Aproximación cuadrática

Antecedentes:

• Linealización local
• Gráficas
• Derivadas parciales de segundo orden

Qué vamos a construir

• $f$f es una función con una entrada multidimensional y una salida escalar.
• $\nabla f(\textbf{x}_0)$del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es el gradiente de $f$f evaluado en $\textbf{x}_0$start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.
• $\textbf{H}_f(\textbf{x}_0)$start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es la matriz hessiana de $f$f evaluada en $\textbf{x}_0$start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.
• El vector $\textbf{x}_0$start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript es una entrada específica, cerca de la cual vamos a aproximar.
• El vector $\textbf{x}$start bold text, x, end bold text representa la variable de entrada.
• La función de aproximación $Q_f$Q, start subscript, f, end subscript tiene el mismo valor que $f$f en el punto $\textbf{x}_0$start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, todas sus derivadas parciales tienen el mismo valor que las de $f$f en este punto, y todas sus derivadas parciales de segundo orden tienen el mismo valor que las de $f$f en ese punto.

Aproximaciones más y más precisas

Aproximación de orden cero

Aproximación de primer orden

Aproximación de segundo orden.

"Cuadrático" se refiere al producto de dos variables

Gráficas de funciones cuadráticas

Recordatorio sobre la receta de linealización local

• Empezamos con el término constante $f(x_0, y_0)$f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, de tal manera que la aproximación al menos sea igual a $f$f en el punto $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
• Sumamos los términos lineales $\blueE{f_x(x_0, y_0)}(x - x_0)$start color #0c7f99, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y $\redE{f_y(x_0, y_0)}(y - y_0)$start color #bc2612, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
• Usamos las constantes $\blueE{f_x(x_0, y_0)}$start color #0c7f99, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 y $\redE{f_y(x_0, y_0)}$start color #bc2612, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 para asegurarnos de que nuestra aproximación tenga las mismas derivadas parciales que $f$f en el punto $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
• Usamos los términos $(x - x_0)$left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y $(y - y_0)$left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en lugar de solamente $x$x y $y$y, de modo que no arruinemos el hecho de que nuestra aproximación sea igual a $f(x_0, y_0)$f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el punto $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Encontrar la aproximación cuadrática

• ¡Inténtalo! Toma la segunda derivada parcial con respecto a $x$x en cada término en la expresión de $Q_f(x, y)$Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis arriba, y date cuenta que todas se hacen cero excepto el término $\blueE{a}(x - x_0)^2$start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared.

Ejemplo: aproximar la función $\sin(x)\cos(y)$sine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis

$f\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

$f_x(x, y) =$f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

$f_x\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

$f_y(x, y) =$f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

$f_y\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

$f_{xx}(x, y) =$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

$f_{xx}\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

$f_{xy}(x, y) =$f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

$f_{xy}\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, start subscript, x, y, end subscript, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

$f_{yy}(x, y) =$f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

$f_{yy}\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) =$f, start subscript, y, y, end subscript, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, equals

Comprobar

[Respuesta]

Notación vectorial mediante la matriz hessiana

• La $\textbf{x}$start bold text, x, end bold text en negritas representa la(s) variable(s) de entrada como un vector,
  $\begin{aligned} \quad \textbf{x} &= \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}$
  Por otra parte, $\textbf{x}_0$start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript es un vector particular en el espacio de entrada. Si esto tiene dos componentes, esta fórmula para $Q_f$Q, start subscript, f, end subscript solo es una forma diferente de escribir la que derivamos anteriormente, pero también podría representar un vector con cualquier otra dimensión.
• El producto punto $\nabla f(\textbf{x}_0) \cdot (\textbf{x} - \textbf{x}_0)$del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se expandirá dentro de la suma como los términos $f_{x}(\textbf{x}_0)(x - x_0)$f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, $f_{y}(\textbf{x}_0)(y - y_0)$f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, etcétera. Si esto no te resulta familiar de la notación vectorial para la linealización local, ¡hazlo tú mismo para el caso en $2$2 dimensiones!
  [Solución]
• El superíndice $T$T en la expresión $(\textbf{x} - \textbf{x}_0)^\mathrm{T}$left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript indica "transponer". Esto significa que tomas el vector inicial $(\textbf{x} - \textbf{x}_0)$left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, que se ve así:

  $(\textbf{x} - \textbf{x}_0) = \left[ \begin{array}{c} x - x_0 \\ y - y_0 \end{array} \right]$

  Después lo volteas para obtener algo como esto:

  $(\textbf{x} - \textbf{x}_0)^{\mathrm{T}} = \left[ \begin{array}{c} x - x_0 & & y - y_0 \end{array} \right]$

• $\textbf{H}_f(\textbf{x}_0)$start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es la matriz hessiana de $f$f.
• La expresión $(\textbf{x} - \textbf{x}_0)^\mathrm{T} \textbf{H}_f(\textbf{x}_0)(\textbf{x} - \textbf{x}_0)$left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis puede parecer complicada si nunca te has encontrado con ella anteriormente. Esta forma de expresar términos cuadráticos es en realidad una forma bastante común tanto en cálculo como en álgebra vectorial, así que vale la pena expandir una expresión como esta por lo menos unas cuantas veces en tu vida. Por ejemplo, trata de desarrollarla en el caso en que $\textbf{x}$start bold text, x, end bold text es bidimensional para ver cómo se ve.
  [Solución]
  Debes encontrar que es exactamente $2$2 veces la parte cuadrática de la fórmula en forma escalar que calculamos antes.

¿Cuál es el objetivo?

• Cálculos: incluso si nunca tienes que escribir una aproximación cuadrática, quizá algún día tengas que programar una computadora para que lo haga para alguna función en particular. O incluso si dependes del programa de alguien más, puede ser que tengas que analizar cómo y por qué la aproximación falla bajo alguna circunstancia.
• Teoría: ser capaces de hacer referencia a una aproximación de segundo orden nos ayuda a razonar sobre el comportamiento general de las funciones cerca de algún punto. Esto nos será de utilidad para determinar si ese punto es un máximo o un mínimo local.