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Cálculo multivariable
Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3
Lección 4: Optimizar funciones multivariables (artículos)Ejemplos: criterio de la segunda derivada parcial
Practica del uso del criterio de la segunda derivada parcial.
Antecedentes
Prepárate para el esfuerzo
Tenemos un desafío para ti.
En este artículo, podrás seguir los pasos en dos ejemplos de determinar máximos y mínimos de funciones multivariables. En aplicaciones modernas, la mayoría de los pasos involucrados para resolver este tipo de problemas se realizan en computadora. Sin embargo, la única manera de probar que realmente entiendes cómo se usa el criterio de la segunda derivada parcial es que lo resuelvas completo por ti mismo, al menos una vez.
Después de todo, puede ser que algún día necesites escribir el programa para decirle a una computadora cómo hacerlo, lo que requiere saber todos los pasos involucrados. Además, es una buena manera de volverte más hábil con las derivadas parciales.
Así que nuestro reto para ti es este: trata de ingresar la respuesta a cada paso mientras lees el artículo, y así poner a prueba tu propia comprensión.
El criterio de la segunda derivada parcial (como referencia)
Empieza por encontrar un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales de f sean 0.
El criterio de las segunda derivada parcial nos dice cómo determinar si left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en un máximo o mínimo local, o un punto silla. Empezamos por calcular este término:
donde start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, end color #bc2612 y start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, end color #0d923f son las segundas derivadas parciales de f.
- Si H, is less than, 0, entonces f no tiene ni mínimo ni máximo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, en cambio tiene un punto silla.
- Si H, is greater than, 0, entonces f definitivamente tiene un máximo o mínimo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y debemos fijarnos en el signo de start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 para averiguar cuál de los dos es.
- Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0, entonces f tiene un mínimo local.
- Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0, entonces f tiene un máximo local.
- Si H, equals, 0, al considerar solo las segundas derivadas no podemos decir si f tiene un mínimo o un máximo local.
Ejemplo 1: ¡todos los puntos críticos!
Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función
y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.
Paso 1: encuentra todos los puntos críticos
Los puntos críticos son todos los pares left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales son iguales a 0. Primero calculamos cada derivada parcial
Después, encuentra todos los puntos left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde ambas derivadas parciales son 0, que equivale a resolver el sistema de ecuaciones
¿Cuáles de los siguientes pares de puntos satisface el sistema de ecuaciones?
Paso 2: aplica el criterio de la segunda derivada
Para empezar, encuentra las tres derivadas parciales de segundo orden de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.
La expresión que nos importa para poder aplicar el criterio de la segunda derivada es
Si sustituimos las segundas derivadas que calculamos, ¿cómo se ve esta expresión (como función de x y y)?
Para aplicar el criterio de la segunda derivada, evaluamos la expresión en cada punto crítico y determinamos si es positiva o negativa.
- Punto crítico 1:En left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, el valor de la expresión esEs negativa, así que el criterio de la segunda derivada parcial nos dice que left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es un
- Punto crítico 2: en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis, el valor de la expresión es
Que es positivo. También,
Por lo tanto, el punto left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis debe ser un
- Punto crítico 3: podríamos sustituir el punto left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis igual que hicimos con los otros puntos críticos, pero también podríamos observar que la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared es simétrica, en el sentido que reemplazar x por minus, x producirá la misma expresión:left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, squared, plus, y, squared, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, squared, plus, y, squared.Por lo tanto el punto left parenthesis, minus, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis tendrá exactamente el mismo comportamiento que left parenthesis, square root of, 2, end square root, comma, 0, right parenthesis
Aquí se muestra una animación de la gráfica de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis mientras rota, donde los dos mínimos locales se ven claramente, y podemos ver que el origen es ciertamente un punto silla.
Ejemplo 2: un problema más intrincado
No endulcemos las cosas; los problemas de optimización pueden ser largos, muy largos.
Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función
y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.
Paso 1: encuentra los puntos críticos
Necesitamos encontrar los puntos donde ambas derivadas parciales son cero, así que empezamos por calcular las derivadas parciales de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared
Entonces debemos resolver el sistema de ecuaciones
En el mundo real, cuando te topas con un sistema de ecuaciones, es casi seguro que usarás una computadora para resolverlo. Sin embargo, para practicar y para que te des cuenta que los problemas de optimización no son siempre tan simples, hagamos algo loco y resolvamos el sistema nosotros mismos.
En general, la manera como podrías emprender esto es algo así:
- Resuelve una ecuación para obtener y en términos de x.
- Sustitúyela en la otra expresión para tener una expresión solo con x.
- Despeja x.
- Sustituye la solución de x en ambas ecuaciones y despeja y.
- Verifica cuáles pares left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis resuelven el sistema.
Esto puede ser un verdadero desastre, pues tal vez uses la fórmula cuadrática para resolver y tratando a x como una constante, y sustituyas esa horrible expresión en otro lado. De otro modo, puede que necesites resolver una ecuación de grado 4 que, además de ser como un dolor de muelas, da por resultado un montón de soluciones a sustituir.
En este sistema particular, las ecuaciones se antojan muy simétricas, lo que indica que sumarlas o restarlas puede simplificar el problema. Ciertamente, si las sumamos, obtenemos
¿Qué implica esta ecuación respecto a la relación entre x y y (expresa cada respuesta como una ecuación que involucre las variables x y y)?
Cada una de estas posibilidades nos permite escribir x en términos de y, que a su vez nos deja expresar alguna de nuestras ecuaciones solamente en términos de y.
Por ejemplo, si sustituyes la relación x, equals, minus, y en la primera expresión, 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x, puedes obtener una fórmula cuadrática en términos de y. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?
Ya que todo esto salió de suponer que x, equals, minus, y, los valores correspondientes de x son x, equals, minus, 0 y x, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, respectivamente. Así, hemos obtenido nuestros primeros dos pares de soluciones:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end box,
Alternativamente, si consideramos el caso x, equals, y, plus, 2, al sustituir esta expresión en 2, x, y, minus, y, squared, minus, 2, x, obtenemos una expresión cuadrática en términos únicamente de y. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?
Ya que los encontramos bajo la suposición de que x, equals, y, plus, 2, los valores correspondientes de x son
Así, tenemos otros dos pares de soluciones:
left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start box, left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis, end box.
Ahora ya hemos agotado todas las posibilidades, pues inicialmente encontramos que x, equals, minus, y o bien que x, equals, y, plus, 2, y resolvimos completamente las ecuaciones que resultaron de cada suposición.
Paso 2: aplica el criterio de la segunda derivada
Vaya. Eso fue un montón de trabajo para un solo ejemplo, ¡y no vamos ni a la mitad! Ahora tenemos que aplicar el criterio de la segunda derivada a cada solución. Primero calculemos todas las derivadas parciales de segundo orden de nuestra función
De acuerdo con el criterio de la segunda derivada, para determinar cuál de nuestros puntos críticos es un máximo o un mínimo local, tenemos que sustituirlos en la expresión
¿Cómo se ve esta expresión cuando sustituimos las segundas derivadas?
Ya que solo nos importa el signo de esta expresión, podemos dividirla entre 4 para simplificarla un poco.
Ahora determinamos el signo de esta expresión para cada uno de los puntos críticos.
- Punto crítico left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis:
- Punto crítico left parenthesis, minus, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, right parenthesis:
- Punto crítico left parenthesis, 1, plus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, plus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:
- Punto crítico left parenthesis, 1, minus, square root of, 5, end square root, comma, minus, 1, minus, square root of, 5, end square root, right parenthesis:Las cuentas son casi idénticas a las del caso anterior.
Aquí hay una pequeña animación de la gráfica f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, minus, y, squared, x, minus, x, squared, minus, y, squared rotando, donde puedes ver los tres puntos silla y el máximo local en el origen.
¡Date un buen aplauso!
Estos son problemas muy largos, y si de hecho los hiciste paso a paso, ¡te mereces una gran felicitación!
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- Es posible que haya un solo punto crítico? Cuando pongo 0 en lugar de alguna variable en una primera derivada hay un valor de infinito.(2 votos)