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Contenido principal
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Transcripción del video

en cálculo de una variable nosotros siempre partimos de una función fx verdad que si nosotros queremos maximizar la omi minimizarla entonces el procedimiento general es calcular su primera derivada verdad y la igualá moss acero verdad entonces aquellos puntos que satisfacen esta relación es en donde podrían estar máximos o mínimos verdad y lo que esto significa gráficamente es que si nosotros tenemos la gráfica de alguna función entonces la derivada igual a cero significa que la recta tangente a los puntos en donde esto ocurre de verdad es justamente horizontal y aquí podemos ver que tenemos dos de estos puntos digamos vamos a llamarle a este punto x 1 y vamos a llamarle a este otro punto x 2 verdad entonces de simplemente considerar la la primera derivada igualada a cero no podemos determinar si son máximos verdad necesitamos un criterio que nos diga si estos dos puntos son máximos o si son puntos mínimos verdad y si en ritmo y si tú ves la gráfica en realidad es muy fácil ver por supuesto que aquí tenemos un punto máximo y aquí tenemos un mínimo verdad pero si no lo estuviéramos viendo entonces necesitamos un criterio que te diga la respuesta y en realidad esto es muy sencillo verdad porque aquí podemos ver que la gráfica es con cava hacia abajo es decir que la segunda derivada es negativa en cambio de este lado tenemos que la segunda derivada es positiva verdad entonces con esto podemos ver que si la concavidad es hacia abajo tendremos un máximo verdad y eso está relacionado con la segunda derivada en cambio si la concavidad es hacia arriba entonces tendremos un mínimo y por supuesto tenemos el caso en que la segunda derivada sea cero y en este caso tenemos algo indeterminado es imposible sólo con esta segunda derivada a decidir si es máximo o si es mínimo así que uno tendría que buscar algún otro tipo de criterio para poder determinar y en el mundo de las funciones de varias variables tendremos algo muy similar tendremos algo muy similar entonces digamos que tenemos una función de varias variables digamos una efe que depende de dos variables digamos x y llegué entonces para encontrar máximos o mínimos o ya sabemos que puede haber puntos y ya no nos tenemos que fijar en el gradiente de fe y tenemos que igualarlo al vector 0 por eso es que lo estoy digamos rellenando como si fuera en negritas verdad y esto corresponde por supuesto a hallar planos tangentes verdad y si a lo mejor esto no te suena familiar o no lo recuerdas mucho te recomiendo que veas los vídeos sobre puntos máximos mínimos y punto silla y el objetivo de este vídeo será ver cuál es el análogo al criterio para la segunda derivada en funciones de varias variables verdad cómo podríamos determinar si es un máximo si es un mínimo o si es un puntos y ya sólo utilizando la información de la de la función verdad entonces podremos llegar a este criterio al final del video pero antes de todo esto en esta primera parte quiero ver un ejemplo de cómo hallar los puntos en donde el gradiente de la función se anula para tener fórmulas concretas y la función que estamos viendo del lado izquierdo en realidad es la gráfica de una función y esta función es x 4ª - 4x cuadrada más ye cuadrada muy bien entonces esta es la función que estamos graficando del lado izquierdo muy bien y si nosotros queremos encontrar los puntos en donde el gradiente se anula esto significa que queremos encontrar aquellos en donde la derivada parcial de la función efe con respecto de x en el punto que estamos por por encontrar verdad esto tiene que ser igual a cero y lo mismo debe pasar con las con la derivada parcial df con respecto de llegada de entonces esto por supuesto evaluado en los puntos que queremos encontrar la verdad esto debe ser igual a cero y esto la forma digamos desarrollada decir que el gradiente se tiene que anular en esos puntos verdad así que vamos a hacerlo explícitamente esto en realidad nos dará un sistema de ecuaciones que hay que resolver bien entonces vamos a calcular explícitamente estas derivadas parciales y lo que tenemos es que si queremos derivar esto con respecto de x esto es el único estés estos son los términos que dependen de x verdad al derivar esto nos dará cero y si derivamos con respecto de x tendremos 4x kubica - 8 x verdad y esto es lo que queremos que sea igual a cero por otro lado si derivamos esto con respecto de ye sólo en esta parte aparece y la derivada es 2 llegue y esto queremos que sea igual a cero muy bien y en realidad este ejemplo resultó ser bastante simple verdad de hecho tenemos dos ecuaciones una para x y otra para allá pero bueno en general pueden pasar cosas muchísimo más raras podría ser que aquí tengamos términos también que dependan de yeah quizás aquí podríamos tener cosas que dependan de x en fin esto puede complicarse tanto como uno quiera verdad entonces para ir resolviendo esta ecuación podríamos o este sistema de ecuaciones podríamos tomar esta primera expresión que es muy simple de aquí obtenemos que llegue tiene que ser igual a cero muy bien en cambio si nosotros tomamos esta expresión quizás lo que nos conviene al inicio es factorizar tanto como podamos por ejemplo podríamos factorizar 4x verdad 4x y multiplica ax cuadrada nos da 4x kubica y luego restamos dos para que al multiplicarlo nos dé menos 8 x verdad y esto es lo que tiene que ser igual a cero entonces tenemos un producto de números que nos da cero quiere decir que alguno de estos tiene que ser cero entonces x tiene que ser cero es una posible solución o bien x cuadrada menos dos tiene que ser cero de aquí tendría que ser x más o menos la raíz cuadrada de dos para que al elevarlo al cuadrado los dedos y al restarle 22 de cero muy bien entonces de aquí podemos ver que tenemos tres soluciones 3 para x y llegué siempre tiene que ser cero verdad eso nos da tres puntos en nuestro espacio de dos dimensiones verdad vamos a poner vamos a poner esos puntos explícitamente podríamos tener x igual a cero y igual a cero podríamos tener x igual a raíz de dos y ye igual a cero o podríamos tener x igual a menos la raíz de dos y ye igual hacer verdad lo que significa es que si nos fijamos en la gráfica todos estos puntos tienen planos tangentes paralelos al plano x llegue así que por ejemplo podríamos verificar justamente esto para el punto cero coma cero viendo desde adentro de la gráfica verdad y de hecho viendo la gráfica podemos ver que este punto el 0 0 es un punto silla en realidad no puede verse ni como máximo ni como un mínimo verdad en cambio los otros dos podemos ver aquí que éste pues se ve como si fuera x igual a raíz de dos y aquí tenemos x igual a menos raíz de dos y ambos son mínimos en realidad no podríamos haber determinado cuál era su valor x verdad si no hubiéramos hecho estas cuentas así que de aquí sale la siguiente pregunta si nosotros no hubiéramos tenido la gráfica cómo podríamos saber si el punto 0-0 era puntos y allá y determinar que los otros son puntos son mínimos verdad entonces lo que vamos a hacer en este vídeo sólo para hacer un calentamiento de del criterio de la segunda derivada es tratar de seguir la idea de cálculo de una variable y es tomar las segundas derivadas parciales para ver cómo influye la concavidad de la gráfica así que vamos a considerar las segundas derivadas parciales entonces vamos a hacer no por aquí vamos a considerar la segunda derivada parcial df con respecto de x ambas veces entonces eso corresponde a derivar esta expresión verdad así que si derivamos con respecto de x tendremos 12 x cuadrada -8 muy bien 12x cuadrada -8 y en términos de la gráfica si nos movemos solamente en la dirección de x y cortamos digamos con un plan o ye constante verdad de iguala constante entonces vemos esta curva que es la de la intersección y esta expresión nos dice la concavidad en cada punto de esta curva así que pensamos justamente en los puntos que nos interesan x iguala más raíz de dos o menos raíz de dos va a ser exactamente lo mismo entonces esto si nosotros evaluamos en este punto tendríamos 12 por raíz de dos elevado al cuadrado que es 2 - 8 verdad entonces aquí vemos que podíamos poner más raíz de dos o menos raíz de dos y daba lo mismo porque le vamos al cuadrado entonces 12 por 2 son 24 - 8 es 16 esto es 16 y esto es un valor positivo es decir tenemos con calidad hacia arriba en ambos casos de verdad por lo tanto esto se tienen que ver cómo mínimos muy bien así que ahora vamos a analizar el otro caso no cuando tenemos exigua la raíz de dos sino cuando tenemos x igual a cero verdad en este caso vamos a tener 12 por cero al cuadrado así que vamos a poner aquí 0 borrar también esto entonces tendremos 12 x 0 que nos da cero -8 nos da menos ocho entonces esto nos da un valor negativo lo cual hace que la concavidad sea hacia abajo y entonces se tiene que ver como un máximo muy bien vamos a notar estos resultados por acaba entonces si nos movemos en la dirección de x este punto se va a aparecer a un máximo éste se va a parecer a un mínimo y el último también se parece a un mínimo qué pasa si ahora nos movemos en la dirección únicamente deie entonces vamos a ver esto rápidamente con la segunda derivada parcial con respecto de si es verdad entonces si nosotros calculamos la segunda derivada parcial df con respecto de ye ambas veces entonces simplemente hay que derivar esta expresión y eso nos da simplemente 2 verdad que siempre es la misma constante y es positivo siempre y eso implica que hay una concavidad hacia arriba en todos lados verdad en la gráfica esto significa que hay con calidad hacia arriba y aquí sólo puse el plan no digamos x igual a cero pero en realidad puedes imaginar que te puedes mover este plano y siempre se va a tener exactamente lo mismo entonces en todos estos puntos vamos a tener mínimo es verdad entonces aquí moviéndonos en la dirección lleva a ser mínimo aquí también va a ser mínimo aquí va a ser mínimo así que con esto podría resultar bastante tentador que con esto digamos podríamos decir que 00 justamente eso un punto silla porque hay una diferencia entre movernos en la dirección x y en la dirección de verdad él por un lado se ve como un máximo y por un lado se ve como un mínimo que es justamente lo que ya habíamos encontrado que era un punto silla en cambio en los otros dos casos verdad tenemos que coinciden en que son mínimos y es muy tentador pensar que por eso tienen que ser mínimos pero en realidad esto no basta resulta que este este método no basta porque por ejemplo no se puede podríamos dar ejemplos en donde si hiciéramos este mismo procedimiento podríamos llegar a una conclusión falsa y la razón principal de por qué esto no basta es porque necesitamos considerar también la información de la segunda derivada parcial que nos hace falta es decir la segunda derivada de efe pero las derivadas cruzadas verdad es decir primero con red esto de gis y luego con respecto de esta es la información que nos falta en este análisis y nosotros veremos el criterio de la segunda derivada en toda su gloria en el siguiente vídeo considerando también este término es decir dando cierta intuición de por qué este término es relevante nos vemos en el próximo video