Calentamiento para el criterio de la segunda derivada parcial

en cálculo de una variable nosotros siempre partimos de una función f x verdad que si nosotros queremos maximizar la o minimizar la entonces el procedimiento general es calcular su primera derivada verdad y la igualamos a 0 verdad entonces aquellos puntos que satisfacen esta relación es en donde podrían estar máximos o mínimos verdad y lo que esto significa gráficamente es que si nosotros tenemos la gráfica de alguna función entonces la derivada igual a cero significa que la recta tangente a los puntos en donde esto ocurre verdad es justamente horizontal y aquí podemos ver que tenemos dos de estos puntos digamos vamos a llamarle a este punto x 1 y vamos a llamarle a este otro punto x 2 verdad entonces de simplemente considerar la primera derivada igualada 0 no podemos determinar si son máximos verdad necesitamos un criterio que nos diga si estos dos puntos son máximos si son puntos mínimos verdad y si si tú ves la gráfica en realidad es muy fácil ver por supuesto que aquí tenemos un punto máximo y aquí tenemos un mínimo verdad pero si no le estuviéramos viendo entonces necesitamos un criterio que te diga la respuesta y en realidad esto es muy sencillo verdad porque aquí podemos ver que la gráfica es cóncava hacia abajo es decir que la segunda derivada es negativa en cambio de este lado tenemos que la segunda derivada es positiva verdad entonces con esto podemos ver que si la concavidad es hacia abajo tendremos un máximo verdad y eso está relacionado con la segunda derivada en cambio si la concavidad es hacia arriba entonces tendremos un mínimo y por supuesto tenemos el caso en que la segunda derivada sea cero y en este caso tenemos algo indeterminado es imposible sólo con esta segunda derivada a decidir si es máximo o si es mínimo así que uno tendría que buscar algún otro tipo de criterio para poder determinar y en el mundo de las funciones de varias variables tendremos algo muy similar tendremos algo muy similar entonces digamos que tenemos una función de varias variables digamos una f que depende de dos variables digamos x entonces para encontrar máximos o mínimos ya sabemos que puede haber puntos y ya nos tenemos que fijar en el gradiente df y tenemos que igualarlo al vector cero por eso es que lo estoy digamos rellenando como si fuera en negritas verdad y esto corresponde por supuesto a hallar planos tangentes de verdad y si a lo mejor esto no te suena familiar o no lo recuerdas mucho te recomiendo que veas los vídeos sobre puntos máximos mínimos y puntos y allá y el objetivo de este vídeo será ver cuál es el análogo al criterio para la segunda derivada en funciones de varias variables verdad cómo podríamos determinar si es un máximo o si es un mínimo o si es un punto sí ya sólo utilizando la información de la de la función verdad entonces podremos llegar a este crit al final del vídeo pero antes de todo esto en esta primera parte quiero ver un ejemplo de cómo hallar los puntos en donde el gradiente de la función se anula para tener fórmulas concretas y la función que estamos viendo del lado izquierdo en realidad esta es la gráfica de una función y esta función es x cuarta menos 4x cuadrada y cuadrada muy bien entonces esta es la función que estamos graficando del lado izquierdo muy bien y si nosotros queremos encontrar los puntos en donde el gradiente se anula esto significa que queremos encontrar aquellos en donde la derivada parcial de la función f con respecto de x en el punto que estamos por encontrar verdad esto tiene que ser igual a 0 y lo mismo debe pasar con las con la derivada parcial de f con respecto de liberdade entonces esto por supuesto evaluado en los puntos que queremos encontrar verdad esto debe ser igual a 0 y esa es la forma digamos desarrollada de decir que el gradiente se tiene que anular en esos puntos verdad así que vamos a hacerlo explícitamente esto en realidad nos dará un sistema de ecuaciones que hay que resolver muy bien entonces vamos a calcular explícitamente estas derivadas parciales y lo que tenemos es que si queremos derivar esto con respecto de x esto es el único este es estos son los términos que dependen de x verdad esto nos dará 0 y si derivamos con respecto de x tendremos 4x cúbica menos 8x verdad y esto es lo que queremos que sea igual a cero por otro lado si derivamos esto con respecto de y solo en esta parte aparece ya y la derivada es 2 y esto queremos que sea igual a 0 muy bien y en realidad este ejemplo resultó ser bastante simple verdad de hecho tenemos dos ecuaciones una para x y otra para y pero bueno en general pueden pasar cosas muchísimo más raras podría ser que aquí tengamos términos también que dependan de y quizás aquí podríamos tener cosas que dependan de x en fin esto puede complicarse tanto como uno quiera verdad entonces para ir resolviendo esta ecuación podríamos o este sistema de ecuaciones podríamos tomar esta primera expresión que es muy simple de aquí obtenemos que jett tiene que ser igual a cero muy bien en cambio si nosotros tomamos esta expresión quizás lo que nos conviene al inicio es factorizar tanto como podamos por ejemplo podríamos factorizar 4x verdad 4x si multiplica a x cuadrada nos da 4x cúbica y luego restamos 2 para que al multiplicarlo nos dé menos 8x verdad y esto es lo que tiene que ser igual a cero entonces tenemos un producto de números que nos da cero quiere decir que alguno de estos tiene que ser cero entonces x tiene que ser cero ese es una posible solución o bien x cuadrada menos 2 tiene que ser cero de aquí tendría que ser x más o menos la raíz cuadrada de 2 para que al elevarlo al cuadrado nos dé 2 y al restarle 2 nos dé 0 muy bien entonces de aquí podemos ver que tenemos tres soluciones 3 para x y siempre tiene que ser cero verdad eso nos da tres puntos en nuestro espacio de dos dimensiones verdad vamos a poner vamos a poner esos puntos explícitamente podríamos tener x igual a cero igual a cero podríamos tener x igual a raíz de 2 ye igual a 0 o podríamos tener x igual a menos la raíz de 2 y igual a 0 verdad lo que significa es que si nos fijamos en la gráfica todos estos puntos tienen planos tangentes paralelos al plano xy así que por ejemplo podríamos verificar justamente esto para el punto 0,0 viendo desde adentro de la gráfica verdad y de hecho viendo la gráfica podemos ver que este punto el 0 0 es un punto silla en realidad no puede verse ni como un máximo ni como un mínimo verdad en cambio los otros dos podemos ver aquí que este pues se ve como si fuera x igual a raíz de 2 y aquí tenemos x igual a menos raíz de 2 y ambos son mínimos en realidad no podríamos haber determinado cuál era su valor x verdad si no hubiéramos hecho estas cuentas así que de aquí sale la siguiente pregunta si nosotros no hubiéramos tenido la gráfica como podríamos saber si el punto cero cero edad puntos y allá terminar que los otros son puntos son mínimos verdad entonces lo que vamos a hacer en este vídeo sólo para hacer un calentamiento de del criterio de la segunda derivada es tratar de seguir la idea de cálculo de una variable y es tomar las segundas derivadas parciales para ver cómo influye la concavidad de la gráfica así que vamos a considerar las segundas derivadas parciales entonces vamos a hacerlo por aquí vamos a considerar la segunda derivada parcial de f con respecto de x ambas veces entonces eso corresponde a derivar esta expresión verdad así que si derivamos con respecto de x tendremos 12 x cuadrada menos 8 muy bien 12 x cuadrada menos 8 y en términos de la gráfica si nos movemos solamente en la dirección de x y cortamos digamos con un plano de constante verdad e igual a constante entonces vemos esta curva que es la de la intersección y esta expresión nos dice la concavidad en cada punto de esta curva pensemos justamente en los puntos que nos interesan x igual a más raíz de dos o menos raíz de dos va a ser exactamente lo mismo entonces esto si nosotros evaluamos en este punto tendríamos 12 x raíz de 2 elevado al cuadrado que es 2 menos 8 verdad entonces aquí vemos que podíamos poner más raíz de dos o menos raíz de 2 y daba lo mismo porque elevamos al cuadrado entonces 12 por 2 son 24 menos 8 es 16 esto es 16 y esto es un valor positivo es decir tenemos concavidad hacia arriba en ambos casos de verdad por lo tanto estos se tienen que ver como mínimos muy bien así que ahora vamos a analizar el otro caso no cuando tenemos x igual a raíz de dos sino cuando tenemos x igual a cero verdad en este caso vamos a tener 12 x 0 al cuadrado así que vamos a poner aquí a borrar también esto entonces tendremos 12 por 0 que nos da 0 menos 8 nos da menos 8 entonces esto nos da un valor negativo lo cual hace que la concavidad sea hacia abajo y entonces se tiene que ver como un máximo muy bien vamos a anotar estos resultados por acá abajo entonces si nos movemos en la dirección de x este punto se va a aparecer a un máximo este se va a aparecer a un mínimo y el último también se parece a un mínimo qué pasa si ahora nos movemos en la dirección únicamente de iu entonces vamos a ver esto rápidamente con la segunda derivada parcial con respecto de y es verdad entonces si nosotros calculamos la segunda derivada parcial de f con respecto de i ambas veces entonces simplemente hay que derivar esta expresión y eso nos da simplemente dos verdad que siempre es la misma constante y es positivo siempre eso implica que hay una concavidad hacia arriba en todos lados verdad en la en la gráfica esto significa que hay concavidad hacia arriba y aquí sólo puse el plano digamos x igual a cero pero en realidad puedes imaginar que que puedes mover este plano y siempre se va a tener exactamente lo mismo entonces en todos estos puntos vamos a tener mínimos verdad entonces aquí moviéndonos en la dirección lleva a ser mínimo aquí también va a ser mínimo aquí va a ser mínimo así que con esto podría resultar bastante tentador que con esto digamos podríamos decir que 0 0 justamente es un punto silla porque hay una diferencia entre movernos en la dirección x y en la dirección de verdad por un lado se ve como un máximo y por un lado se ve como un mínimo que es justamente lo que ya habíamos encontrado que era un punto silla en cambio en los otros dos casos verdad tenemos que coinciden en que son mínimos y es muy tentador pensar que por eso tienen que ser mínimos pero en realidad esto no basta resulta que este este método no basta porque por ejemplo no sé por qué podríamos dar ejemplos en donde si hiciéramos este mismo procedimiento podríamos llegar a una conclusión falsa y la razón principal de por qué esto no basta es porque necesitamos considerar también la información de la segunda derivada parcial que nos hace falta es decir la segunda derivada de pero las derivadas cruzadas verdad es decir primero con respecto de equis y luego con respecto de y esta es la información que nos falta en este análisis y nosotros veremos el criterio de la segunda derivada en toda su gloria en el siguiente vídeo considerando también este término es decir dando cierta intuición de por qué este término es relevante nos vemos en el próximo vídeo