Ejemplo de aproximación cuadrática

donde nos quedamos en el último vídeo esta vamos aproximando una función efe de que depende de dos variables de entrada verdad y terminamos con esta expresión de aquí que parece muy monstruosa y debido esto es debido a que está escrita en su forma abstracta verdad de hecho se ve más monstruosa de lo que en realidad es así que haremos un ejemplo particular y sólo para recordar qué significa cada cosa q es nuestra aproximación cuadrática alrededor de x 0 y 0 verdad y este digamos es el término constante de nuestra aproximación es simplemente evaluar efe en el punto que nos interesa luego aquí tenemos los términos que son lineales verdad y son lineales porque estamos pensando en una constante multiplicada por x y otra constante multiplicada por y aunque ya sabemos por qué restamos x cero ig-0 en ambos en ambos términos verdad y luego tenemos todo esto de aquí que son los términos cuadráticas verdad y son cuadráticas porque aquí tenemos un exponente 2 aquí tenemos la multiplicación de x y aquí tenemos otro exponente 2 estamos pensando en las posibles multiplicaciones entre x y de verdad puede ser x x xx por ye yé porque es verdad así que ahora veamos un ejemplo muy concreto para que te des cuenta de que en realidad no es tan horrible como parece muy bien así que vamos a considerar esta función particular fx y igual a a a la x medios por el seno de y sólo para que quede claro esto es el seno de g muy bien entonces vamos a tratar de sacar toda esta información que nos pide la función q para poder expresar la aproximación cuadrática y por supuesto que lo primero que tenemos que hacer es definir un punto en donde alrededor del cual vamos a aproximar y vamos a considerar el punto cero y medios muy bien cero porque pues tenemos un exponente por aquí verdad entonces sea la 0 sería algo como 1 y pi medios porque podemos evaluar senodep y medios coseno de medios y todas las derivadas verdad entonces primero lo que lo que tenemos que hacer verdades es es calcular todas las derivadas parciales de f hasta digamos las segundas derivadas parciales verdad entonces vamos a bajar todo esto y calculamos primero la derivada con respecto de x de verdad en cualquier punto ahorita vamos a hacerlo en cualquier punto y entonces tenemos aquí este término a la equis medios esto es depende de y esto es una constante y al derivar respecto de x tenemos que derivar esto que es un medio ea la equis entre dos por la regla de la cadena verdad por el seno de y ahora si nosotros calculamos la derivada con respecto de y de esta expresión verdad entonces esto es ahora lo que es constante y esto depende de verdad entonces tendremos a la equis medios que es constante por la derivada del seno de iu coseno de muy bien ahora vamos a calcular las segundas derivadas parciales verdad entonces vamos a hacerlo con otro color y vamos a calcular la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces es decir tenemos que derivar esta expresión verdad entonces si derivamos esta expresión vemos que otra vez lo único que depende de x es esto verdad entonces tendremos que derivar esto y tendremos un cuarto verdad sería un medio por la derivada de x medio es verdad que sería entonces un cuarto por ea la x medios todo esto es por regla de la cadena y y es muy fácil concluir la verdad y bueno como esto es constante en realidad se queda aquí verdad multiplicando ahora tenemos la derivada de f con respecto a x y luego con respecto a iu y por supuesto como ya hemos dicho en realidad como esta función digamos es de las que casi siempre estamos considerando pues podemos invertir el orden verdad podría haber sido la derivada respecto de jay y luego con respecto de x pero vamos a hacer primero respecto de equis que ya lo tenemos calculado aquí y ahora vamos a derivar esto con respecto de y entonces esto es una constante y solo hay que derivar seno de ella entonces tendríamos un medio a la equis medios por la derivada del seno de jay que es co seno de iu muy bien y finalmente vamos a considerar la segunda derivada de f con respecto de ambas veces es decir vamos ahora a derivar esta expresión y como podemos ver lo único que depende de qué es esto entonces lo demás es una constante a la x medios verdad por la derivada del coseno de ye que es menos el seno de iu - el seno de iu bien y ahora vamos a ahora vamos a evaluar en el punto que hemos dicho verdad que es en el punto cero coma i bien vamos a evaluar en este punto vamos a hacerlo con color rojo entonces si nosotros evaluamos en 0 p medios aquí tendríamos a la 0 que es una verdad por el seno de pi medios que es 1 entonces uno por uno nos da 1 si ahora evaluamos esta derivada parcial con respecto a x en 0 y medios tendremos un medio por el acero que es 1 x senodep y medios que es uno entonces esto nos da justamente un medio verdad un medio por uno por uno si evaluamos ahora esto en cero y medios tendremos a la cero que es uno por el coseno depp y medios por el coseno depp y medios es cero entonces esto nos da cero muy bien ahora evaluamos esta segunda derivada en 0 y medios y tendremos un cuarto por el acero que es 1 por el seno de pi medios que es 1 entonces esto es sólo un cuarto ahora evaluamos esta segunda derivada parcial verdad en 0 y medios tendríamos un medio por el acero que es 1 por el coseno de cero y esto es 0 verdad coseno de 0 es cero entonces realmente no importa cuánto daba lo demás y ahora si evaluamos esta última en 0 y medios tendremos menos a la 0 que es 1 por el seno de 0 que también es 1 entonces en realidad al multiplicarlo nos da menos 1 muy bien ya que tenemos las seis constantes podemos escribir la expresión digamos la expresión de la aproximación cuadrática verdad entonces vamos a escribir esto aquí tendremos de xe y quizás vamos a tener que estar subiendo y bajando verdad entonces recuerden muy bien cuál es la expresión q de xy verdad es justamente esta expresión entonces tendremos que hacer efe luego los términos lineales y luego la parte cuadrática muy bien entonces q de x 2 quizás vamos a dejarlo por aquí q de que sería evaluar efe en el punto verdad que sería entonces 1 uno más la derivada parcial de f con respecto de x evaluada en el punto que es un medio verdad un medio por x menos en la coordenada x del punto que nos interesa que era 0 verdad luego sumamos la derivada con respecto de ya que es 0 0 que multiplica a menos de 0 que en este caso sería y medias verdades es la coordenada y del punto que nos interesa muy bien ahí tenemos los términos lineales y ahora vamos con los términos cuadra ticos entonces si recordamos los términos cuadra ticos es un medio por la segunda derivada de f verdad entonces vamos a poner un medio por la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces que es un cuarto un cuarto por x menos la coordenada x 0 que es 0 verdad esto elevado al cuadrado y nos faltan otros términos verdad nos falta el término cruzado qué es este la segunda derivada cruzada evaluada en el punto que nos da 0 pero aún así vamos a ponerlo 0 por x menos la coordenada del punto que nos interesa que es 0 verdad por qué menos la coordenada del punto que nos interesa que es para medios verdad ahí tenemos el término cruzado y finalmente nos falta el término donde derivamos a efe con respecto a ambas veces entonces sería un medio sería un medio por la segunda derivada de f respecto de ambas veces evaluada en el punto que es menos 1 que multiplica hay menos y medios y medios elevado esto al cuadrado muy bien entonces esta expresión todavía podríamos digamos simplificar la más verdad esto sería igual a 1 un medio por x que es x sobre 2 + 0 por lo que sea esto en realidad no importa esto es 0 verdad y luego tenemos un medio por un cuarto es un octavo de x cuadrada verdad x cuadradas sobre 8 porque aquí estamos restando de 0 y luego tenemos 0 por esta expresión que nos da 0 y finalmente tenemos un medio por menos 1 sería menos un medio que multiplica hay menos y medios elevado al cuadrado y entonces aquí tenemos justamente nuestra expresión de la aproximación cuadrática de la función f en el punto cero pin medios y podemos notar que a pesar de tener más términos en realidad es mucho más sencilla de estudiar que la función que teníamos originalmente verdad aquí tenemos la x en una exponencial y en una función trigonométricas y como podemos ver aquí simplemente tenemos un polinomio cuadrática verdad entonces esto por ejemplo para las computadoras es muy útil porque tienen los problemas a la hora de evaluar digamos los polinomios que las funciones exponenciales o trigonométricas verdad incluso para cuestiones teóricas es más fácil estudiar digamos polinomios verdad en este caso sería un polinomio cuadrática que la función original y ya veremos esto cuando estemos estudiando el criterio de la segunda derivada y sólo para dar una idea de qué significa esto pongamos las gráficas aquí tenemos la gráfica de la función original ea la equis entre dos por el seno de iu y el punto donde queremos aproximar que es x igual a cero y igual la pyme dios' entonces aquí vemos más o menos la orientación y tenemos la aproximación cuadrática verdad que tiene una gráfica que se de más o menos así como esta superficie blanca y si quitamos la gráfica original entonces aquí está la gráfica de la aproximación cubo y vemos que hace un muy buen trabajo verdad si nos alejamos mucho aún así se sigue pareciendo aunque no tenga la oscilación que le corresponde por el seno de verdad de la función original y tampoco tiene crecimiento exponencial d crecimiento cuadrática y como veremos más adelante esto es es una gran herramienta para estudiar las características cualitativas de la forma de la gráfica como el hecho de que se vea como una especie de silla de montar y antes de entrar en estos detalles en los próximos vídeos hablaré de una forma más simple y que se puede generalizar de cómo escribir la aproximación cuadrática usando la notación vectorial porque hasta ahora sólo nos hemos limitado a dos variables y bueno ya te imaginas cargas que que tan monstruoso se puede poner si tuviéramos tres variables de entrada donde tendríamos que considerar todas las derivadas parciales de una función de tres variables pero para suerte nuestra hay una forma muy simple de escribir todo esto bueno con esto dicho nos vemos en el próximo vídeo