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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 2: Aproximaciones cuadráticas

La matriz hessiana

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La hessiana es una matriz que organiza todas las derivadas parciales de segundo orden de una función.

Antecedentes:

Derivadas parciales de segundo orden

La matriz hessiana

La "matriz hessiana" de una función multivariable

f (x, y, z, \dots)

, que diferentes autores la escriben como

H (f)

H f

H_{f}

, organiza todas las derivadas parciales de segundo orden en una matriz:

H f = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}]

Entonces, dos cosas que hay que notar aquí son:

Este objeto matemático solo tiene sentido para funciones escalares.
Este objeto $H f$ ‍ no es una matriz ordinaria; es una matriz cuyas entradas son funciones. En otras palabras, está hecha para evaluarse en algún punto $(x_{0}, y_{0}, \dots)$ ‍.
$H f (x_{0}, y_{0}, \dots) = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}]$ ‍

Como tal, puedes llamar al objeto

H f

una función "matricial".

En el mundo de una sola variable, las cosas son muy simples. La derivada, la segunda derivada, etcétera, son todas funciones de una sola variable.

Ahora, cuando una función escalar

f

tiene múltiples entradas, el análogo a la primera derivada es el gradiente

\nabla f

, que es una función vectorial, y el análogo de la segunda derivada es la matriz hessiana

H f

, que es una función matricial.

Te preguntarás si existen ideas análogas para las derivadas de orden más alto, como la tercera, la cuarta, etcétera. De hecho ¡las hay! Incluso existe una agradable extensión de la fórmula de Taylor que las utiliza.

"Ya en serio ¿qué son?" Te escucho preguntar con impaciencia. Bueno, expresarlas en todas su gloria involucra algo llamado "álgebra multilineal". Es una rama de las matemáticas fascinante y hermosa, pero, desgraciadamente, está un poco fuera del alcance de nuestra discusión actual. Ten paciencia.

Otra cosa importante, la palabra "hessiano" algunas veces también se refiere al determinante de esta matriz, en lugar de a la propia matriz.

Ejemplo: calcular el hessiano

Problema: calcula la matriz hessiana de

f (x, y) = x^{3} - 2 x y - y^{6}

en el punto

(1, 2)

Solución: en última instancia, necesitamos todas las derivadas parciales de segundo orden de

f

, por lo que primero calculamos las de primer orden:

\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = 3 x^{2} - 2 y \\ f_{y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = - 2 x - 6 y^{5} \end{aligned}

Con estas, calculamos las cuatro derivadas parciales de segundo orden:

\begin{aligned} f_{x x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} - 2 y) = 6 x \\ f_{x y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2} - 2 y) = - 2 \\ f_{y x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 2 \\ f_{y y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 30 y^{4} \end{aligned}

En este caso, la matriz hessiana es una matriz de

2 \times 2

con las funciones que calculamos como sus entradas:

H f (x, y) = [\begin{array}{cc} f_{x x} (x, y) & f_{y x} (x, y) \\ f_{x y} (x, y) & f_{y y} (x, y) \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 x & - 2 \\ - 2 & - 30 y^{4} \end{array}]

Nos piden evaluar esto en el punto

(x, y) = (1, 2)

, así que sustituimos estos valores:

H f (1, 2) = [\begin{array}{cc} 6 (1) & - 2 \\ - 2 & - 30 (2)^{4} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}]

Ahora, el problema es ambiguo, ya que el "hessiano" se puede referir a la matriz o a su determinante. Lo que quieras depende del contexto. Por ejemplo, al optimizar funciones multivariables, hay algo que se llama el "criterio de la segunda derivada" que usa el determinante de la matriz hessiana. Cuando se usa el hessiano para aproximar funciones, debes usar la matriz.

Si lo que queremos es el determinante, esto es lo que obtenemos:

det ([\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}]) = 6 (- 480) - (- 2) (- 2) = - 2884

Usos

Al capturar toda la información de la segunda derivada de una función multivariable, la matriz hessiana a menudo juega un papel análogo a la segunda derivada ordinaria en cálculo de una sola variable. De manera más notable, aparece en estos dos casos:

Aproximaciones cuadráticas de funciones multivariables, que es un poco como una expansión de Taylor de segundo orden, pero para funciones multivariables.
El criterio de la segunda derivada, que te ayuda a encontrar el máximo o el mínimo de una función multivariable.

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Elena Morales
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “cómo sería el acomodo y l...” de Elena Morales
cómo sería el acomodo y la resolución de un hessiano de 3 o más variables?
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apialain
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “isn't the determinant of ...” de apialain
isn't the determinant of the matrix equal to: -180xy^4 -4 ?
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