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Contenido principal

Criterio de la segunda derivada parcial

Aprende a comprobar si una función con dos entradas tiene un máximo o mínimo local.

Antecedentes

No es estrictamente necesaria, pero usada en una sección:
También, si estás un poco oxidado con el criterio de la segunda derivada en el cálculo de una sola variable, puedes revisarlo rápidamente aquí, pues es una buena comparación para el criterio de la segunda derivada parcial.

El enunciado del criterio de la segunda derivada parcial

Si buscas el máximo/mínimo local de la función de dos variables f(x,y), el primer paso es encontrar puntos de entrada (x0,y0) donde el gradiente es el vector 0.
f(x0,y0)=0
Estos básicamente son puntos donde el plano tangente a la gráfica de f es horizontal.
El criterio de la segunda derivada parcial nos dice cómo verificar si este punto crítico es un máximo local, mínimo local o un punto silla. Específicamente, empiezas por calcular esto:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Luego, el criterio de la segunda derivada parcial consiste en esto:
  • Si H<0, entonces (x0,y0) es un punto silla.
  • Si H>0, entonces (x0,y0) es o un punto máximo o uno mínimo; y debes hacer una pregunta adicional:
    • Si fxx(x0,y0)<0, (x0,y0) es un punto máximo local.
    • Si fxx(x0,y0)>0, (x0,y0) es un punto mínimo local.
    (También puedes usar fyy(x0,y0) en vez de fxx(x0,y0), lo cual realmente no hace una diferencia).
  • Si H=0, no tenemos información suficiente para determinarlo.

Intuición vaga

fxx(x0,y0)Concavidaden la dirección-xfyy(x0,y0)Concavidaden la dirección-ySon positivos solo cuando las direccionesx y y coinciden con la de la concavidadfxy(x0,y0)2Qué tanto f se parece a g(x,y)=xy
Concéntrate primero en este término:
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)
Puedes pensarlo como una codificación inteligente de si la concavidad de f es la misma en las direcciones x y y.
Por ejemplo, observa la función
f(x,y)=x2y2
Contenedor video de Khan Academy
Esta función tiene un punto silla en (x,y)=(0,0). La segunda derivada parcial con respecto a x es una constante positiva:
fxx(x,y)=xx(x2y2)=x2x=2>0
En particular fxx(0,0)=2>0, y el hecho de que esta cantidad es positiva significa que f(x,y) tiene concavidad positiva cuando viajamos en la dirección x. Por otro lado, la segunda derivada parcial con respecto a y es una constante negativa:
fyy(x,y)=yy(x2y2)=y2y=2<0
Esto indica una concavidad negativa conforme viajamos en la dirección y. Esta diferencia significa que debemos tener un punto silla, y está codificada como el producto de las dos derivadas parciales de segundo orden:
fxx(0,0)fyy(0,0)=(2)(2)=4<0
Puesto que el término fxy(0,0)2 solo puede ser positivo, restarlo hará que la expresión completa sea más negativa.
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Por otro lado, cuando los signos de fxx(x0,y0) o fyy(y0,y0) son ambos positivos o negativos, la concavidad de f en las direcciones x y y es la misma. En cualquiera de estos casos, el término fxx(x0,y0)fyy(x0,y0) será positivo.
¡Pero esto no es suficiente!

El término fxy2

Considera la función
f(x,y)=x2+y2+pxy
donde p es alguna constante.
Verificación de conceptos: con esta definición de f, calcula sus segundas derivadas:
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

Como las segundas derivadas fxx(0,0) y fyy(0,0) son positivas, la gráfica será cóncava hacia arriba mientras viajamos únicamente en la dirección de x o de y (sin importar qué sea p).
Sin embargo, observa el siguiente video donde mostramos cómo cambia la gráfica conforme dejamos que p varíe de 1 a 3 y de regreso a 1:
Contenedor video de Khan Academy
¿Qué está sucediendo? ¿Cómo puede la gráfica tener un punto silla cuando es cóncava hacia arriba tanto en la dirección x como en la dirección y? La respuesta corta es que las otras direcciones también importan, y en este caso el término pxy las captura.
Por ejemplo, si despejamos el término xy y examinamos la gráfica de g(x,y)=xy, esta se ve así:
Gráfica de g(x,y)=xy.
Gráfica de g(x, y) = xy. Muy similar a la gráfica de x² - y², pero rotado 45° y un poco expandido.
Tiene un punto silla en (0,0). Esto no es porque las concavidades en las direcciones x y y sean distintas, sino porque la concavidad es positiva en la dirección diagonal [11] y negativa en la dirección [11].
Vamos a ver lo que nos dice el criterio de la segunda derivada de la función f(x,y)=x2+y2+pxy. Se te pidió hacer los cálculos usando los valores de las segundas derivadas. Esto es lo que obtenemos:
fxx(0,0)fyy(0,0)fxy(0,0)2=(2)(2)p2
Cuando p>2, la expresión es negativa, por lo que f tiene un punto silla. Cuando p<2, es positiva, por lo que f tiene un mínimo local.
Puedes pensar la cantidad fxy(x0,y0) como una medida de qué tanto la función f se parece a la gráfica de g(x,y)=xy cerca del punto (x0,y0).
Al considerar cuántas direcciones deben concordar, de hecho es bastante sorprendente que solo necesitemos considerar tres valores, fxx(0,0), fyy(0,0) and fxy(0,0).
El siguiente artículo te proporcionará un razonamiento más detallado de lo que sucede detrás del criterio de la segunda derivada.

Resumen

  • Cuando encuentras un punto donde el gradiente de una función multivariable es el vector cero, lo que significa que el plano tangente de la gráfica es horizontal en este punto, el criterio de la segunda derivada parcial es una forma de saber si ese punto es un mínimo local, un máximo local o un punto silla.
  • El término clave del criterio de la segunda derivada parcial es este:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
  • Si H>0, la función definitivamente tiene un máximo/mínimo local en el punto (x0,y0).
    • Si fxx(x0,y0)>0, es un mínimo.
    • Si fxx(x0,y0)<0, es un máximo.
  • Si H<0, la función definitivamente tiene un punto silla en (x0,y0).
  • Si H=0, no hay suficiente información para determinarlo.

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