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Cálculo multivariable
Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3
Lección 2: Aproximaciones cuadráticas- ¿Cómo se ven las aproximaciones cuadráticas?
- Fórmula para la aproximación cuadrática (parte 1)
- Fórmula para la aproximación cuadrática (parte 2)
- Ejemplo de aproximación cuadrática
- La matriz hessiana
- La matriz hessiana
- Expresar una forma cuadrática con una matriz
- Forma vectorial de una aproximación cuadrática multivariable
- La matriz hessiana
- Aproximación cuadrática
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Aproximación cuadrática
Las aproximaciones cuadráticas extienden la noción de una linealización local, dando una aproximación aún más cercana de una función.
Qué vamos a construir
El objetivo, como en la linealización local, es aproximar una función mutivariable potencialmente complicada f, cerca de algún vector de entrada start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript. Una aproximación cuadrática hace esto de manera más cercana que una linealización local con la información dada por las derivadas parciales de segundo orden.
Forma no vectorial
En el caso específico en que la entrada de f es bidimensional, la aproximación cuadrática cerca de un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se ve así:
Forma vectorial:
La forma general de esto, para una función escalar f con cualquier tipo de entrada multidimensional, tiene una aproximación que se ve así:
Sabemos que esto parece un poco complicado, pero más adelante iremos paso a paso para ver cómo llegar a esta expresión. He aquí un breve resumen de cada término.
- f es una función con una entrada multidimensional y una salida escalar.
- del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es el gradiente de f evaluado en start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.
- start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es la matriz hessiana de f evaluada en start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.
- El vector start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript es una entrada específica, cerca de la cual vamos a aproximar.
- El vector start bold text, x, end bold text representa la variable de entrada.
- La función de aproximación Q, start subscript, f, end subscript tiene el mismo valor que f en el punto start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, todas sus derivadas parciales tienen el mismo valor que las de f en este punto, y todas sus derivadas parciales de segundo orden tienen el mismo valor que las de f en ese punto.
Aproximaciones más y más precisas
Imagina que tienes alguna función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis con dos entradas y una salida, por ejemplo
El objetivo es encontrar una función más sencilla que aproxime a f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis cerca de un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Por ejemplo,
Aproximación de orden cero
La aproximación más ingenua sería una función constante que es igual al valor de f en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en todas partes. A esta la llamamos "aproximación de orden 0".
En el ejemplo:
Escrito en abstracto:
De manera gráfica:
La gráfica de esta función de aproximación C, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es un plano que pasa por la gráfica de la función en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis. El siguiente video muestra cómo esta aproximación cambia conforme movemos el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
La gráfica de f se muestra en azul; la gráfica de la aproximación, en blanco, y el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, en rojo.
Aproximación de primer orden
La aproximación de orden cero, una función constante, es bastante mala. Claro, te garantiza que sea igual a f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, pero no más. El siguiente paso es usar una linealización local, también conocida como "aproximación de primer orden".
En el ejemplo:
Escrito en abstracto:
Aquí, f, start subscript, x, end subscript y f, start subscript, y, end subscript denotan las derivadas parciales de f.
De manera gráfica:
La gráfica de la linealización local es el plano tangente a la gráfica de f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis. En el siguiente video muestra cómo esta aproximación cambia conforme nos movemos alrededor del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
Aproximación de segundo orden.
Una aproximación cuadrática es aún mejor, se conoce también como "aproximación de segundo orden".
El resto de este artículo está dedicado a encontrar y entender la forma analítica de tal aproximación, pero antes de entrar de lleno, vamos a ver cómo se ve esta aproximación de manera gráfica. Puedes pensar en estas aproximaciones como rodear con curvas la gráfica en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, dándole una especie de abrazo matemático.
"Cuadrático" se refiere al producto de dos variables
En funciones de una variable, la palabra "cuadrático" se refiere a cualquier situación en donde una variable esté elevada al cuadrado, como en el término x, squared. Con muchas variables, "cuadrático" se refiere no solo a términos cuadrados, como x, squared y y, squared, sino también a términos que involucran el producto de dos variables separadas, como x, y.
En general, el "orden" de un término que sea el producto de varias cosas, como 3, x, squared, y, cubed, es el número total de variables que aparecen multiplicadas en ese término. En este caso, el orden es 5: dos x's, tres y's, y la constante no importa.
Gráficas de funciones cuadráticas
Una manera de pensar en una función cuadrática es en términos de su concavidad, que puede depender de la dirección en la que te mueves.
Si la función es cóncava hacia arriba, como es el caso, por ejemplo, de la función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, la gráfica se verá más o menos así:
Esta figura, que es una parábola tridimensional, se llama paraboloide.
Si la función es cóncava hacia arriba en una dirección y lineal en otra, la gráfica se ve como una curva parabólica que ha sido arrastrada a lo largo del espacio para trazar una superficie. Por ejemplo, esto pasa en el caso de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y:
Por último, si la gráfica es cóncava hacia arriba cuando nos movemos en una dirección, pero cóncava hacia abajo cuando nos movemos en otra, como en el caso de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared, la gráfica se ve como una silla de montar. Aquí está como se ve una gráfica así:
Recordatorio sobre la receta de linealización local
Para escribir la aproximación cuadrática de una función f cerca del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, comenzamos con la linealización local:
Vale la pena recorrer paso a paso la receta para encontrar la linealización local una vez más ya que la receta para encontrar una aproximación cuadrática es muy parecida.
- Empezamos con el término constante f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, de tal manera que la aproximación al menos sea igual a f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
- Sumamos los términos lineales start color #0c7f99, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y start color #bc2612, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
- Usamos las constantes start color #0c7f99, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 y start color #bc2612, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 para asegurarnos de que nuestra aproximación tenga las mismas derivadas parciales que f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
- Usamos los términos left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en lugar de solamente x y y, de modo que no arruinemos el hecho de que nuestra aproximación sea igual a f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Encontrar la aproximación cuadrática
Para la aproximación cuadrática, sumamos los términos cuadráticosleft parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared, y por ahora escribimos sus coeficientes como las constantes start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, start color #0d923f, b, end color #0d923f y start color #bc2612, c, end color #bc2612, cuyos valores encontraremos en un momento:
De la misma manera en la que nos aseguramos de que la linealización local tenga las mismas derivadas parciales que f en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, queremos que la aproximación cuadrática tenga las mismas derivadas parciales de segundo orden que f en este punto.
Lo realmente agradable acerca de la forma en que escribimos Q, start subscript, f, end subscript arriba, es que la segunda derivada parcial start fraction, \partial, squared, Q, start subscript, f, end subscript, divided by, \partial, x, squared, end fraction solo depende del término start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared.
- ¡Inténtalo! Toma la segunda derivada parcial con respecto a x en cada término en la expresión de Q, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis arriba, y date cuenta que todas se hacen cero excepto el término start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared.
¿De verdad lo intentaste?En serio; toma un momento y hazlo. Ayuda mucho a entender por qué expresamos Q, start subscript, f, end subscript de la manera en que lo hicimos.
Este hecho es lindo porque en lugar de tomar la segunda derivada parcial de toda la expresión monstruosa, puedes verla así:
Como el objetivo es hacer que esto coincida con f, start subscript, x, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, puedes despejar start color #0c7f99, a, end color #0c7f99 así:
Ponte a prueba: usa un razonamiento similar para averiguar cuánto deben valer las constantes start color #0d923f, b, end color #0d923f y start color #bc2612, c, end color #bc2612.
Ahora podemos escribir nuestra aproximación cuadrática en su forma final, con cada uno de sus seis términos trabajando en armonía para reproducir el comportamiento de f en left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
Ejemplo: aproximar la función sine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis
Para ver a esta bestia en acción, vamos a probarla en la función de la introdución.
Problema: encuentra la aproximación cuadrática de
alrededor del punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis.
Solución:
Para recopilar toda la información necesaria, necesitas evaluar f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis y todas sus derivadas parciales de primer y segundo orden en el punto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, right parenthesis.
¡Ya casi! Como último paso, usa todas estos valores en la fórmula para una aproximación cuadrática.
Así que por ejemplo, esta es la fórmula que escribí en el programa para graficar para generar la animación de las aproximaciones cuadráticas.
Notación vectorial mediante la matriz hessiana
Tal vez no sea necesario decir que la expresión para la aproximación cuadrática es larga. Ahora imagina que f tuviera tres entradas, x, y y z. En principio puedes imaginar cómo podría ser esto: sumar los términos que involucran a f, start subscript, z, end subscript, f, start subscript, x, z, end subscript, f, start subscript, z, z, end subscript, y así sucesivamente con las 3 derivadas parciales de primer orden y las 9 de segundo orden. ¡Pero esto sería una pesadilla!
Ahora imagínate que estuvieras escribiendo un programa para encontrar la aproximación cuadrática para una función con 100 entradas. ¡Una locura!
De hecho no tiene por qué ser tan malo. Cuando algo no es complicado en principio, no debe ser complicado en notación. Las aproximaciones cuadráticas son un poco complicadas, cierto, pero no son absurdas.
Al usar vectores y matrices, específicamente el gradiente y la matriz hessiana de f, podemos escribir la aproximación cuadrática Q, start subscript, f, end subscript de la siguiente manera:
Desglosemos la expresión:
- La start bold text, x, end bold text en negritas representa la(s) variable(s) de entrada como un vector,Por otra parte, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript es un vector particular en el espacio de entrada. Si esto tiene dos componentes, esta fórmula para Q, start subscript, f, end subscript solo es una forma diferente de escribir la que derivamos anteriormente, pero también podría representar un vector con cualquier otra dimensión.
- El producto punto del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se expandirá dentro de la suma como los términos f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, etcétera. Si esto no te resulta familiar de la notación vectorial para la linealización local, ¡hazlo tú mismo para el caso en 2 dimensiones!
- El superíndice T en la expresión left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript indica "transponer". Esto significa que tomas el vector inicial left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, que se ve así:Después lo volteas para obtener algo como esto:
- start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es la matriz hessiana de f.
- La expresión left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, start superscript, T, end superscript, start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis puede parecer complicada si nunca te has encontrado con ella anteriormente. Esta forma de expresar términos cuadráticos es en realidad una forma bastante común tanto en cálculo como en álgebra vectorial, así que vale la pena expandir una expresión como esta por lo menos unas cuantas veces en tu vida. Por ejemplo, trata de desarrollarla en el caso en que start bold text, x, end bold text es bidimensional para ver cómo se ve.Debes encontrar que es exactamente 2 veces la parte cuadrática de la fórmula en forma escalar que calculamos antes.
¿Cuál es el objetivo?
La verdad es un muy tedioso calcular a mano una aproximación cuadrática y tenemos que ser muy organizados para poder hacerlo sin equivocarnos. En la práctica, la gente rara vez calcula una aproximación cuadrática como lo hicimos arriba, pero saber cómo funcionan es muy útil por al menos dos grandes razones:
- Cálculos: incluso si nunca tienes que escribir una aproximación cuadrática, quizá algún día tengas que programar una computadora para que lo haga para alguna función en particular. O incluso si dependes del programa de alguien más, puede ser que tengas que analizar cómo y por qué la aproximación falla bajo alguna circunstancia.
- Teoría: ser capaces de hacer referencia a una aproximación de segundo orden nos ayuda a razonar sobre el comportamiento general de las funciones cerca de algún punto. Esto nos será de utilidad para determinar si ese punto es un máximo o un mínimo local.
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