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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 1: Planos tangentes y linealización local
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Planos tangentes y linealización local
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Linealización local

Google Classroom
Aprende cómo generalizar la idea de un plano tangente a una aproximación lineal de funciones escalares multivariables.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • La linealización local generaliza la idea de los planos tangentes a cualquier función multivariable. Aquí, simplemente hablaré acerca del caso de funciones escalares multivariables.
  • La idea es aproximar una función cerca de una de sus entradas con una función más sencilla que tenga el mismo valor que esa entrada, así como los mismos valores de las derivadas parciales.
  • Escrito con vectores, así es como se ve la función para aproximar:
    L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, dot, start overbrace, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start bold text, x, end bold text, start text, space, e, s, space, l, a, space, v, a, r, i, a, b, l, e, end text, end superscript
  • Esto se llama la linealización local de f cerca de start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.

Los planos tangentes como aproximaciones

En el artículo anterior, hablé acerca de encontrar el plano tangente a la gráfica de una función de dos variables.
Plano tangente. Perspectiva 1
La fórmula para el plano tangente acabó viéndose así.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)\begin{aligned} \quad T(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + {f_y(x_0, y_0)}(y-y_0) \end{aligned}
Esta función T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis a menudo tiene otro nombre: la "linearización local" de f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Puedes pensar acerca de esto como la función más sencilla que satisface dos propiedades:
  1. Tiene el mismo valor que f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
  2. Tiene las mismas derivadas parciales que f en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Como siempre en cálculo multivariable, es saludable contemplar un nuevo concepto sin confiar en la intuición gráfica. Eso no quiere decir que no debes tratar de pensar de manera visual. En vez de eso, intenta pensar solamente acerca del espacio de entrada, o piensa en una transformación relevante en lugar de la gráfica.
Fundamentalmente, una linealización local aproxima una función cerca de un punto con base en la información que obtienes de sus derivadas en ese punto.
En el caso de funciones con una entrada de dos variables y una salida escalar (es decir, no vectorial), esto se puede visualizar como el plano tangente. Sin embargo, con dimensiones superiores no tenemos este lujo visual, así que nos queda pensar acerca de ello como solo una aproximación.
En las aplicaciones del mundo real del cálculo multivariable, casi nunca te importa un plano real en el espacio. En cambio, podrías tener alguna función complicada como, yo que sé, la resistencia del aire sobre un paracaídas como una función de la velocidad y la orientación. Lidiar con la función real puede ser difícil o computacionalmente caro, así que es útil aproximarla con algo más sencillo, como una función lineal.

¿Qué quiero decir con "función lineal"?

Considera una función con una entrada multidimensional.
f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, comma, x, start subscript, 2, end subscript, comma, dots, comma, x, start subscript, n, end subscript, right parenthesis
Esta función se llama lineal si en su definición todas las coordenadas solo están multiplicadas por constantes y no les pasa nada más. Por ejemplo, podría verse así:
f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, comma, x, start subscript, 2, end subscript, comma, dots, comma, x, start subscript, n, end subscript, right parenthesis, equals, 2, x, start subscript, 1, end subscript, plus, 3, x, start subscript, 2, end subscript, plus, \@cdots, minus, 5, x, start subscript, n, end subscript
La historia completa de la linealidad es más profunda (por eso la existencia del campo de "álgebra lineal"), pero por ahora, esta idea será suficiente. Típicamente, en lugar de escribir la variable así, tratarías la entrada como un vector:
x=[x1x2⋮xn] \textbf{x} = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]
Y definirías la función al usar el producto punto:
f(x)=[23⋮−5]⋅x f(\textbf{x}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ \vdots \\ -5 \end{array} \right] \cdot \textbf{x}
Para los propósitos de este artículo, y de manera más general cuando estás hablando de linealización local, puedes agregarle una constante a esta expresión:
f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, c, end underbrace, start subscript, start text, A, l, g, u, n, a, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start overbrace, start bold text, v, end bold text, end overbrace, start superscript, start text, A, l, g, u, with, \', on top, n, space, v, e, c, t, o, r, end text, end superscript, dot, start bold text, x, end bold text
Si quisieras ser más pedante, esta ya no es una función lineal. Es lo que se llama una función "afín". Pero la mayor parte de las personas dirían, "lo que sea, básicamente es lineal".

Linealización local

Ahora, supón que tu función f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis no tiene el lujo de ser lineal. (La "start bold text, x, end bold text" en negritas sigue representando un vector multidimensional). Podría estar definida por alguna expresión loca más salvaje que un producto punto.
La idea de una linealización local es aproximar esta función cerca de algún valor de entrada en particular, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, con una función que sea lineal. Específicamente, aquí está como se ve nuestra nueva función:
L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, dot, start overbrace, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start bold text, x, end bold text, start text, space, e, s, space, l, a, space, v, a, r, i, a, b, l, e, end text, end superscript
  • Observa que al sustituir start bold text, x, end bold text, equals, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, puedes ver que las dos funciones f y L, start subscript, f, end subscript tendrán el mismo valor en la entrada start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.
  • El vector al que se le hace producto punto con la variable start bold text, x, end bold text es el gradiente de f en la entrada especificada, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Esto asegura que las dos funciones f y L, start subscript, f, end subscript tendrán el mismo gradiente en el punto especificado. En otras palabras, toda la información de sus derivadas parciales será la misma.
Pienso que la mejor forma de entender esta fórmula es básicamente derivarla por ti mismo en el contexto de una función en específico.

Ejemplo 1: encuentra la linealización local

Problema: tienes una función:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, z, e, start superscript, x, squared, minus, y, cubed, end superscript
Encuentra una función lineal L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis tal que el valor de L, start subscript, f, end subscript y todas sus derivadas parciales coincidan con las de f en el siguiente punto:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis
Paso 1: evalúa f en el punto escogido
f, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis, equals

Paso 2: usa esto para empezar a escribir tu función. ¿Cuál de las siguientes funciones está garantizada que será igual a f en la entrada left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:
Para ambas, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #e84d39, b, end color #e84d39 y start color #1fab54, c, end color #1fab54 son constantes arbitrarias.

Las derivadas parciales de L, start subscript, f, end subscript, como las has escrito hasta ahora, son precisamente estas constantes start color #11accd, a, end color #11accd, start color #0d923f, b, end color #0d923f y start color #e84d39, c, end color #e84d39. Así que para forzar que nuestra función tenga la misma información de las derivadas parciales que f en el punto left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis, solo necesitamos hacer estas constantes iguales a las derivadas parciales correspondientes de f en este punto.
Paso 3: calcula cada derivada parcial de f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, z, e, start superscript, x, squared, minus, y, cubed, end superscript
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals
f, start subscript, z, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals

Ahora evaluamos cada una de estas en left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis.
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis, equals
f, start subscript, z, end subscript, left parenthesis, 8, comma, 4, comma, 3, right parenthesis, equals

Paso 4: reemplaza las constantes start color #11accd, a, end color #11accd, start color #0d923f, b, end color #0d923f y start color #e84d39, c, end color #e84d39 en la expresión de L, start subscript, f, end subscript con estos valores de las derivadas parciales. ¿Qué obtienes?
L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals

Ahora observa cómo se ve si lo escribes en notación vectorial.
Solo es una forma específica de la fórmula general mostrada arriba.
L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, dot, start overbrace, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start bold text, x, end bold text, start text, space, e, s, space, l, a, space, v, a, r, i, a, b, l, e, end text, end superscript

Ejemplo 2: utiliza la linealización local para estimar

El ejemplo que sigue de ninguna manera es una aplicación práctica, pero trabajar en él nos ayudará a adquirir intuición de lo que la linealización local hace.
Problema: supón que estás en una isla desierta sin calculadora, y necesitas estimar square root of, 2, point, 01, plus, square root of, 0, point, 99, plus, square root of, 9, point, 01, end square root, end square root, end square root. ¿Cómo lo harías?
Solución:
Podemos ver este problema como el equivalente a evaluar cierta función de tres variables en el punto left parenthesis, 2, point, 01, comma, 0, point, 99, comma, 9, point, 01, right parenthesis, es decir
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, square root of, x, plus, square root of, y, plus, square root of, z, end square root, end square root, end square root
No sé tú, pero yo no estoy seguro de cómo evaluar raíces cuadradas a mano. ¡Si tan solo esta función fuera lineal! Entonces resolver el problema a mano solo involucraría sumar y multiplicar números. Lo que podemos hacer es encontrar la linealización local cerca de un punto en el que sea fácil evaluar f. Entonces nos acercaremos a la respuesta correcta evaluando la linealización en el punto left parenthesis, 2, point, 01, comma, 0, point, 99, comma, 9, point, 01, right parenthesis.
El punto que nos importa está muy cerca de left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 9, right parenthesis, por lo que encontraremos la linealización local de f cerca de ese punto. Como antes, debemos determinar
  • f, left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 9, right parenthesis
  • Todas las derivadas parciales de f en left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 9, right parenthesis
La primera de estas es
f(2,1,9)=2+1+9=2+1+3=2+4=2+2=4=2\begin{aligned} \quad f(2, 1, 9) &= \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{1 + 3}} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{4}} \\ &= \sqrt{2+2} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned}
Parece que alguien eligió unos valores de entrada convenientes, ¿no?
Ahora sobre las derivadas parciales (fuerte suspiro). Ya que las raíces cuadradas son abundantes, primero escribamos la derivada de square root of, x, end square root.
ddxx=ddxx12=12x−12=12x\begin{aligned} \quad \dfrac{d}{dx} \sqrt{x} &= \dfrac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}
Muy bien; aquí vamos. La derivada parcial más simple es f, start subscript, x, end subscript
fx=∂∂xx+y+z=12x+y+z\begin{aligned} \quad f_x &= \dfrac{\partial }{\partial \blueD{x}} \sqrt{\blueD{x} + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{\blueD{x} + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \\ \end{aligned}
Ya que y está anidada, f, start subscript, y, end subscript requiere algo de acción de la regla de la cadena:
fy=∂∂yx+y+z=12x+y+z⋅12y+z\begin{aligned} \quad f_y &= \dfrac{\partial }{\partial \redD{y}} \sqrt{x + \sqrt{\redD{y} + \sqrt{z}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{\redD{y} + \sqrt{z}}}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\redD{y} + \sqrt{z}}} \\ \end{aligned}
Todavía más anidada, esa z escurridiza requiere dos iteraciones de la regla de la cadena:
fz=∂∂zx+y+z=12x+y+z⋅12y+z⋅12z\begin{aligned} \quad f_z &= \dfrac{\partial }{\partial \greenD{z}} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{\greenD{z}}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{\greenD{z}}}}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y + \sqrt{\greenD{z}}}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\greenD{z}}} \end{aligned}
A continuación, hay que evaluar cada una en left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 9, right parenthesis. Esto puede parecer demasiado, pero todas están hechas de las mismas tres componentes básicas:
12x+y+z=122+1+9=122+2=1412y+z=121+9=124=1412z=129=16\begin{aligned} \quad \dfrac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} &= \dfrac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt{1+\sqrt9}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2+2}} = \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{2\sqrt{y + \sqrt{z}}} &= \dfrac{1}{2\sqrt{1 + \sqrt{9}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{2\sqrt{z}} &= \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6} \\ \end{aligned}
Sustituyendo estos valores en nuestras expresiones para las derivadas parciales, tenemos
fx(2,1,9)=14fy(2,1,9)=14⋅14=116fz(2,1,9)=14⋅14⋅16=196\begin{aligned} \quad f_x(2, 1, 9) &= \blueD{\dfrac{1}{4}} \\ \\ f_y(2, 1, 9) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \redD{\dfrac{1}{16}} \\ \\ f_z(2, 1, 9) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \greenD{\dfrac{1}{96}}\\ \end{aligned}
Desentrañando la fórmula para la linealización local,
Lf(x)=f(x0)+∇f(x0)⋅(x−x0)=f(x0)+fx(x0)(x−x0)+fy(x0)(y−y0)+fz(x0)(z−z0)=2+14(x−2)+116(y−1)+196(z−9)\begin{aligned} \quad L_f(\textbf{x}) &= f(\textbf{x}_0) + \nabla f(\textbf{x}_0) \cdot (\textbf{x} - \textbf{x}_0) \\ \\ &= f(\textbf{x}_0) + \blueD{f_x(\textbf{x}_0)(x - x_0)} + \redD{f_y(\textbf{x}_0)}(y - y_0) + \greenD{f_z(\textbf{x}_0)}(z - z_0) \\ \\ &= \boxed{ 2 + \blueD{\dfrac{1}{4}}(x - 2) + \redD{\dfrac{1}{16}}(y - 1) + \greenD{\dfrac{1}{96}}(z - 9) } \end{aligned}
Por último, después de todo este trabajo, podemos sustituir left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, point, 01, comma, 0, point, 99, comma, 9, point, 01, right parenthesis para calcular nuestra aproximación
2+14(2.01−2)+116(0.99−1)+196(9.01−9)=2+0.014+−0.0116+0.0196\begin{aligned} \quad &\quad 2 + \dfrac{1}{4}(2.01 - 2) + \dfrac{1}{16}(0.99 - 1) + \dfrac{1}{96}(9.01 - 9) \\ &\\ &= 2 + \dfrac{0.01}{4} + \dfrac{-0.01}{16} + \dfrac{0.01}{96} \end{aligned}
Determinar esto a mano sigue sin ser fácil, pero al menos se puede. Cuando lo logras, la respuesta es
start box, 2, point, 001979, end box
Si hubiéramos usado una calculadora, la respuesta sería
square root of, 2, point, 01, plus, square root of, 0, point, 99, plus, square root of, 9, point, 01, end square root, end square root, end square root, approximately equals, start box, 2, point, 001978, end box
¡Nuestra aproximación es muy buena!

¿Por qué nos importa?

Aunque no es común encontrarnos estimando raíces cuadradas en islas desiertas (al menos de donde soy), lo que sí es común en el contexto de las matemáticas y la ingeniería es luchar con funciones complicadas pero diferenciables. La frase "tan solo linealízala" es dicha tanto que no saber qué significa puede ser vergonzoso.
Recuerda: una linealización local aproxima una función cerca de un punto con base en la información que podemos obtener de sus derivadas en este. Aunque podemos usar una computadora para evaluar funciones, no siempre es suficiente.
  • Tal vez necesites evaluarla miles de veces por segundo, y trabajar con su forma completa tome demasiado tiempo.
  • Tal vez ni siquiera conoces la función de forma explícita, y solo tienes unas cuantas mediciones cerca del punto que deseas extrapolar.
  • A veces lo que te importa es la función inversa, que puede ser difícil o incluso imposible de encontrar para la función completa, mientras que invertir una función lineal es relativamente sencillo.

Resumen

  • La linealización local generaliza la idea de los planos tangentes a cualquier función multivariable.
  • La idea es aproximar una función cerca de una de sus entradas con una función más sencilla que tenga el mismo valor que esa entrada, así como los mismos valores de las derivadas parciales.
  • Escrito con vectores, así es como se ve la función para aproximar:
    L, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, equals, start underbrace, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, V, e, c, t, o, r, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, dot, start overbrace, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start bold text, x, end bold text, start text, space, e, s, space, l, a, space, v, a, r, i, a, b, l, e, end text, end superscript
  • Esto se llama la linealización local de f cerca de start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.

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