La idea intuitiva detrás del criterio de la segunda derivada parcial

en el último vídeo introduje el criterio de la segunda derivada en donde si tienes una función de varias variables digamos una función x por el momento pensemos en una función f que depende sólo de xy de ye y cuando buscamos sitios en donde haya máximos o mínimos o quizás puntos y ya lo primero que hay que buscar son aquellos puntos donde el gradiente se anule es decir donde el gradiente de la función sea justamente el vector cero verdad ya estos puntos en donde esto ocurre les llamamos puntos críticos pero en realidad esto de que el gradiente sea cero es una forma compacta de decir que las primeras derivadas parciales se anula en verdad sean igual a cero y para determinar si es un máximo o quizás un mínimo o un punto sí ya sin sin ver necesariamente la gráfica porque no siempre vamos a tener una gráfica a la mano entonces el primer paso es tratar de calcular esta expresión ok en donde en realidad estamos tomando las tres derivadas parciales del segundo en verdad y por supuesto evaluamos estás derivadas en el punto crítico y vemos que hay una especie de disputa verdad entre los términos que se multiplican aquí que son la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces por la segunda derivada de f con respecto de ambas veces y luego restamos la derivada parcial mixta verdad es decir la derivada de f respecto de x y luego respecto de ye pero esto va elevado al cuadrado verdad entonces todo esto va evaluado en el punto crítico verdad y si obtenemos que a digamos que este valor h es positivo es decir es mayor que 0 entonces lo que tenemos es un máximo o podríamos tener un valor mínimo muy bien y en realidad para determinar cuál de estos dos puede ser entonces simplemente tenemos que checar la concavidad digamos con este término por ejemplo podríamos considerar este término y entonces si la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces es positivo quiere decir que en la d x esto se verá algo más o menos así verdad es algo que es cóncava hacia arriba y en cuyo caso tendríamos un mínimo pero si la segunda derivada de f con respecto de x fuera negativa entonces tendríamos esta figurita verdad en donde la concavidad es hacia abajo y por lo tanto el punto crítico sería un máximo local verdad entonces bueno vamos a borrar por el momento esto que teníamos aquí y en el caso en el que tengamos una un valor de h negativo entonces estamos en el caso en donde tenemos un punto silla un punto silla que es justamente en donde no podríamos decir que es un máximo de es decir por un lado es un máximo pero por otro lado es un mínimo verdad y tenemos un último caso justo cuando no es ninguno de estos dos es decir cuando h es igual a cero y desafortunadamente en este caso no podemos garantizar nada en realidad el método o el criterio no nos sirve y habría que buscar por nuestra propia cuenta si es un máximo mínimo o un punto silla la pregunta es por qué este criterio funciona así que vamos a analizar cada término individualmente entonces aquí tenemos la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces verdad y entonces aquí estamos pensando digamos en en toda la función como si x fuera la única variable es decir sólo nos vamos a mover en la dirección de x verdad y en términos de la gráfica podemos pensar que estamos cortando con un plano que va en la dirección de x es decir el valor de ye es constante y esto nos da una curva al intersectar la gráfica con este plano verdad y vemos por ejemplo en este caso que la concavidad es hacia arriba verdad entonces en esencia esta segunda derivada parcial lo que nos dice es cómo es la concavidad la concavidad en la dirección x en la dirección x muy bien entonces análogamente si nosotros tomamos la segunda derivada de f con respecto de ambas veces estamos pensando como si la función sólo dependiera de verdad entonces si nos movemos solo en la dirección de jay y esto sería digamos como si intersectar amos a la gráfica con un plano que se mueve en la dirección y es decir con un valor constante de x verdad entonces esto nos da una curva que podemos ver que tiene cierta concavidad verdad y por supuesto en este caso vemos que la concavidad es hacia arriba entonces podemos pensar que esto nos mide la concavidad en la dirección de verdad sobre la curva que obtenemos al intersectar con el plano muy bien ahora pensemos que la concavidad digamos en la dirección x y la concavidad en la dirección ya fueran distintas muy bien entonces vamos a hacer el análisis por aquí digamos que la concavidad en x es decir esta segunda derivada parcial respecto de x ambas veces fuera positiva verdad pero que esta derivada con respecto de ambas veces fuera negativa entonces podemos ver que este producto verdad nos va a dar algo negativo pero ahora tenemos que restar una un término verdad que de hecho siempre va a ser no negativo es decir va a ser mayor o igual que 0 porque lo tenemos elevado al cuadrado entonces aquí lo que obtenemos es un producto que es negativo y luego regles le restamos algo que es positivo entonces siempre vamos a tener algo negativo y por supuesto estaríamos hablando del caso en que tenemos un punto silla verdad y quizás el ejemplo por excelencia de esto es justamente la función f x igual a x cuadrada menos y cuadrada este es como el ejemplo por excelencia y aquí tenemos la gráfica de esta función verdad aquí tenemos la gráfica y podemos ver que si nos movemos únicamente en la dirección de x entonces tendremos concavidad hacia arriba y si ahora digamos nos movemos mejor en la dirección de iu entonces tenemos concavidad hacia abajo y esto coincide muy bien con el signo negativo que tenemos en él de cuadrada verdad entonces este fue el caso en que ambos difieren pero qué pasaría si ahora coincidieran es decir qué pasaría si en lugar de tener signos contrarios ahora tuvieran signos iguales puede ser que ambos sean positivos o bien ambos sean negativos verdad entonces en realidad este producto en ambos casos sería positivo verdad y esto captura muy bien que coincidan verdad si el valor es positivo de este producto quiere decir que coinciden en la concavidad pero tenemos un problema nosotros en ambos casos tenemos que restar este término que es siempre mayor o igual que 0 verdad vamos a ponerle que es positivo verdad entonces en realidad podemos ver que se vuelve como una especie de disputa verdad entre la coincidencia de que tenemos de este lado entre la coincidencia de la concavidad en ambas direcciones y digamos el valor que tiene esta derivada parcial del segundo orden pero mixta es una coincidiendo la disputa que hay entre la coincidencia y lo que le ocurre a la segunda derivada mixta así que mientras más grande sea este valor esta segunda derivada parcial entonces más negativo va a ser este término h verdad ahora bien veamos por qué este término este término de aquí trata de de decirnos que esto es un punto silla así que fijémonos primero en la función simple fx igual a equis porque entonces consideremos fx y igual a la función x porque muy bien entonces podemos ver del lado izquierdo cuál es su gráfica aquí la tenemos y ahora vamos a empezar a calcular las derivadas parciales entonces primero tendremos la derivada parcial de f con respecto de x si nosotros derivamos esto con respecto de x ésta es digamos la parte variable y entonces la derivada será simplemente y por otro lado si derivamos ahora con respecto de esto esta sería la variable y esto sería constante y por lo tanto al derivar nos da simplemente x pero qué pasa si nosotros ahora calculamos las segundas derivadas parciales entonces por ejemplo la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces si nosotros derivamos respecto de x esta expresión vamos a obtener 0 porque la derivada de ye con respecto de x es 0 lo mismo va a pasar con la segunda derivada de f con respecto de y nos da 0 porque al derivar con respecto de gec a esto que es x pues solo nos da 0 y finalmente si nosotros consideramos la segunda derivada digamos mixta verdad primero derivamos respecto de x y luego respecto de ley o bien podríamos derivar primero respecto de y luego respecto de x entonces es como si derivamos esto con respecto de ye y esto nos da 1 o como si derivamos esto con respecto de x y también nos da una verdad entonces con esto podemos ver que nuestra expresión del valor de h verdad sería cero por cero menos uno que sería menos uno entonces otra vez estamos en el caso donde h es negativo y por lo tanto tendríamos un punto silla verdad así que esta función digamos es como una forma pura de fijarnos en cómo se ve este término mixto verdad y si se tuviera por ejemplo aquí un coeficiente 3 entonces todo todo ahí estaría acompañado de un coeficiente 3 y aquí obtendríamos al final 3 verdad en realidad un coeficiente va cambiando el valor digamos de esta segunda derivada mixta verdad entonces notemos que el hecho de que se vea como un punto si ya no es porque x en la dirección xy en la dirección y no coincidan de hecho coincide en verdad pero más aún en la dirección x en realidad se ve como constante verdad es decir la altura si sólo nos movemos en esta dirección la altura es constante y eso coincide muy bien con que la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces sea 0 verdad al mismo tiempo si cortamos digamos con un plano que vaya en la dirección de iu es decir tomando a equis constante la altura no cambia en la intersección verdad y corresponde al hecho de que la segunda derivada de f con respecto de g también sea cero y la razón por la que se ve como un punto silla es porque si cortamos con un plano diagonal verdad parece que que la intersección tiene una concavidad hacia abajo pero digamos con otra dirección en realidad parece que tiene una directa una concavidad hacia arriba así que el término xy captura digamos la discrepancia que hay en las direcciones diagonales verdad y algo que quizás podría sorprender en principio es que solo necesitamos una derivada parcial del segundo orden para determinar la información toda la información de las direcciones diagonales verdad puede puede no ser no imaginar que podría haber discrepancias en la dirección de dos vectores verdad y tendríamos que considerar una infinidad de direcciones y si lo contamos además este término con las segundas derivadas parciales respecto de equis y respecto de ye entonces en real y ya con esos tres términos se están tomando en cuenta todas las posibles discrepancias y esto basta para determinar si es un punto silla o no ahora bien si desea saber la justificación rigurosa de esto digamos lo he añadido en un artículo que que se adentra en los detalles pero si quieres pensarlo de forma digamos más intuitiva está derivada parcial mixta verdad la derivada parcial mixta respecto de xy respecto de g da una idea de qué tanto se parece la función original a x por ye verdad que capturan las discrepancias diagonales así tenemos digamos una disputa entre las coincidencias de de digamos de las derivadas en la dirección xy en la dirección de de y digamos también tenemos está digamos disputa con la discrepancia en las direcciones diagonales verdad así que espero que todo esto te dé una buena idea de por qué esto es válido para tratar de entender si es un máximo bueno nos vemos en el próximo vídeo