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La idea intuitiva detrás del criterio de la segunda derivada parcial

Transcripción del video

en el último vídeo introduje el criterio de la segunda derivada en donde si tienes una función de varias variables digamos una función por por el momento pensamos en una función efe que depende sólo de x ideye y cuando buscamos sitios en donde haya máximos o mínimos o quizás puntos y ya lo primero que hay que buscar son aquellos puntos donde el gradiente se anule es decir donde el gradiente de la función sea justamente el vector 0 verdad ya estos puntos en donde esto ocurre les llamamos puntos críticos pero en realidad esto de que el gradiente sea cero es una forma compacta de decir que las primeras derivadas parciales se anulen verdad sean igual a cero y para determinar si es un máximo y un mínimo un punto si ya sin sin ver necesariamente la gráfica porque no siempre vamos a tener una gráfica la mano entonces el primer paso es tratar de calcular esta expresión ok en donde en realidad estamos tomando las 3 derivadas parciales de segundo orden verdad y por supuesto evaluamos estas derivadas en el punto crítico y vemos que hay una especie de de disputa verdad entre los términos que se multiplican aquí que son la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces por la segunda derivada de efe con respecto de ambas veces y luego restamos la derivada parcial mixta verdad es decir la deriva df respecto de x y luego respecto de ye pero esto va elevado al cuadrado verdad entonces todo esto ha evaluado en el punto crítico verdad y si obtenemos que digamos que este valor h es positivo es decir es mayor que 0 entonces lo que tenemos es un máximo no podríamos tener un valor mínimo muy bien y en realidad para determinar cuál de estos dos puede ser entonces simplemente tenemos que checar la concavidad digamos con este término por ejemplo podríamos considerar este término y entonces sí la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces es positivo quiere decir que en dirección x esto se verá algo más o menos así verdad es algo que es con cava hacia arriba y en cuyo caso tendríamos un mínimo pero si la segunda derivada de efe con respecto de x fuera negativa entonces tendríamos esta figurita verdad en donde la concavidad es hacia abajo y por lo tanto el el punto crítico sería un máximo local verdad entonces no vamos a ahorrar por el momento esto que teníamos aquí y en el caso en el que tengamos una valor de h negativo entonces estamos en el caso en donde tenemos un punto silla puntos y ya que es justamente en donde no podríamos decir que es un máximo desde es decir por un lado es un máximo pero por otro lado es un mínimo verdad y tenemos un último caso justo cuando no es ninguno de estos dos es decir cuando h es igual a cero y desafortunadamente en este caso no podemos garantizar nada en realidad el método o el criterio no nos sirve y habría que buscar por nuestra propia cuenta si es un máximo mínimo un punto silla ahora bien la pregunta es por qué este criterio funciona así que vamos a analizar cada término individualmente entonces aquí tenemos la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces verdad y entonces aquí estamos pensando digamos en toda la función como si x fuera la única variable es decir sólo nos vamos a mover en la dirección de x verdad y en términos de la gráfica podemos pensar que estamos cortando con un plano e que va en la dirección de x es decir el valor de ley es constante y esto nos da una curva al inter secar la gráfica con este plano verdad y vemos por ejemplo en este caso que la concavidad es hacia arriba verdad entonces en esencia esta segunda derivada parcial lo que nos dice es como es la concavidad la concavidad en la dirección x en la dirección bien entonces análogamente si nosotros tomamos la segunda derivada de efe con respecto de ye ambas veces entonces estamos pensando como si la función sólo dependiera de llevar entonces si nos movemos sólo en la dirección de yale y y esto sería digamos como si intersec aramos a la gráfica con un plano que se mueve en la dirección y es decir con un valor constante de x verdad entonces esto nos da una curva que podemos ver que tiene cierta concavidad verdad y por supuesto en este caso vemos que la concavidad es hacia arriba entonces podemos pensar que esto nos mide la concavidad en la dirección de james verdad sobre la curva que obtenemos al intersectar con el plano muy bien ahora pensemos que la concavidad digamos en la dirección x y la concavidad en la dirección ya fueran distintas muy bien entonces vamos a hacer el análisis por aquí digamos que la concavidad en x es decir esta segunda derivada parcial respecto de quizá más veces fuera positiva verdad pero que está derivada con respecto de ye ambas veces fuera negativa entonces podemos ver que este producto verdad nos va a dar algo negativo pero ahora tenemos que restar una un término verdad que de hecho siempre va a ser negativo es decir va a ser mayor o igual que cero porque lo tenemos elevado al cuadrado entonces aquí lo que obtenemos es un producto que es negativo y luego regles le restamos algo que es positivo entonces siempre vamos a tener algo negativo y por supuesto estaríamos hablando del caso en que tenemos un punto si ya verdad y quizás el ejemplo por excelencia de esto es justamente la función fd quille iguala x cuadrada menos que cuadrada este es como el ejemplo por excelencia y aquí tenemos la gráfica de esta función verdad aquí tenemos la gráfica y podemos ver que si nos movemos únicamente en la dirección de x entonces tendremos concavidad hacia arriba y si ahora digamos nos movemos mejor en la dirección the yeah entonces tenemos concavidad hacia abajo y esto coincide muy bien con el signo negativo que tenemos en el término de cuadrada verdad entonces este fue el caso en que ambos difieren pero qué pasaría si ahora coincidieran es decir qué pasaría si en lugar de tener signos contrarios ahora tuvieran signos iguales puede ser que ambos sean positivos o bien ambos sean negativos verdad entonces en realidad este producto en ambos casos sería positivo verdad y esto captura muy bien que coincidan verdad si el valor es positivo de este producto quiere decir que coinciden en la concavidad pero tenemos un problema nosotros en ambos casos tenemos que respetar este término que es siempre mayor o igual que 0 verdad vamos a ponerle que es positivo verdad entonces en realidad podemos ver que se vuelve como una especie de de disputa verdad entre la coincidencia de que tenemos de este lado entre la coincidencia de la concavidad en ambas direcciones y digamos el valor que tiene esta derivada parcial de segundo orden pero mixta verdad es una coincide esta mos viendo la disputa que hay entre la coincidencia y lo que le ocurre a la segunda derivada mixta así que mientras más grande sea este valor esta segunda derivada parcial entonces más negativo va a hacer este término h verdad ahora bien veamos por qué este término este término de aquí trata de decirnos que esto es un punto silla así que fijémonos primero en la función simple fd quille iguala x por entonces consideraremos efe dec y ye igual a la función x porsche bien entonces podemos ver del lado izquierdo cuál es su gráfica aquí la tenemos y ahora vamos a empezar a calcular las derivadas parciales entonces primero tendremos la derivada parcial df con respecto de x si nosotros le íbamos esto con respecto de x ésta es digamos la parte variable y entonces la derivada será simplemente ye por otro lado si de ahí vamos ahora con respecto de ye esto es ésta sería la variable y esto sería constante y por lo tanto al derivar nos da simplemente x pero qué pasa si nosotros ahora calculamos las segundas derivadas parciales entonces por ejemplo la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces si nosotros derivamos respecto de x esta expresión vamos a obtener cero porque la deriva de ye con respecto de x30 lo mismo va a pasar con la segunda derivada de efe con respecto de ye nos da cero porque al derivar con respecto de gec a esto que es xp sólo nos da cero y finalmente si nosotros consideramos la segunda derivada digamos mixta verdad primero derivamos respecto de x y luego respecto de ye o bien podríamos derivar primero al respecto a day y luego respecto de x entonces es como si deriva gramos esto con respecto de yee y esto nos da uno o como si derivar amos esto con respecto de x y también nos da una verdad entonces con esto podemos ver que nuestra expresión de del valor de h verdad sería 0 x 0 - 1 al cuadrado que sería menos uno entonces otra vez estamos en el caso donde h es negativo y por lo tanto tendríamos un punto si ya verdad así que esta función digamos es como una forma pura de fijarnos en cómo se ve este término mixto verdad y si se tuviera por ejemplo aquí un coeficiente tres entonces todo todavía estaría acompañado de un coeficiente tres ya que obtendríamos al final tres verdad en realidad un coeficiente va cambiando el valor digamos de de esta segunda derivada mixta verdad entonces no tenemos que el hecho de que se vea como un punto si ya no es porque aquí en la dirección x 100 dirección no coincidan de hecho coinciden verdad pero más aún en la dirección x en realidad se ve como constante verdad es decir la altura si sólo nos movemos en esta dirección la altura es constante y eso coincide muy bien con que la segunda derivada de efe con respecto de x ambas veces sea cero verdad al mismo tiempo si cortamos digamos con un plano que vaya en la dirección de ie es decir tomando ax constante la altura no cambia en la intersección verdad y corresponde al hecho de que la segunda derivada de efe con respecto de ye también sé hacer y la razón por la que se ve como un punto silla es porque si cortamos con un plano diagonal verdad parece que que la intersección tiene una concavidad hacia abajo pero digamos con otra dirección en realidad parece que tiene una directa una concavidad hacia arriba así que el término ekije captura digamos la discrepancia que hay en las direcciones diagonales verdad y algo que quizás podría sorprender en principio es que sólo necesitamos una derivada parcial de segundo orden para determinar la información toda la información de las direcciones diagonales verdad puede puede no ser uno imaginar que podría haber discrepancias en en la dirección de dos vectores verdad y tendríamos que considerar una infinita de direcciones y si lo juntamos además este término con las segundas derivadas parciales respecto de x y respecto de ye entonces en realidad ya con esos tres términos están tomando en cuenta todas las posibles discrepancias y esto basta para determinar si es un punto silla o no ahora bien si desea saber la justificación rigurosa de esto digamos lo he añadido en un artículo que que que se adentra en los detalles pero si quieres pensarlo de forma digamos más intuitiva está derivada parcial mixta verdad la derivada parcial mixta respecto de xy respecto de ye da una idea de qué tanto se parece la función original a x por llevar verdad que captura las discrepancias diagonales así tenemos digamos una disputa entre las coincidencias de digamos de las derivadas en la dirección x y en la dirección ye y digamos también tenemos está digamos disputa con la discrepancia en las direcciones diagonal es verdad así que espero que todo esto te da una buena idea de por qué esto es válido para tratar de entender si es un máximo y un mínimo de no nos vemos en el próximo video