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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 4: Optimizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Optimizar funciones multivariables (artículos)
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Ejemplos: criterio de la segunda derivada parcial

Google Classroom
Practica del uso del criterio de la segunda derivada parcial.

Antecedentes

Prepárate para el esfuerzo

Tenemos un desafío para ti.
En este artículo, podrás seguir los pasos en dos ejemplos de determinar máximos y mínimos de funciones multivariables. En aplicaciones modernas, la mayoría de los pasos involucrados para resolver este tipo de problemas se realizan en computadora. Sin embargo, la única manera de probar que realmente entiendes cómo se usa el criterio de la segunda derivada parcial es que lo resuelvas completo por ti mismo, al menos una vez.
Después de todo, puede ser que algún día necesites escribir el programa para decirle a una computadora cómo hacerlo, lo que requiere saber todos los pasos involucrados. Además, es una buena manera de volverte más hábil con las derivadas parciales.
Así que nuestro reto para ti es este: trata de ingresar la respuesta a cada paso mientras lees el artículo, y así poner a prueba tu propia comprensión.

El criterio de la segunda derivada parcial (como referencia)

Empieza por encontrar un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales de f sean 0.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_{x}(x_0, y_0) = 0 \\ f_{y}(x_0, y_0) = 0 \end{aligned}
El criterio de las segunda derivada parcial nos dice cómo determinar si left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en un máximo o mínimo local, o un punto silla. Empezamos por calcular este término:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
donde start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, end color #bc2612 y start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, end color #0d923f son las segundas derivadas parciales de f.
  • Si H, is less than, 0, entonces f no tiene ni mínimo ni máximo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, en cambio tiene un punto silla.
  • Si H, is greater than, 0, entonces f definitivamente tiene un máximo o mínimo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y debemos fijarnos en el signo de start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 para averiguar cuál de los dos es.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0, entonces f tiene un mínimo local.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0, entonces f tiene un máximo local.
  • Si H, equals, 0, al considerar solo las segundas derivadas no podemos decir si f tiene un mínimo o un máximo local.

Ejemplo 1: ¡todos los puntos críticos!

Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función
x4−4x2+y2\begin{aligned} \quad x^4 - 4x^2 + y^2 \end{aligned}
y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.

Paso 1: encuentra todos los puntos críticos

Los puntos críticos son todos los pares left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales son iguales a 0. Primero calculamos cada derivada parcial
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Después, encuentra todos los puntos left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales son 0, que equivale a resolver el sistema de ecuaciones
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_x(x_0, y_0) &= 0\\ \\ f_y(x_0, y_0) &= 0 \end{aligned}
¿Cuáles de los siguientes pares de puntos satisface el sistema de ecuaciones?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Paso 2: aplica el criterio de la segunda derivada

Para empezar, encuentra las tres derivadas parciales de segundo orden de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

La expresión que nos importa para poder aplicar el criterio de la segunda derivada es
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared
Si sustituimos las segundas derivadas que calculamos, ¿cómo se ve esta expresión (como función de x y y)?
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals

Para aplicar el criterio de la segunda derivada, evaluamos la expresión en cada punto crítico y determinamos si es positiva o negativa.
  • Punto crítico 1:
    En left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, el valor de la expresión es
    24x2−16=24(0)2−16=−16\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 = 24(0)^2 - 16 = -16 \end{aligned}
    Es negativa, así que el criterio de la segunda derivada parcial nos dice que left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es un
Escoge 1 respuesta:

  • Punto crítico 2: en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis, el valor de la expresión es
    24x2−16=24(2)2−16=48−16=32\begin{aligned} \quad 24x^2 - 16 &= 24(\sqrt{2})^2 - 16 \\ & = 48 - 16 \\ &= 32 \end{aligned}
Que es positivo. También,
fxx(2,0)=12(2)2−8=24−8=16\begin{aligned} \quad f_{xx}(\sqrt{2}, 0) &= 12(\sqrt{2})^2 - 8 \\ &= 24 - 8 \\ &= 16 \end{aligned}
Por lo tanto, el punto left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis debe ser un
Escoge 1 respuesta:

  • Punto crítico 3: podríamos sustituir el punto left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis igual que hicimos con los otros puntos críticos, pero también podríamos observar que la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared es simétrica, en el sentido que reemplazar x por minus, x producirá la misma expresión:
    left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.
    Por lo tanto el punto left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis tendrá exactamente el mismo comportamiento que left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis
Aquí se muestra una animación de la gráfica de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis mientras rota, donde los dos mínimos locales se ven claramente, y podemos ver que el origen es ciertamente un punto silla.
Contenedor video de Khan Academy
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Ejemplo 2: un problema más intrincado

No endulcemos las cosas; los problemas de optimización pueden ser largos, muy largos.
Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función
f(x,y)=x2y−y2x−x2−y2\begin{aligned} \quad f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.

Paso 1: encuentra los puntos críticos

Necesitamos encontrar los puntos donde ambas derivadas parciales son cero, así que empezamos por calcular las derivadas parciales de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Entonces debemos resolver el sistema de ecuaciones
2xy−y2−2x=0x2−2xy−2y=0\begin{aligned} \quad 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\ x^2 - 2xy - 2y &= 0 \end{aligned}
En el mundo real, cuando te topas con un sistema de ecuaciones, es casi seguro que usarás una computadora para resolverlo. Sin embargo, para practicar y para que te des cuenta que los problemas de optimización no son siempre tan simples, hagamos algo loco y resolvamos el sistema nosotros mismos.
En general, la manera como podrías emprender esto es algo así:
  • Resuelve una ecuación para obtener y en términos de x.
  • Sustitúyela en la otra expresión para tener una expresión solo con x.
  • Despeja x.
  • Sustituye la solución de x en ambas ecuaciones y despeja y.
  • Verifica cuáles pares left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis resuelven el sistema.
Esto puede ser un verdadero desastre, pues tal vez uses la fórmula cuadrática para resolver y tratando a x como una constante, y sustituyas esa horrible expresión en otro lado. De otro modo, puede que necesites resolver una ecuación de grado 4 que, además de ser como un dolor de muelas, da por resultado un montón de soluciones a sustituir.
En este sistema particular, las ecuaciones se antojan muy simétricas, lo que indica que sumarlas o restarlas puede simplificar el problema. Ciertamente, si las sumamos, obtenemos
2xy−y2−2x=0+x2−2xy−2y=0x2−y2−2(x+y)=0(x+y)(x−y)−2(x+y)=0(x+y)(x−y−2)=0\begin{aligned} \quad 2xy - y^2 - 2x &= 0 \\ + \quad x^2 - 2xy - 2y &= 0 \\ \hline x^2 - y^2 - 2(x+y) &= 0 \\ (x+y)(x-y) - 2(x+y) &= 0 \\ (x+y)(x - y - 2) &= 0 \end{aligned}
¿Qué implica esta ecuación respecto a la relación entre x y y (expresa cada respuesta como una ecuación que involucre las variables x y y)?
Ya sea
o

Cada una de estas posibilidades nos permite escribir x en términos de y, que a su vez nos deja expresar alguna de nuestras ecuaciones solamente en términos de y.
Por ejemplo, si sustituyes la relación x, equals, minus, y en la primera expresión, 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x, puedes obtener una fórmula cuadrática en términos de y. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?
y

Ya que todo esto salió de suponer que x, equals, minus, y, los valores correspondientes de x son x, equals, minus, 0 y x, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, respectivamente. Así, hemos obtenido nuestros primeros dos pares de soluciones:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end box,
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, end box
Alternativamente, si consideramos el caso x, equals, y, plus, 2, al sustituir esta expresión en 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x, obtenemos una expresión cuadrática en términos únicamente de y. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?
y

Ya que los encontramos bajo la suposición de que x, equals, y, plus, 2, los valores correspondientes de x son
x, equals, 2, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, equals, 1, plus, square root of, 5, end square root
x, equals, 2, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, equals, 1, minus, square root of, 5, end square root
Así, tenemos otros dos pares de soluciones:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box.
Ahora ya hemos agotado todas las posibilidades, pues inicialmente encontramos que x, equals, minus, y o bien que x, equals, y, plus, 2, y resolvimos completamente las ecuaciones que resultaron de cada suposición.

Paso 2: aplica el criterio de la segunda derivada

Vaya. Eso fue un montón de trabajo para un solo ejemplo, ¡y no vamos ni a la mitad! Ahora tenemos que aplicar el criterio de la segunda derivada a cada solución. Primero calculemos todas las derivadas parciales de segundo orden de nuestra función
f(x,y)=x2y−y2x−x2−y2\begin{aligned} \quad f(x, y) = x^2 y - y^2 x - x^2 - y^2 \end{aligned}
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0c7f99
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #bc2612
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, end color #0d923f

De acuerdo con el criterio de la segunda derivada, para determinar cuál de nuestros puntos críticos es un máximo o un mínimo local, tenemos que sustituirlos en la expresión
fxx(x,y)fyy(x,y)−(fxy(x,y))2\begin{aligned} \quad \blueE{f_{xx}(x, y)} \redE{f_{yy}(x, y)} - (\greenE{f_{xy}(x, y)})^2 \end{aligned}
¿Cómo se ve esta expresión cuando sustituimos las segundas derivadas?

Ya que solo nos importa el signo de esta expresión, podemos dividirla entre 4 para simplificarla un poco.
left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, minus, x, minus, 1, right parenthesis, minus, left parenthesis, x, minus, y, right parenthesis, squared, left arrow, start color gray, start text, E, x, p, r, e, s, i, o, with, \', on top, n, space, c, l, a, v, e, point, end text, end color gray
Ahora determinamos el signo de esta expresión para cada uno de los puntos críticos.
  • Punto crítico left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis:
    En el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, la expresión clave el vaor de la expresión es
    . Por lo tanto, concluimos que left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es
    Escoge 1 respuesta:
    Ahora,
    Escoge 1 respuesta:

  • Punto crítico left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis:
    En el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, el valor de la expresión clave es
    . Concluimos que left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis es
    Escoge 1 respuesta:
    Ahora,
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  • Punto crítico left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
    En el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, el valor de la expresión clave es
    . Por lo tanto, concluimos que left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis es
    Escoge 1 respuesta:
    Ahora,
    Escoge 1 respuesta:

  • Punto crítico left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
    Las cuentas son casi idénticas a las del caso anterior.
Aquí hay una pequeña animación de la gráfica f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared rotando, donde puedes ver los tres puntos silla y el máximo local en el origen.
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¡Date un buen aplauso!

Estos son problemas muy largos, y si de hecho los hiciste paso a paso, ¡te mereces una gran felicitación!

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