If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 4: Optimizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Optimizar funciones multivariables (artículos)
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies

Razonamiento detrás del criterio de la segunda derivada

Google Classroom
Para aquellos de ustedes que quieran ver por qué funciona la segunda derivada parcial, aquí está un bosquejo de una demostración.  

Antecedentes

En el último artículo, dimos las bases para el criterio de la segunda derivada parcial, pero fue solo una idea intuitiva vaga de por qué es cierta. Este artículo es para aquellos que quieran indagar un poco más en las matemáticas, pero no es estrictamente necesario si solo quieres saber aplicar ese criterio.

Qué vamos a construir

  • Para probar si un punto crítico de una función multivariable es un mínimo o máximo local, examina la aproximación cuadrática de la función en ese punto. Es más fácil analizar si esta aproximación cuadrática tiene máximos y mínimos.
  • Para funciones de dos variables, esto se reduce al estudio de una expresión que tiene este aspecto:
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared
Estas se conocen como formas cuadráticas. La regla para saber cuándo una forma cuadrática es siempre positiva o siempre negativa se traduce directamente al criterio de la segunda derivada parcial.

Caso de una variable mediante aproximación cuadrática

En primer lugar, seguiremos el razonamiento formal de por qué funciona el criterio de la segunda derivada para una sola variable. Por formal, nos referimos a captar la idea de concavidad con un argumento preciso.
En el cálculo de una sola variable, cuando f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0 para alguna función f y algún valor de entrada a, el criterio de la segunda derivada nos dice que:
  • f tiene un máximo local en a si f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is less than, 0.
  • f tiene un mínimo local en a si f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is greater than, 0.
  • Si f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0, la segunda derivada no es suficiente para determinar si f tiene un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en a.
Para pensar por qué funciona esta prueba, empieza por aproximar la función con un polinomio de Taylor hasta el término cuadrático, que también se conoce como una aproximación cuadrática.
f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12f′′(a)(x−a)2\begin{aligned} \quad f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2 \end{aligned}
Puesto que f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0, esta aproximación cuadrática se simplifica así:
f(a)+12f′′(a)(x−a)2\begin{aligned} \quad f(a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2 \end{aligned}
La aproximación cuadrática en un mínimo local.
La aproximación cuadrática en un mínimo local.
Observa que left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis, squared, is greater than or equal to, 0 para todos los valores posibles de x, pues los términos cuadráticos siempre son cero o positivos. ¡Ese simple hecho nos dice todo lo que necesitamos saber! ¿Por qué?
Porque cuando f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is greater than, 0, podemos leer nuestra aproximación así:
f(a)+12f′′(a)(x−a)2⏟Esto es ≥0 para toda x,y es igual a 0 solo cuando x=a.\begin{aligned} \quad f(a) + \underbrace{ \blueE{\dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2} }_{\substack{ \text{Esto es $\ge 0$ para toda $x$,} \\ \text{y es igual a $0$ solo cuando $x=a$.} }} \end{aligned}
Por lo tanto, a es un mínimo local de nuestra aproximación. De hecho es un mínimo global, pero eso no nos importa. Cuando la aproximación cuadrática de una función tiene un mínimo local en algún punto, la función misma debe tener un mínimo local en ese lugar. Hablaremos más sobre esto en la última sección; pero por ahora la intuición debe ser clara, pues la función y su aproximación se "abrazan" la una a la otra alrededor del punto de aproximación a.
La aproximación cuadrática en un máximo local.
La aproximación cuadrática en un máximo local.
Similarmente, si f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, is less than, 0, podemos leer la aproximación como
f(a)+12f′′(a)(x−a)2⏟Esto es ≤0 para todos los valores de x,e igual a 0 solo cuando x=a\begin{aligned} \quad f(a) + \underbrace{ \redD{\dfrac{1}{2}f''(a)(x - a)^2} }_{\substack{ \text{Esto es $\le 0$ para todos los valores de $x$,} \\ \text{e igual a $0$ solo cuando $x=a$} }} \end{aligned}
En este caso, la aproximación tiene un máximo local en x, equals, a, lo que indica que la función misma también tiene un máximo local ahí.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
La aproximación cuadrática en el punto de inflexión es horizontal.
La aproximación cuadrática en el punto de inflexión es horizontal.
Cuando f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0, nuestra aproximación cuadrática siempre es igual a la constante f, left parenthesis, a, right parenthesis, lo que significa que nuestra función es en algún sentido demasiado plana para ser analizada solamente con la segunda derivada.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
Qué se obtiene de todo esto:
Cuando f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0, determinar si f tiene un máximo o un mínimo local en a se reduce a estudiar si el signo del término cuadrático de la aproximación de Taylor, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, a, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis, squared, es positivo o negativo.

Caso de dos variables: calentamiento visual

Ahora considera una función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis con dos entradas y una salida, que tiene un punto crítico. Esto es, un punto donde ambas derivadas parciales son 0,
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0\begin{aligned} \quad f_x(x_0, y_0) = 0 \\ f_y(x_0, y_0) = 0 \\ \end{aligned}
que de manera compacta se escribe como
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, e, r, o, end text, end color gray
Plano tangente
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text quiere decir que el plano tangente en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es horizontal.
Para determinar si este punto es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos, examinamos su aproximación cuadrática. Empecemos con una vista previa de lo que queremos hacer:
  • f tendrá un mínimo local en el punto crítico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis si la aproximación cuadrática en el punto es un paraboloide cóncavo hacia arriba.
    Mínimo local
  • f tendrá un máximo local allí si la aproximación cuadrática es un paraboloide cóncavo hacia abajo:
    Máximo local
  • Si la aproximación cuadrática tiene forma de silla, f no tiene ni un máximo ni un mínimo, sino un punto silla.
    Punto silla
  • Si la aproximación cuadrática es horizontal en alguna o todas las direcciones, no tenemos suficiente información para sacar conclusiones sobre f.
    La aproximación cuadrática es plana en una dirección.
    La aproximación cuadrática es constante.

Análisis de la aproximación cuadrática

La fórmula para la aproximación caudrática de f, en forma de vector, se ve así:
Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, T, e, with, \', on top, r, m, i, n, o, space, l, i, n, e, a, l, end text, end subscript, plus, start underbrace, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, T, e, with, \', on top, r, m, i, n, o, space, c, u, a, d, r, a, with, \', on top, t, i, c, o, end text, end subscript
Ya que nos interesan los puntos donde el gradiente es cero, podemos deshacernos de ese término del gradiente
Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Para ver los detalles del caso de dos variables, expandamos el término hessiano,
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ \\ &\quad {\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)}(x-x_0)^2 + \\ \\ &\quad {f_{xy}(x_0, y_0)}(x-x_0)(y-y_0) + \\ \\ &\quad {\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)}(y-y_0)^2 \end{aligned}
(Nota: si sientes que esta aproximación o algo de la notación es extraña o poco familiar, considera revisar el artículo sobre aproximaciones cuadráticas).
Como mostramos en el caso de una sola variable, la estrategia es estudiar si el término cuadrático de esta aproximación es siempre positivo o siempre negativo.
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2}¿Es siempre ≥0?¿Es siempre ≤0?¿Puede ser uno de los dos?\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ &\left. \begin{array}{c} \blueE{\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)(x-x_0)^2 +} \\ \\ \qquad \greenE{f_{xy}(x_0, y_0)(x-x_0)(y-y_0) +} \\ \\ \redE{\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)(y-y_0)^2} \quad \end{array} \right\} \substack{ \text{¿Es siempre $\ge 0$?} \\ \text{¿Es siempre $\le 0$?} \\ \text{¿Puede ser uno de los dos?} } \end{aligned}
Por lo pronto, escribir este término es tedioso, pero podemos destilar su esencia si estudiamos expresiones de la siguiente forma:
ax2+2bxy+cy2\begin{aligned} \quad \blueE{a}x^2 + 2\greenE{b}xy + \redE{c}y^2 \end{aligned}
Tales expresiones se llaman usualmente "formas cuadráticas".
  • La palabra "cuadrática" indica que los términos son de segundo orden, o sea que involucran el producto de dos variables.
  • La palabra "forma" en este contexto es desconcertante, y hace que la idea de una forma cuadrática suene más complicada de lo que realmente es. Los matemáticos dicen "forma cuadrática" en vez de "expresión cuadrática" para enfatizar que todos los términos son de orden 2, y que no hay términos lineales o constantes enredando la expresión. Adoptar una frase como "expresión puramente cuadrática" habría sido mucho más razonable y comprensible.
Para hacer la notación de las formas cuadráticas más fácil de generalizar a dimensiones más altas, a menudo las escribimos con respecto a la matriz simétrica M
x⊺Mx=[xy][abbc][xy]\begin{aligned} \quad \textbf{x}^{\intercal} M \textbf{x} = \left[x \quad y\right] \left[ \begin{array}{cc} \blueD{a} & \greenD{b} \\ \greenD{b} & \redD{c} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \end{aligned}
He aquí la pregunta crucial:
  • ¿Cómo podemos determinar si la expresión start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, 2, start color #1fab54, b, end color #1fab54, x, y, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, y, squared es siempre positiva, siempre negativa o ninguna de las dos, con solo estudiar las constantes start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54 y start color #e84d39, c, end color #e84d39?

Análisis de las formas cuadráticas

Si sustituimos un valor constante y, start subscript, 0, end subscript para y, obtenemos la función cuadrática de una sola variable:
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared
La gráfica de esta función es una parábola, y solo cruzará el eje x si esta función cuadrática tiene raíces reales.
Una función cuadrática con dos raíces reales que pueden ser ambas positivas o ambas negativas.
Una función cuadrática con dos raíces reales que pueden ser ambas positivas o ambas negativas.
De lo contrario, la función es siempre positiva o siempre negativa, dependiendo del signo de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99.
Una función cuadrática sin raíces reales puede ser siempre positiva o siempre negativa.
Una función cuadrática sin raíces reales puede ser siempre positiva o siempre negativa.
Podemos aplicar la fórmula cuadrática a esta expresión para ver si sus raíces son reales o complejas.
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared
  • El término principal es start color #0c7f99, a, end color #0c7f99.
  • El término lineal es 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, y, start subscript, 0, end subscript.
  • El término constante es start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, squared
Aplicar la fórmula cuadrática se ve así:
−2by0±(−2by0)2−4acy022a⇓−2by0±2y0b2−ac2a⇓y0(−b±b2−aca)\quad \dfrac{-2\greenE{b}y_0 \pm \sqrt{(-2\greenE{b}y_0)^2 - 4\blueE{a}\redE{c}y_0^2}}{2\blueE{a}} \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \\ \qquad \dfrac{-2\greenE{b}y_0 \pm 2y_0 \sqrt{\greenE{b}^2 - \blueE{a}\redE{c}}}{2\blueE{a}} \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \\ \qquad \boxed{y_0\left( \dfrac{-\greenE{b} \pm \sqrt{\greenE{b}^2 - \blueE{a}\redE{c}}}{\blueE{a}} \right)}
Si y, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, la parábola tiene una raíz doble en x, equals, 0, lo que significa que apenas toca al eje x en ese punto. En otro caso, el que las raíces sean reales depende solamente del signo de la expresión start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612.
  • Si start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, is greater than or equal to, 0, existen dos raíces reales, y la gráfica de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared cruza el eje x.
  • En caso contrario, si start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, is less than, 0, no existen raíces reales, y la gráfica de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared es totalmente positiva o totalmente negativa.
Por ejemplo, considera el caso
  • start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, equals, 1
  • start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, 3
  • start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 5
En este caso, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, squared, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, 5, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0, así que la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, 5, y, start subscript, 0, end subscript, squared siempre cruza al eje x. He aquí un video que muestra cómo cambia la gráfica conforme dejamos que el valor de y, start subscript, 0, end subscript varíe lentamente.
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
Esto corresponde con el hecho de que la gráfica de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, y, plus, 5, y, squared puede ser tanto positiva como negativa.
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
En contraste, considera el caso
  • start color #11accd, a, end color #11accd, equals, 2
  • start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, 2
  • start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 3
Ahora start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, minus, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, squared, minus, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #e84d39, 3, end color #e84d39, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0. Esto significa que la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 4, x, y, start subscript, 0, end subscript, plus, 3, y, start subscript, 0, end subscript, squared nunca cruza el eje x, aunque lo toca si la constante y, start subscript, 0, end subscript es cero. Aquí mostramos un video donde se ve cómo cambia la gráfica conforme dejamos que la constante y, start subscript, 0, end subscript varíe:
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
Esto corresponde con el hecho que la función multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 4, x, y, plus, 3, y, squared siempre es positiva.
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video

Regla para el signo de las formas cuadráticas

Como si se tratara de confundir a los estudiantes familiarizados con la fórmula cuadrática, las propiedades de las formas cuadráticas a menudo se establecen en términos de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared en lugar de start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, minus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612. Ya que una expresión es el negativo de la otra, tenemos que cambiar de is greater than or equal to, 0 a is less than or equal to, 0. La razón por la que los matemáticos prefieren start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared es porque este es el determinante de a matriz que describe la forma cuadrática:
det⁡([abbc])=ac−b2 \det\left( \left[ \begin{array}{cc} \blueE{a} & \greenE{b} \\ \greenE{b} & \redE{c} \end{array} \right] \right) = \blueE{a}\redE{c} - \greenE{b}^2
Como recordatorio, así es como se ve la forma cuadrática utilizando la matriz.
ax2+2bxy+cy2=[xy][abbc][xy] \blueE{a}x^2 + 2\greenE{b}xy + \redE{c}y^2 = \left[x \quad y\right] \left[ \begin{array}{cc} \blueE{a} & \greenE{b} \\ \greenE{b} & \redE{c} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]
Al vincular esta convención con lo que encontramos en la sección anterior, escribimos la regla del signo de una forma cuadrática de la siguiente manera:
  • Si start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, is less than, 0, la forma cuadrática puede alcanzar valores positivos y negativos, y es posible que sea cero en otros valores diferentes de left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
  • Si start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, is greater than, 0, la forma es siempre positiva o siempre negativa, dependiendo del signo de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, pero en ambos casos solo es igual a 0 en left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
    • Si start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, is greater than, 0, la forma siempre es positiva, por lo que left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es un mínimo global de esta.
    • Si start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, is less than, 0, la forma siempre es negativa, por lo que left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es su máximo global.
  • Si start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #bc2612, c, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, b, end color #0d923f, squared, equals, 0, la forma será de nuevo o siempre positiva o siempre negativa, pero ahora es imposible que sea igual a 0 en valores distintos de left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

Un poco de terminología:

Cuando start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared, is greater than, 0 para todo left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis distinto de left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma decimos que la forma cuadrática y su matriz asociada son positivas definidas.
Cuando start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared, is less than, 0 para todo left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis distinto de left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma decimos que la forma cuadrática y su matriz asociada son negativas definidas.
Si reemplazas los signos is greater than y is less than por is greater than or equal to y is less than or equal to, respectivamente, las propiedades correspondientes son positiva semi-definida y negativa semi-definida.

Aplicación a Q, start subscript, f, end subscript

Bueno, regresando a donde comenzamos, vamos a escribir otra vez nuestra aproximación cuadrática:
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(x−x0)2+fxy(x0,y0)(x−x0)(y−y0)+12fyy(x0,y0)(y−y0)2\begin{aligned} \quad Q_f(x, y) &= f(x_0, y_0) + \\ \\ &\quad \blueE{\dfrac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0)}(x-x_0)^2 + \\ \\ &\quad \greenE{f_{xy}(x_0, y_0)}(x-x_0)(y-y_0) + \\ \\ &\quad \redE{\dfrac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0)}(y-y_0)^2 \end{aligned}
La parte cuadrática de Q, start subscript, f, end subscript está escrita en términos de left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en lugar de simplemente x y y, por lo que donde la regla del signo para la forma cuadrática hace referencia al punto left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, la aplicamos al punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Tal como en el caso de una sola variable, cuando la aproximación cuadrática Q, start subscript, f, end subscript tiene un máximo (o un mínimo) local en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, significa que f tiene un máximo (o un mínimo) local en ese punto. Esto quiere decir que podemos trasladar la regla del signo de una forma cuadrática directamente para obtener el criterio de la segunda derivada:
Supongamos que del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0.
  • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, is less than, 0, entonces f no tiene ni un mínimo ni un máximo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, sino un punto silla.
    Punto silla
  • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, is greater than, 0, la función f definitivamente tiene un máximo o un mínimo en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, y debemos determinar el signo de start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 para saber cuál de los dos es.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0, la función f tiene un mínimo local.
      Mínimo local
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0, la función f tiene un máximo local.
      Máximo local
  • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, left parenthesis, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, right parenthesis, squared, equals, 0, las segundas derivadas por sí solas no nos pueden decir si f tiene un máximo o mínimo local.

Nuestras herramientas actuales no son suficientes

Todo lo que presentamos aquí casi constituye una prueba completa, excepto por un paso final.
Intuitivamente, puede tener sentido que cuando una aproximación cuadrática se dobla y curva de cierta manera, la función debe doblarse y curvarse de la misma manera cerca del punto de aproximación. Pero ¿cómo formalizamos esto más allá de la intuición?
Desafortunadamente no lo haremos aquí. Para hacer rigurosos los argumentos sobre derivadas, requerimos del análisis real, columna vertebral teórica del cálculo.
Más aún, puedes estarte preguntando cómo esto se generaliza a funciones con más de dos entradas. Hay una notación para las formas cuadráticas con múltiples variables, pero enunciar la regla para cuándo tales formas son siempre positivas o negativas requiere varias ideas del álgebra lineal.

Resumen

  • Para probar si un punto crítico de una función multivariable es un mínimo o máximo local, examina la aproximación cuadrática de la función en ese punto. Es más fácil analizar si esta aproximación cuadrática tiene máximos y mínimos.
  • Para funciones de dos variables, esto se reduce al estudio de una expresión que tiene este aspecto:
start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, x, squared, plus, 2, start color #0d923f, b, end color #0d923f, x, y, plus, start color #bc2612, c, end color #bc2612, y, squared
Estas se conocen como formas cuadráticas. La regla para saber cuándo una forma cuadrática es siempre positiva o siempre negativa se traduce directamente al criterio de la segunda derivada parcial.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.