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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 1: Planos tangentes y linealización local
Matemáticas
Cálculo multivariable
Aplicaciones de las derivadas multivariables
Planos tangentes y linealización local
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Planos tangentes

Google Classroom
Así como la derivada de una sola variable se puede usar para encontrar las rectas tangentes a una curva, las derivadas parciales se pueden usar para encontrar el plano tangente a una superficie.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Un plano tangente a una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
  • La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se ve así:
    T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, y, end color #bc2612, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

La tarea inmediata

Piensa acerca de una función escalar con una entrada con dos coordenadas, como esta:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, squared, minus, y, squared, plus, 3
De manera intuitiva, es común visualizar una función como esta con su gráfica tridimensional.
Recuerda que puedes describir esta gráfica de manera más técnica al describirla como un cierto conjunto de puntos en el espacio tridimensional. Específicamente, son todos los puntos que se ven así:
left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, comma, y, comma, minus, x, squared, minus, y, squared, plus, 3, right parenthesis
Aquí, x y y pueden estar en todos los números reales.
Un plano tangente a esta gráfica es un plano que es tangente a la gráfica. Mmh, esa no es una buena definición. Esto es difícil de describir con palabras, así que simplemente voy a mostrar un video con varios planos tangentes diferentes.
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Pregunta clave: ¿cómo encuentras una ecuación que represente al plano tangente a la gráfica de la función en un punto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis en el espacio tridimensional?

Representar los planos como gráficas

Bueno, en primer lugar, ¿qué funciones g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis tienen gráficas que se ven como planos?
Un plano que pasa por (2, 2, 2)
Un plano que pasa por (2, 2, 2)
La pendiente de un plano en cualquier dirección es constante sobre todos los valores de entrada, así que ambas derivadas parciales g, start subscript, x, end subscript y g, start subscript, y, end subscript tendrían que ser constantes. Las funciones con derivadas parciales constantes se ven así:
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, a, x, plus, b, y, plus, c
Aquí, a, b y c son constantes. Estas se llaman funciones lineales. Bueno, técnicamente, son funciones afines ya que las funciones lineales deben pasar por el origen, pero es común llamarlas funciones lineales de todos modos.
Pregunta: ¿cómo puedes garantizar que la gráfica de una función lineal pase por un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el espacio?
Una manera limpia de lograrlo es escribir la función lineal como
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start color #e84d39, b, end color #e84d39, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, z, start subscript, 0, end subscript
Verificación de conceptos: con g definida de esta manera, calcula g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Escoge 1 respuesta:

Escribir g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis de esta manera hace claro que g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, z, start subscript, 0, end subscript. Esto garantiza que la gráfica de g debe pasar por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Las otras constantes start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39 pueden ser cualquier valor que queramos. Diferentes opciones de start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39 resultan en diferentes planos que pasan por el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. El siguiente video muestra cómo cambian esos planos a medida que ajustamos start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39:
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La ecuación de un plano tangente

Regresemos a la tarea que tenemos entre manos. Queremos una función T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que represente un plano tangente a la gráfica de alguna función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, por lo que sustituimos f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis para z, start subscript, 0, end subscript en la ecuación general del plano.
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start color #0d923f, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, plus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start color #bc2612, b, end color #bc2612, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
A medida que ajustas los valores de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99 y start color #bc2612, b, end color #bc2612, esta ecuación dará varios planos que pasan por la gráfica de f en el punto deseado, pero solo uno de ellos va a ser un plano tangente.
De todos los planos que pasan por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, aquel tangente a la gráfica de f tendrá las mismas derivadas parciales que f. Gratamente, las derivadas parciales de nuestra función lineal están dadas por las constantes a y b.
  • ¡iInténtalo! Toma las derivadas parciales de la ecuación para la expresión T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Por lo tanto, hacer start color #0c7f99, a, equals, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 y start color #bc2612, b, equals, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 garantizará que las derivadas parciales de nuestra función lineal T coincidan con las derivadas parciales de f. Bueno, por lo menos van a coincidir para la entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, pero ese es el único punto que nos importa. Al poner todo esto junto, obtenemos una fórmula útil para el plano tangente.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)\begin{aligned} \quad \large T(x, y) = \greenE{f(x_0, y_0)} + \blueE{f_x(x_0, y_0)}(x-x_0) + \redE{f_y(x_0, y_0)}(y-y_0) \end{aligned}

Ejemplo: encontrar el plano tangente

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Problema:
Dada la función
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis,
encuentra la ecuación para el plano tangente a la gráfica de f en el punto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis.
El plano tangente tendrá la forma
T(x,y)=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+f(x0,y0)\begin{aligned} \quad T(x, y) = {f_x(x_0, y_0)}(x-x_0) + {f_y(x_0, y_0)}(y-y_0) + f(x_0, y_0) \end{aligned}
Paso 1: encuentra las dos derivadas parciales de f.
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Paso 2: evalúa la función f y las dos derivadas parciales en el punto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis:
f, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals

Al sustituir estos tres números en la ecuación general para un plano tangente, puedes obtener la respuesta final:
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Resumen

  • Un plano tangente a una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
  • La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se ve así:
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, y, end color #bc2612, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

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