 al cuadrado entonces esto es menos seis por menos seis que son 36 que de hecho es un valor positivo pero bueno luego hacemos el análisis de cada uno de los puntos críticos que y entonces ahora vamos a hacerlo en 0,22 entonces aquí sería 6 x - 2 - 66 por menos 12 - 12 - seis nos da - 18 18 muy bien ahora aquí sería menos seis por -2 verdad aquí serían menos serían más 12 - seis serían menos él sería 12 - 636 verdad y luego restamos 0 al cuadrado otra vez porque quise es cero entonces tenemos menos 18 por 6 es menos seis por ocho son 48 llevamos 4 6 por 1 son seis y cuatro son diez son menos 108 en realidad el valor no importa porque lo que importa es que es negativo muy bien ahora hagamos con este siguiente punto crítico que es raíz de 3,1 muy bien entonces vamos a borrar esta parte y ahora vamos a analizarlo con raíz de 3,1 en 3,1 y entonces tendríamos seis por el valor de ye que sería uno menos seis entonces tendríamos seis por menos 630 verdad ahora bien si lo hacemos aquí abajo a borrar esta parte para no confundirnos verdad entonces si nosotros ahora evaluamos con ye igual aún no tendríamos menos 6 por 1 - 6 y esto nos da menos 12 verdad esto es 0 por - en realidad no importa qué era esto vamos a multiplicar por 0 y nos dará hacer entonces lo único que nos falta es restar las derivadas parciales mixtas verdad entonces aquí sería 6 por raíces de tres porque kisses raíz de tres entonces esto sería 6 por raíz de tres elevado al cuadrado verdad entonces esto sería cero y tendríamos que restar 36 por tres verdad 36 por tres son 108 son menos 108 en realidad no importa verdad otra vez lo que va a importar es que sea negativo y ahora qué pasaría si tenemos menos raíz de tres con 1 verdad entonces otra vez aquí tendríamos seis por uno menos seis que sería cero verdad aquí tendríamos menos 6 por 1 - seis que en realidad sería menos 12 otra vez y tendríamos menos seis más bien sería - wright bueno tendremos que sustituir con x igual a menos raíz de tres verdad entonces aquí sería menos seis raíz de tres y no importa en realidad porque vamos a elevar al cuadrado y esto será exactamente igual a menos 108 verdad que son 36 x 3 ok entonces si nos damos cuenta ahora lo que tenemos que hacer es analizar qué es lo que nos dice el criterio de la segunda derivada verdad nos dice que si esta expresión es mayor que cerró entonces vamos a tener un máximo o vamos a tener un mínimo y si esto es menor que cero entonces vamos a tener un punto silla puntos y allá entonces de esto podemos observar que sólo esté este punto crítico es un punto máximo o mínimo verdad y de hecho podríamos saber si es un máximo mínimo porque la segunda derivada de efe con respecto de x cuando evaluamos en en el punto crítico que 00 verdad en realidad es menos seis esta era este es el valor de la segunda derivada al respecto de x y eso es negativo quiere decir que la concavidad es hacia abajo verdad y entonces tendríamos un punto máximo verdad entonces la concavidad de más o menos así y entonces aquí tendríamos un máximo ahora bien en todos estos en estos tres restantes tendremos valores negativos lo cual nos dice que tenemos puntos si ya verdad es decir ni son máximos ni son mínimos hay una dirección en donde se pueden ver como máximos otra donde se ven como mínimos así que la respuesta a la pregunta original verdad en donde nos pedían que encontráramos y clasificáramos todos los puntos críticos de esta función pues nosotros sabemos que hay cuatro puntos críticos son estos cuatro y sólo uno de ellos es un máximo local verdad es un máximo local el punto 0-0 y eso es lo que podemos decir incluso sin tener la gráfica de la función como referencia bueno nos vemos en el próximo video