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Cálculo multivariable
Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3
Lección 1: Planos tangentes y linealización localPlanos tangentes
Así como la derivada de una sola variable se puede usar para encontrar las rectas tangentes a una curva, las derivadas parciales se pueden usar para encontrar el plano tangente a una superficie.
Antecedentes
Qué vamos a construir
- Un plano tangente a una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
- La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se ve así:
La tarea inmediata
Piensa acerca de una función escalar con una entrada con dos coordenadas, como esta:
De manera intuitiva, es común visualizar una función como esta con su gráfica tridimensional.
Recuerda que puedes describir esta gráfica de manera más técnica al describirla como un cierto conjunto de puntos en el espacio tridimensional. Específicamente, son todos los puntos que se ven así:
Aquí, x y y pueden estar en todos los números reales.
Un plano tangente a esta gráfica es un plano que es tangente a la gráfica. Mmh, esa no es una buena definición. Esto es difícil de describir con palabras, así que simplemente voy a mostrar un video con varios planos tangentes diferentes.
Pregunta clave: ¿cómo encuentras una ecuación que represente al plano tangente a la gráfica de la función en un punto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis en el espacio tridimensional?
Representar los planos como gráficas
Bueno, en primer lugar, ¿qué funciones g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis tienen gráficas que se ven como planos?
La pendiente de un plano en cualquier dirección es constante sobre todos los valores de entrada, así que ambas derivadas parciales g, start subscript, x, end subscript y g, start subscript, y, end subscript tendrían que ser constantes. Las funciones con derivadas parciales constantes se ven así:
Aquí, a, b y c son constantes. Estas se llaman funciones lineales. Bueno, técnicamente, son funciones afines ya que las funciones lineales deben pasar por el origen, pero es común llamarlas funciones lineales de todos modos.
Pregunta: ¿cómo puedes garantizar que la gráfica de una función lineal pase por un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el espacio?
Una manera limpia de lograrlo es escribir la función lineal como
Verificación de conceptos: con g definida de esta manera, calcula g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Escribir g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis de esta manera hace claro que g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, z, start subscript, 0, end subscript. Esto garantiza que la gráfica de g debe pasar por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
Las otras constantes start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39 pueden ser cualquier valor que queramos. Diferentes opciones de start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39 resultan en diferentes planos que pasan por el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. El siguiente video muestra cómo cambian esos planos a medida que ajustamos start color #11accd, a, end color #11accd y start color #e84d39, b, end color #e84d39:
La ecuación de un plano tangente
Regresemos a la tarea que tenemos entre manos. Queremos una función T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que represente un plano tangente a la gráfica de alguna función f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, por lo que sustituimos f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis para z, start subscript, 0, end subscript en la ecuación general del plano.
A medida que ajustas los valores de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99 y start color #bc2612, b, end color #bc2612, esta ecuación dará varios planos que pasan por la gráfica de f en el punto deseado, pero solo uno de ellos va a ser un plano tangente.
De todos los planos que pasan por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, aquel tangente a la gráfica de f tendrá las mismas derivadas parciales que f. Gratamente, las derivadas parciales de nuestra función lineal están dadas por las constantes a y b.
- ¡iInténtalo! Toma las derivadas parciales de la ecuación para la expresión T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Por lo tanto, hacer start color #0c7f99, a, equals, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 y start color #bc2612, b, equals, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 garantizará que las derivadas parciales de nuestra función lineal T coincidan con las derivadas parciales de f. Bueno, por lo menos van a coincidir para la entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, pero ese es el único punto que nos importa. Al poner todo esto junto, obtenemos una fórmula útil para el plano tangente.
Ejemplo: encontrar el plano tangente
Problema:
Dada la función
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis,
encuentra la ecuación para el plano tangente a la gráfica de f en el punto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis.
El plano tangente tendrá la forma
Paso 1: encuentra las dos derivadas parciales de f.
Paso 2: evalúa la función f y las dos derivadas parciales en el punto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis:
Al sustituir estos tres números en la ecuación general para un plano tangente, puedes obtener la respuesta final:
Resumen
- Un plano tangente a una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es, bueno, un plano que es tangente a su gráfica.
- La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en un punto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se ve así:
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- hola agradezco este contenido pero tengo una duda, ¿como hallo un plano tangente a 3 puntos específicos? gracias.(0 votos)
- Un plano también se puede sacar con 2 vectores, por lo que v = P1 - P2 y w = P1 - P3, siendo vectores contenidos en el mismo plano, son útiles para sacar el plano deseado.(1 voto)