Calcular un plano tangente

en el último vídeo hablábamos de cómo definir una función cuya gráfica sea un plano y principalmente que pasará por un punto ya dado verdad y su orientación también pudiera digamos especificarse en términos de algunas derivadas parciales vamos a repasar la conclusión del vídeo anterior pero ahora vamos a hacerlo en términos más abstractos muy bien entonces nosotros queríamos una función l que dependiera de dos variables x g y como necesitábamos un punto por donde pasar a este plano pues necesitamos el punto x 0 10/0 z 0 este digamos un punto dado en el espacio verdad entonces la ecuación de este plano era una constante que después podríamos determinar la verdad que multiplica a x menos x 0 x 0 y luego sumamos b que multiplica menos el punto o bueno la coordenada de 0 de nuestro punto dado verdad y finalmente sumamos z 0 se está a cero y este último digamos lo sumamos porque es lo que queremos que nos digamos que es el valor que queremos que tenga esta función l al evaluar en x 0 y 0 verdad y eso nos da justamente z 0 ahora bien en las constantes a y b en realidad están determinadas por las derivadas parciales de nuestra función l verdad en este caso pensamos que la derivada parcial de l respecto de x es ay es constante y la derivada parcial de l con respecto de ye también es constante y es b verdad y como dijimos al ponerse está 0 al final estamos garantizando que la gráfica de esta función l que es el plano exactamente pasa por el punto x 00 cet a 0 muy bien dicho esto veamos cómo hallar el plano tangente a la gráfica entonces este punto se determina exactamente con dos números nada más necesitamos la coordenada x que es aproximadamente 1 así que vamos a ponerlo aquí 1 y también tenemos la coordenada jay que más o menos de aquí se ve que es menos 2 entonces tendremos menos 2 ahora bien el tercer la tercera coordenada se calcula evaluando la función en este punto verdad evaluando en este punto es decir es la altura que vamos a tener sobre esta gráfica verdad y quizás sea bueno poner aquí exactamente qué funciona estamos considerando para este ejemplo tenemos la función fx igual a 3 menos un tercio de x cuadrada menos de cuadrada esta es la función que estamos considerando para este vídeo muy bien entonces si nosotros queremos escribir la ecuación del plano para este ejemplo pues necesitamos simplemente poner el de x de verdad igual a que es una constante que vamos a determinar en unos momentos que multiplica a x menos la coordenada x 0 que es 1 uno muy bien más ve que todavía falta determinarlo por lo menos la coordenada de cero que en este caso es menos dos menos -2 verdad más efe de x 0 0 muy bien entonces vamos a evaluar esto si nosotros evaluamos la función en uno como menos dos tendríamos tres menos un tercio por uno al cuadrado por uno al cuadrado menos menos dos al cuadrado muy bien entonces esto sería igual a tres menos un tercio menos cuatro entonces tres menos cuatro nos da menos uno y menos uno menos un tercio son menos cuatro tercios así que aquí al final podríamos poner menos cuatro tercios y llevamos digamos a separar esto ahora la idea del plano tangente es que estas constantes a ive verdad que en esencia son las derivadas parciales de l tengan que coincidir con las derivadas parciales d la función original verdad así que si regresamos a la gráfica y pensamos en la información de las derivadas parciales verdad si buscamos por ejemplo la derivada parcial de f con respecto de x e imaginamos que nos estamos moviendo en la dirección x justamente entonces tenemos una rebanada que intersecta a la gráfica en una curva y la derivada parcial de la función f con respecto de x nos dice la pendiente de la línea en ese punto y queremos además que el plano tangente tenga la misma pendiente cuando esté por ahí verdad entonces podríamos es simplemente escribir verdad vamos a poner esto un poquito más abajo podríamos escribir que queremos que sea la derivada parcial de nuestra función f con respecto de x pero evaluada en el punto que nos interesa que en este caso es 1,221 coma menos 2 y de forma análoga podríamos calcular nuestra constante ve muy bien en realidad podríamos pensar que ahora inter secamos con este plano en la dirección digamos y aquí la pendiente es mucho más pronunciada que en el caso anterior verdad y al ver el plano tangente verdad esto intersec aa la rebanada que habíamos construido en una recta con la misma pendiente verdad entonces vamos a poner que b sea esa misma pendiente de la que de la que hablábamos que es la derivada parcial de f con respecto de g y por supuesto esto evaluado en 1,22 uno coma menos dos entonces vamos a dejar un poco más de espacio solo que vamos a copiar esta función vamos a copiarla justamente hasta abajo muy bien entonces vamos a hacernos más espacio y la pondremos por aquí muy bien entonces vamos a continuar con todo esto y ahora vamos a calcularlo exactamente muy bien entonces la derivada parcial de nuestra función f con respecto de x evaluada bueno luego le evaluamos mejor simplemente derivamos aquí verdad si nos damos cuenta lo que depende de x sólo está aquí entonces tendríamos que derivar esto y sería menos dos tercios de equis pero ahora lo que tenemos que hacer es evaluar en x igual a 1 cierto entonces si evaluamos en x igual a 1 esto no esto nos da menos dos tercios y de forma similar qué pasa si calculamos la derivada parcial de f con respecto de y pues aquí vemos que esto es lo único que depende de ella es menos ye cuadrada y al derivar lo nos da menos 2 muy bien entonces por supuesto a la hora de evaluar en e igual a menos 2 tendríamos menos que multiplica a menos 2 que multiplica a menos 2 y entonces menos 2 x menos 2 simplemente nos da 4 verdad entonces si queremos escribir la fórmula de la de la función cuya gráfica sea el plano tangente tendríamos que sustituir a x menos dos tercios y tendríamos que sustituir a b por 4 muy bien entonces de esta forma tendríamos aquí la fórmula de la función cuya gráfica es el plano tangente a la gráfica de verdad que teníamos originalmente en el punto que nos interesaba y esto en principio se ve como como si fuera demasiada información verdad necesitamos el punto uno coma menos dos verdad tendríamos también que calcular cuánto vale la función en ese punto que es menos cuatro tercios y después necesitamos ambas derivadas parciales evaluadas en ese punto pero a pesar de todo no no hay tantas cosas que tengamos que recordar para calcular esto viendo la gráfica esto tiene bastante sentido porque el punto 12 es en realidad el punto en donde queremos evaluar todo verdad y al evaluar este punto bajo la función nos indica la tercera coordenada que esencialmente nos colocará sobre la gráfica verdad y luego para obtener el plano tangente necesitamos especificar la información de las derivadas parciales y eso nos dice cómo tiene que orientarse la gráfica y una vez que comienzas a pensar geométricamente aunque de verdad necesites esos cinco números al menos se siente como que no podrías aparte de ellos verdad más o menos uno tiene idea de qué es lo que tienes que conseguir verdad necesitamos esos números porque de otra forma no podríamos especificar al plano tangente bueno dicho esto pues nos vemos en el próximo vídeo