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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 2: Aproximaciones cuadráticas
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Aproximaciones cuadráticas
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La matriz hessiana

Google Classroom
La hessiana es una matriz que organiza todas las derivadas parciales de segundo orden de una función.

Antecedentes:

La matriz hessiana

La "matriz hessiana" de una función multivariable f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, que diferentes autores la escriben como start bold text, H, end bold text, left parenthesis, f, right parenthesis, start bold text, H, end bold text, f o start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, organiza todas las derivadas parciales de segundo orden en una matriz:
Hf=[∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂x∂z⋯∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂y∂z⋯∂2f∂z∂x∂2f∂z∂y∂2f∂z2⋯⋮⋮⋮⋱]\textbf{H}f = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z}^2} & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
Entonces, dos cosas que hay que notar aquí son:
  • Este objeto matemático solo tiene sentido para funciones escalares.
  • Este objeto start bold text, H, end bold text, f no es una matriz ordinaria; es una matriz cuyas entradas son funciones. En otras palabras, está hecha para evaluarse en algún punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis.
    Hf(x0,y0,… )=[∂2f∂x2(x0,y0,… )∂2f∂x∂y(x0,y0,… )⋯∂2f∂y∂x(x0,y0,… )∂2f∂y2(x0,y0,… )⋯⋮⋮⋱]\textbf{H}f(x_0, y_0, \dots) = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
Como tal, puedes llamar al objeto start bold text, H, end bold text, f una función "matricial".
Otra cosa importante, la palabra "hessiano" algunas veces también se refiere al determinante de esta matriz, en lugar de a la propia matriz.

Ejemplo: calcular el hessiano

Problema: calcula la matriz hessiana de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 2, x, y, minus, y, start superscript, 6, end superscript en el punto left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis:
Solución: en última instancia, necesitamos todas las derivadas parciales de segundo orden de f, por lo que primero calculamos las de primer orden:
fx(x,y)=∂∂x(x3−2xy−y6)=3x2−2yfy(x,y)=∂∂y(x3−2xy−y6)=−2x−6y5\begin{aligned} \quad f_x(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (x^3 - 2xy - y^6) = 3x^2 - 2y \\\\ f_y(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (x^3 - 2xy - y^6) = -2x - 6y^5 \end{aligned}
Con estas, calculamos las cuatro derivadas parciales de segundo orden:
fxx(x,y)=∂∂x(3x2−2y)=6xfxy(x,y)=∂∂y(3x2−2y)=−2fyx(x,y)=∂∂x(−2x−6y5)=−2fyy(x,y)=∂∂y(−2x−6y5)=−30y4\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 2y) = 6x \\\\ f_{xy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y) = -2 \\\\ f_{yx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (-2x - 6y^5) = -2 \\\\ f_{yy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (-2x - 6y^5) = -30y^4 \end{aligned}
En este caso, la matriz hessiana es una matriz de 2, times, 2 con las funciones que calculamos como sus entradas:
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x−2−2−30y4]\textbf{H}f(x, y) = \left[ \begin{array}{cc} f_{xx}(x, y) & f_{yx}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6x & -2 \\ -2 & -30y^4 \end{array} \right]
Nos piden evaluar esto en el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, así que sustituimos estos valores:
Hf(1,2)=[6(1)−2−2−30(2)4]=[6−2−2−480]\textbf{H}f(1, 2) = \left[ \begin{array}{cc} 6(1) & -2 \\ -2 & -30(2)^4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right]
Ahora, el problema es ambiguo, ya que el "hessiano" se puede referir a la matriz o a su determinante. Lo que quieras depende del contexto. Por ejemplo, al optimizar funciones multivariables, hay algo que se llama el "criterio de la segunda derivada" que usa el determinante de la matriz hessiana. Cuando se usa el hessiano para aproximar funciones, debes usar la matriz.
Si lo que queremos es el determinante, esto es lo que obtenemos:
det([6−2−2−480])=6(−480)−(−2)(−2)=−2884\text{det}\left( \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right] \right) = 6(-480) - (-2)(-2) = -2884

Usos

Al capturar toda la información de la segunda derivada de una función multivariable, la matriz hessiana a menudo juega un papel análogo a la segunda derivada ordinaria en cálculo de una sola variable. De manera más notable, aparece en estos dos casos:

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