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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 4: Optimizar funciones multivariables (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Optimizar funciones multivariables (artículos)
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Criterio de la segunda derivada parcial

Google Classroom
Aprende a comprobar si una función con dos entradas tiene un máximo o mínimo local.

Antecedentes

No es estrictamente necesaria, pero usada en una sección:
También, si estás un poco oxidado con el criterio de la segunda derivada en el cálculo de una sola variable, puedes revisarlo rápidamente aquí, pues es una buena comparación para el criterio de la segunda derivada parcial.

El enunciado del criterio de la segunda derivada parcial

Si buscas el máximo/mínimo local de la función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, el primer paso es encontrar puntos de entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis donde el gradiente es el vector start bold text, 0, end bold text.
del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text
Estos básicamente son puntos donde el plano tangente a la gráfica de f es horizontal.
El criterio de la segunda derivada parcial nos dice cómo verificar si este punto crítico es un máximo local, mínimo local o un punto silla. Específicamente, empiezas por calcular esto:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
Luego, el criterio de la segunda derivada parcial consiste en esto:
  • Si H, is less than, 0, entonces left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es un punto silla.
  • Si H, is greater than, 0, entonces left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es o un punto máximo o uno mínimo; y debes hacer una pregunta adicional:
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es un punto máximo local.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es un punto mínimo local.
    (También puedes usar start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 en vez de start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, lo cual realmente no hace una diferencia).
  • Si H, equals, 0, no tenemos información suficiente para determinarlo.

Intuición vaga

fxx(x0,y0)⏞Concavidaden la direccioˊn-xfyy(x0,y0)⏞Concavidaden la direccioˊn-y⏟Son positivos solo cuando las direccionesx y y coinciden con la de la concavidad−fxy(x0,y0)2⏟Queˊ tanto f se parece a g(x,y)=xy\underbrace{\overbrace{\blueD{f_{xx}(x_0,y_0)}}^{\begin{array}{c}\scriptsize\text{Concavidad}\\\scriptsize\text{en la dirección-x}\end{array}}\overbrace{\redD{f_{yy}(x_0,y_0)}}^{\begin{array}{c}\scriptsize\text{Concavidad}\\\scriptsize\text{en la dirección-y}\end{array}}}_{\begin{array}{c}\scriptsize\text{Son positivos solo cuando las direcciones}\\\scriptsize\text{x y y coinciden con la de la concavidad}\end{array}}-\underbrace{\greenD{f_{xy}(x_0,y_0)^2}}_{\begin{array}{c}\scriptsize\text{Qué tanto }f\text{ se }\\\scriptsize\text{parece a }g(x,y)=xy\end{array}}
Concéntrate primero en este término:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612
Puedes pensarlo como una codificación inteligente de si la concavidad de f es la misma en las direcciones x y y.
Por ejemplo, observa la función
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
Esta función tiene un punto silla en left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis. La segunda derivada parcial con respecto a x es una constante positiva:
fxx(x,y)=∂∂x∂∂x(x2−y2)=∂∂x2x=2>0\begin{aligned} \blueE{f_{xx}(x, y)} &= \dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial x} (x^2 - y^2) \\ \\ &= \dfrac{\partial}{\partial x} 2x \\ \\ &= 2 >0 \end{aligned}
En particular start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, equals, 2, is greater than, 0, y el hecho de que esta cantidad es positiva significa que f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis tiene concavidad positiva cuando viajamos en la dirección x. Por otro lado, la segunda derivada parcial con respecto a y es una constante negativa:
fyy(x,y)=∂∂y∂∂y(x2−y2)=∂∂y−2y=−2<0\begin{aligned} \redE{f_{yy}(x, y)} &= \dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y} (x^2 - y^2) \\\\ &= \dfrac{\partial}{\partial y} -2y \\\\ &= -2 < 0 \end{aligned}
Esto indica una concavidad negativa conforme viajamos en la dirección y. Esta diferencia significa que debemos tener un punto silla, y está codificada como el producto de las dos derivadas parciales de segundo orden:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612, equals, left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 4, is less than, 0
Puesto que el término start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f, squared solo puede ser positivo, restarlo hará que la expresión completa sea más negativa.
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
Por otro lado, cuando los signos de start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 o start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 son ambos positivos o negativos, la concavidad de f en las direcciones x y y es la misma. En cualquiera de estos casos, el término start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 será positivo.
¡Pero esto no es suficiente!

El término start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, squared, end color #0d923f

Considera la función
f(x,y)=x2+y2+pxy\begin{aligned} f(x, y) = x^2 + y^2 + \greenE{p}xy \end{aligned}
donde start color #0d923f, p, end color #0d923f es alguna constante.
Verificación de conceptos: con esta definición de f, calcula sus segundas derivadas:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99, equals
start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #bc2612, equals
start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, equals

Como las segundas derivadas start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99 y start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612 son positivas, la gráfica será cóncava hacia arriba mientras viajamos únicamente en la dirección de x o de y (sin importar qué sea start color #0d923f, p, end color #0d923f).
Sin embargo, observa el siguiente video donde mostramos cómo cambia la gráfica conforme dejamos que start color #0d923f, p, end color #0d923f varíe de 1 a 3 y de regreso a 1:
Contenedor video de Khan Academy
Ver la transcripción del video
¿Qué está sucediendo? ¿Cómo puede la gráfica tener un punto silla cuando es cóncava hacia arriba tanto en la dirección x como en la dirección y? La respuesta corta es que las otras direcciones también importan, y en este caso el término start color #0d923f, p, end color #0d923f, x, y las captura.
Por ejemplo, si despejamos el término x, y y examinamos la gráfica de g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, esta se ve así:
Gráfica de g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y.
Gráfica de g(x, y) = xy. Muy similar a la gráfica de x² - y², pero rotado 45° y un poco expandido.
Tiene un punto silla en left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis. Esto no es porque las concavidades en las direcciones x y y sean distintas, sino porque la concavidad es positiva en la dirección diagonal [11]\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] y negativa en la dirección [−11]\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].
Vamos a ver lo que nos dice el criterio de la segunda derivada de la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, start color #0d923f, p, end color #0d923f, x, y. Se te pidió hacer los cálculos usando los valores de las segundas derivadas. Esto es lo que obtenemos:
start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, minus, start color #0d923f, p, end color #0d923f, squared
Cuando p, is greater than, 2, la expresión es negativa, por lo que f tiene un punto silla. Cuando p, is less than, 2, es positiva, por lo que f tiene un mínimo local.
Puedes pensar la cantidad start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f como una medida de qué tanto la función f se parece a la gráfica de g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y cerca del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Al considerar cuántas direcciones deben concordar, de hecho es bastante sorprendente que solo necesitemos considerar tres valores, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #bc2612 and start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #0d923f.
El siguiente artículo te proporcionará un razonamiento más detallado de lo que sucede detrás del criterio de la segunda derivada.

Resumen

  • Cuando encuentras un punto donde el gradiente de una función multivariable es el vector cero, lo que significa que el plano tangente de la gráfica es horizontal en este punto, el criterio de la segunda derivada parcial es una forma de saber si ese punto es un mínimo local, un máximo local o un punto silla.
  • El término clave del criterio de la segunda derivada parcial es este:
H, equals, start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, minus, start color #0d923f, f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, squared
  • Si H, is greater than, 0, la función definitivamente tiene un máximo/mínimo local en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is greater than, 0, es un mínimo.
    • Si start color #0c7f99, f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, is less than, 0, es un máximo.
  • Si H, is less than, 0, la función definitivamente tiene un punto silla en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
  • Si H, equals, 0, no hay suficiente información para determinarlo.

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