Fórmula para la aproximación cuadrática (parte 2)

en el último vídeo preparamos todo para definir la aproximación cuadrática de una función y a esta aproximación la hemos llamado q qué es una función verdad y de hecho esta es la aproximación de una función arbitraria a la cual hemos llamado f he visto nada más así esta fórmula se veje servía para brillante y en realidad si te das cuenta tenemos seis términos tenemos seis términos distintos aunque esencialmente los primeros tres los hemos tomado de la aproximación lineal verdad de la línea lización local de la función y lo escribimos de forma abstracta en realidad verdad y los siguientes tres verdad los siguientes tres términos son son los términos cuadra ticos pero los modificamos para que no hubiera ningún problema al evaluar en el punto x 0 y es cero por eso es que en lugar de x cuadrada aparece x menos x0 al cuadrado verdad aquí por ejemplo en vez de poner x porque pusimos x menos x 0 por ye menos de 0 y aquí en lugar de ye cuadrada pusimos ya menos de cero al cuadrado y todo esto es para que al evaluar en x 0 estos términos se anulen y al final tengamos que la función que coincide con la función f en el punto alrededor del cual estamos aproximando y la pregunta es cómo podríamos proponer a los términos a b y c verdad como proponer a estos coeficientes para que que aproxime muy bien a la función f muy bien entonces esto en fórmula significa lo siguiente en realidad lo que nosotros buscamos lo que nosotros queremos verdad es que la segunda derivada de la función q con respecto digamos a la variable x ambas veces verdad todo esto tiene que ir evaluado en el punto que nos interesa x0 y es cero verdad esto queremos que coincida con la segunda derivada de nuestra función f con respecto a x ambas veces y evaluadas nuevamente en el mismo punto x0 de cero esta es nuestra idea de que aproxime muy bien a la función que coincida en sus segundas derivadas parciales y por supuesto podríamos pensar no sólo en esta segunda derivada podríamos pensar en la segunda derivada de cv con respecto digamos primero con respecto a x y luego con respecto a y otra vez evaluada en el punto x 0 10/0 verdad y esto queremos que coincida con la segunda derivada de f con respecto de x y con respecto de después evaluada en el punto también x 0 10/0 y como recordarás en un principio las digamos al invertir el orden de las derivadas parciales podríamos podría tener valores distintos verdad podríamos tener otros valores pero típicamente para las funciones que estamos considerando siempre la segunda derivada con respecto de x y luego con respecto de y coincide con la segunda derivada primero con respecto de ye y luego con respecto de x verdad esto es para la mayor la digamos para la mayoría de las funciones con las que vamos a estar trabajando da lo mismo en qué orden estamos derivando entonces solo eso fue un recordatorio vamos a eliminarlo de aquí por un por ahora ok y finalmente entonces como coinciden las las dos digamos derivadas parciales cruzadas boots verdad como coinciden entonces pues puedo dar lo mismo poner primero respecto de de xy luego respecto de y al revés pero también queremos que la segunda derivada de q con respecto de ambas veces evaluada en el punto nuevamente que nos interesa que era x 0 y es cero coincide también con la segunda derivada de f con respecto a y ambas veces en el punto x 0 10/0 bien entonces queremos que en resumen queremos que todas las derivadas parciales de segundo orden de cv coincidan con las derivadas parciales de f muy bien entonces vamos a hacer que vamos a buscar a y b y c para que es la derivada con respecto de que coincida con las derivadas respecto de efe ambas de segundo orden vamos a vamos a eliminar digamos todo esto vamos a eliminar todo esto para hacernos espacio muy bien quizás no hay que olvidar que estamos evaluando en el punto que nos interesa verdad pero vamos a omitir lo por un momento muy bien entonces quizás debería también quitar esto para tener espacio muy bien entonces vamos a empezar a derivar para lo cual necesitamos fijarnos en nuestra función original verdad o más bien la función q que habíamos propuesto y esto será igual a derivar con respecto de x la derivada de q con respecto de x verdad entonces si derivamos esta expresión primero derivamos esta que es una constante entonces la derivada es cero verdad quizás vamos a quitar esa línea para que quede más claro y ahora si derivamos esta expresión en realidad vemos que es lineal con respecto de x y esto es una constante entonces en realidad sólo nos quedamos con esta constante que es la derivada de f con respecto de x evaluada en el punto x 0 y es cero y luego derivamos este término que si nos damos cuenta en realidad no hay ninguna equis así que tendremos cero verdad bueno vamos a quitar esto entonces tendremos ser y luego ahora vamos a derivar este siguiente término verdad aquí tendríamos esta constante a por la derivada de x x 0 al cuadrado entonces aquí tendremos dos veces a verdad por digamos pensemos la regla de la cadena es dos veces a por x menos x 0 - x 0 verdad ahí lo tenemos esta es la derivada de este término y ahora en este siguiente término tenemos que es lineal en x verdad pensamos ahí como una constante entonces sería b por la constante que menos de 0 x es la derivada de esto que es uno verdad entonces simplemente vamos a tener b de menos de cero de cero y finalmente nos damos cuenta que esto solo depende de ella así que al derivar con respecto de x nos da 0 verdad entonces simplemente tenemos que esto es la primera derivada de q con respecto de x y eso es lo que hay que derivar con respecto de x entonces si derivamos esto bueno por supuesto tenemos 0 la derivada de esto es 0 porque es una constante tenemos cero y ahora derivamos esto con respecto de x y simplemente nos da 2a verdad y si ahora derivamos esto con respecto de x pues nos da 0 porque aquí no hay ningún término que dependa de x entonces nuestra segunda derivada de q con respecto de x ambas veces en el punto x 0 y 0 es justamente 2a pero no olvidemos que es lo que nosotros queremos queremos que esta segunda derivada coincida con la segunda derivada de f verdad entonces lo que queremos es que esto sea igual es que esto sea igual a la segunda derivada de f con respecto de x ambas por supuesto quizás debería notarlo en la anotación simplificada esto es la segunda derivada de x evaluada en el punto x 0,70 muy bien entonces lo único que tenemos que hacer es despejar quien tendría que ser a verdad porque si hay queremos que 2a sea esta segunda derivada quiere decir que a es un medio de la segunda derivada de f con respecto de x ambas veces evaluado en el punto x 0 10/0 muy bien entonces ya tenemos quien tiene que ser a y esencialmente está relacionado con la segunda derivada de verdad esto es el valor de a muy bien entonces ahora lo que quiero es calcular la segunda derivada de q con respecto de x y luego con respecto de y verdad entonces quizás vamos a borrar esto de aquí esto de aquí muy bien y vamos a poner lo que queremos vamos a hacerlo todo encima do para no estar gastando más espacio entonces vamos a derivar primero respecto de xy luego respecto de yo quizás valdría la pena primero derivar esnal sí sí está bien vamos a hacer en este orden verdad entonces esto de aquí es lo que ya era la derivada con respecto de x así que ahora vamos a derivar con respecto de ya no con respecto de x verdad entonces derivamos con respecto de ye muy bien entonces si derivamos con respecto de otra vez esto es 0 la derivada de esto es 0 porque es una constante esto es 0 aquí no hay términos que dependan de verdad entonces aquí la derivada será cero así que sólo tenemos este término dependiente de g así que su derivada será simplemente ve muy bien así que ahora tendremos que la derivada no será 2a sino que será y esto no será 2a va a ser b y ahora recordemos a quien queremos que sea igual esta expresión verdad pues en este caso queremos que sea igual a la segunda derivada de f sí déjenme borrar esto en realidad queremos que sea igual a la segunda derivada de f pero primero con respecto de x y luego con respecto de y por supuesto como siempre evaluado en el punto x 0 10/0 verdad y entonces pues de aquí tenemos algo inmediato verdad porque entonces b tiene que ser esta segunda derivada parcial verdad aquí no tenemos que dividir ni nada me tendría que ser la segunda derivada de f con respecto de x y luego con respecto de y aunque ya sabemos que no importa el orden en general verdad entonces ya ya tenemos de terminada la segunda constante que nos faltaba y ahora necesitamos calcular quién tendría que ser la constante c y el razón en el razonamiento esencialmente es es simétrico al primer caso de cuando calcula vamos a lo único que vamos a hacer es que primero derivamos con respecto de ye y luego con respecto de ella así que te voy a dejar esto como un ejercicio sirve que que puedes fortalecer tus tus técnicas para derivar con respecto de iu y a lo que tienes que llegar es que nuestra constante c es igual a un medio de la segunda derivada de f con respecto de ambas veces evaluada en el punto x 0 10/0 muy bien este es el valor que nos interesa así que digamos cuando introduzcas estos tres valores en nuestra fórmula de aquí arribita que teníamos verdad en la función para q cuando pongamos a b y c como encontramos más entonces tendremos ya bien determinada en nuestra función q verdad entonces tendremos por ejemplo aquí nuestra parte constante luego tendremos los términos lineales y finalmente concluimos con los términos cuadráticas verdad que son 3 y si quieres adentrarte un poco más en en quizás en algunos ejemplos de cómo encontrar estas aproximaciones tengo un artículo de este tema pero cómo podemos darnos cuenta la notación se puede volver muy pesada por lo que quiero que trates de regresar a la idea geométrica si hacemos la aproximación cerca de un punto específico la aproximación cuadrática se ve como esta superficie que que si la cortamos en cualquier dirección se ve como una parábola y esto nos da una buena aproximación de la función original así que aunque haya mucha fórmula digamos creo que creo que la intuición final es la importante sólo estamos buscando una superficie que abrace muy bien a la gráfica bueno con esto dicho nos vemos en el próximo vídeo