Fórmula para la aproximación cuadrática (parte 1)

muy bien entonces lo que teníamos es que partíamos de una función efe que dependía de dos variables digamos x de verdad y ésta en realidad es una función escalar verdad toma valores escalares y entonces la idea que hemos estado desarrollando es tratar de aproximar esta función alrededor de un punto dado digamos x 0 10/0 verdad y hemos hablado de lo que es la línea lización local de nuestra función verdad n en esencia tenemos aquí la fórmula de cómo hacer la línea lización en abstracto verdad en realidad parece como una especie de bestia de fórmula pero pero una vez que la desmenuzadas no es tan aterradora y el objetivo de este vídeo será tratar de extender esta idea y literalmente será añadir términos a la fórmula para hallar una aproximación que ahora sea cuadrática esto es digamos empezaremos a utilizar términos que esencialmente tienen cosas como x cuadrada xy también pueden tener cosas como cuadrada verdad que en esencia son términos que tiene dos variables multiplicándose verdad aquí es x x x x x ye yé porque muy bien entonces si por ejemplo tratamos ahora digamos en principio de analizar nuestra función que nos define la línea lización local aquí podemos ver que tenemos un término constante aquí tenemos un término constante verdad que en esencia es nada más un número verdad es sólo evaluar la función en el punto que nos interesa acá tenemos también otro número que es evaluar la derivada parcial de f con respecto de x en el punto que nos interesaba y lo mismo ocurre de este lado laden esencia estos son sólo 3 es verdad así que la única parte variable es esta donde se encuentra xy donde se encuentra allí y lo he escrito de esta forma digamos abstracta para que veas lo que hay que digamos enchufar para cualquier función y para cualquier punto de entrada y poder encontrar su línea lización local alrededor de ese punto verdad entonces vamos a borrar por un momento esta parte de la digamos de esta parte cuadrática verdad y ya que hemos puesto la aproximación lineal entonces vamos a repasar sus propiedades y vamos a tratar o vamos a procurar que el que la aproximación cuadrática también tenga algunas de esas propiedades muy bien entonces la primera propiedad que podríamos tratar de ver es qué pasa si evaluamos nuestra función l en el punto x 0 10/0 bien vamos a tratar de evaluar esta función en el punto x 0 y es 0 y si nos damos cuenta en realidad pues por supuesto que tenemos f evaluada en x0 y es 0 porque en realidad esto es una constante verdad esto no depende ni de x ni de ella así que esto está fijo verdad pero si ahora sustituimos con x0 en esta parte verdad entonces este término se cancela y lo mismo pasa de este lado al sustituir con de cero verdad entonces estos términos se cancelan porque estos son los términos que sí tienen variables involucradas muy bien entonces aquí están la variable x y la variable y estos términos se cancelan y simplemente nos queda que la función l evaluada en el punto alrededor del cual queremos aproximar coincide con el valor de la función en ese mismo punto y esto es un hecho importante porque pues por supuesto si estamos pensando en la aproximación de una función pues es bueno que coincidan al menos en digamos con la función original en el punto de interés verdad ahora bien qué pasaría si nosotros queremos calcular la derivada parcial de l con respecto de x muy bien entonces si nosotros derivamos esta expresión con respecto de x vemos que como esto es constante que esto vale 0 al derivar con respecto de x y luego tenemos esta parte que es una constante y que multiplica a x menos x0 verdad entonces este término se involucra a x y al derivar lo simplemente nos quedamos con esta constante verdad es muy fácil de ver eso entonces vamos a tener efe la derivada parcial de f con respecto de x evaluada en el punto x 0 0 y al derivar esto con respecto de x nos da 1 y por eso sólo nos quedamos con esta constante y esto que tenemos aquí sólo depende de verdad todo esto depende sólo de ye así que en realidad esto al derivar lo con respecto de x nos da 0 verdad no tiene términos correspondientes a x entonces nos quedamos simplemente con esta este este término verdad resulta que la derivada parcial de l con respecto de x por supuesto evaluada en el punto x 0 10/0 coincide con la derivada parcial respecto de x de la función original en ese punto verdad y ojo no significa que coincida en todos lados sólo se da en este punto x 0 0 verdad y lo mismo ocurre con la derivada parcial de nuestra función l con respecto de y verdad esto simplemente será la derivada de f con respecto de y evaluada en el punto x 0 y es cero en el punto x 0 0 verdad y ahora para aproximar digamos con con términos cuadráticas a la función entonces vamos a copiar esta fórmula y esta fórmula y vamos a pegarla y vamos a pegarla más abajo muy bien aquí tenemos nuestra función verdad y ahora lo que vamos a hacer es agregarle términos muy bien vamos a agregarle términos cuadráticas verdad y por supuesto esos términos deben ser tal que coincidan con la información de las segundas derivadas parciales verdad al menos en el punto de interés así que en lugar de l vamos a ponerle otro nombre vamos a ponerle q porque esencialmente va a ser otra función y esta función q verdad será justamente el término constante el término lineal o más bien los términos lineales verdad y vamos a agregar otros otros términos digamos a equis cuadrada más b x x más c x cuadrada ok entonces con esto ya estamos agregando términos cuadrados y por supuesto faltaría determinar quienes a quienes ve y quién es el problema es que esto se complica al evaluar en el punto x 0 0 verdad porque por ejemplo si evaluamos en x 0 y es cero tenemos otro término constante que se les sumaría al a evaluada en el punto y esto ya no nos da esta propiedad de que al evaluar en el punto de interés coincida con evaluar la función f en el punto verdad ya tendríamos más términos entonces vamos a borrar esta expresión y vamos a hacer exactamente lo mismo que teníamos cuando hablábamos de la línea lización local verdad en lugar de poner x vamos a poner x menos x 0 x menos x 0 y por supuesto esto iba evaluado al cuadrado más otro término b que multiplica a x menos x0 por el término correspondiente ayer verdad que sería menos 10 0 muy bien de menos 10 0 y finalmente sumamos otra constante que multiplica a menos de 0 pero ahora esto va evaluado al cuadrado muy bien entonces este sí lo vemos así en realidad es una función enorme y estas tres constantes todavía no las hemos podido determinar verdad lo haremos tratando de que de que esta función cuba próxima en lo más cercano a la función original efe ahora bien la parte importante de poner digamos en los términos x menos x 0 o yemen o 70 es justamente para que al evaluar en el punto x 0 y 0 es decir poner x 0 aquí y espero acá verdad entonces al evaluar ahí todo esto se va a anular todos estos términos se van a anular y sólo nos quedaría efe evaluada en x 0 10/0 verdad eso eso era una bonita propiedad de la línea lización local que queremos que se extienda a la cuadrática y lo mismo pasará con las derivadas parciales aunque creo que eso ya lo veremos mejor en otro vídeo así que nos vemos luego