Linealización local

en los últimos vídeos demostré cómo tomar una función digamos efe que depende de dos variables x verdad dos variables de entrada y tomamos una función para poder hallar el plano tangente a la gráfica de esta función en un punto dado verdad y la forma en la que pensamos esto es considerando un punto arbitrario x0 y espero que se encuentre en el espacio de entradas y ahora tenemos que evaluar la función en este punto para saber cuál es la altura a la que nos encontramos sobre la gráfica y el punto era tratar de construir una función l que depende de quién eran la función original verdad que también tuviera dos variables de entrada verdad y esta función esencialmente lo que quiere es tratar de de ser aquella que su gráfica sea el plano tangente a la gráfica en el punto que nos interesa por hadas ese era el objetivo ya todo este método también se le conoce de la siguiente forma se le conoce como línea lización finalización local y quizás vale la pena decir que significa cada una de estas cosas por ejemplo la palabra local significa que en realidad nos estamos fijando en los alrededores de un punto de entrada específico que aquí hemos denotado como x0 10 0 y por otro lado la palabra línea lización verdad en realidad lo que nos está diciendo es que estamos aproximando la función con otra función que es lineal y es mucho más simple y aunque en realidad hemos estado hablando de planos tangentes en realidad esto es una muy buena forma de aproximar una función que podría ser muy complicada en principio con digamos una que sea mucho más fácil de entender ahora bien el objetivo de este vídeo será escribir la línea lización en forma vectorial por supuesto que esta forma es mucho más compacta y más general así que recordemos cómo calculamos nuestra función l efe ok entonces esta función lf en realidad la calcula vamos tomando la derivada parcial de f con respecto de xy evaluamos en el punto que nos interesa x 0 10/0 y luego multiplicamos por la variable x menos la coordenada x 0 de nuestro punto que conocemos luego sumamos la derivada parcial de f con respecto de y evaluábamos también en el punto x 0 10/0 y multiplicamos por ye menos la segunda coordenada del punto que conocemos que es 10 0 muy bien entonces esto es digamos la parte que es lineal de nuestra función y la razón por la cual ponemos estos dos factores x menos x 0 menos de 0 es porque a la hora de evaluarlos en el punto x 0 y es cero estos dos términos se cancelan verdad entonces si estos dos se cancelan lo único que necesitamos agregar es efe evaluada en x0 de 0 entonces cuando evaluamos todo esto en x 0 y es cero estos términos se cancelan y simplemente nos queda el valor de la función en el punto que nos interesaba lo cual nos dice que estas dos funciones efe y lf coinciden en ese punto ahora aquí es buen momento para decir a qué nos referimos con que la función sea lineal y en realidad tiene una formulación muy precisa especialmente cuando estamos en un curso de álgebra lineal y en realidad esto que tenemos aquí no es una función lineal en un estricto sentido verdad digamos en el sentido técnico pero la gente llama a esta a esta función que es lineal porque el término x que por ejemplo se encuentra aquí el término x no tiene nada de especial no tiene ningún exponente no tiene cosas elegantes como el seno de x no hay exponentes en fin sólo está siendo multiplicado por una constante fija verdad lo mismo ocurre para la variable aunque hay una forma mucho más técnica de describir qué es una función lineal esto es lo que necesitamos ver para este curso de cálculo de varias variables ahora quizás veas esto de una forma más complicada en su curso y esto es utilizando vectores entonces vamos a ver esta forma que se utiliza mucho en los cursos de cálculo verdad y la forma en la que lo ve uno es pensando ahora en vectores verdad entonces nuestra variable de entrada x coma hielo pensamos como un único vector ya esto lo vamos a escribir como un vector que en muchos libros lo denotan como digamos con letras en negritas y es muy desafortunado verdad porque aquí estamos usando ya la variable x y el vector nos referimos como x pero la diferencia que hay entre la coordenada y el vector es que el vector está escrito con negritas muy bien entonces este vector está escrito con negritas muy bien también podríamos entonces escribir a nuestro punto x 0 0 verdad vamos a ponerlo aquí arriba podríamos escribir al punto x 0 10 0 también como un vector en negrita es verdad entonces vamos a poner este vector x0 muy bien entonces esto nos da la ventaja de que si estamos hablando de una función en más dimensiones en realidad sólo pensamos que tenemos más coordenadas ya sabes en la en el vector de entradas o en este punto fijo inicial verdad entonces ahora vamos a tratar de escribir esta parte de la función esta parte de la función con en notación vectorial muy bien entonces lo primero que tenemos que ver es que esto se ve esencialmente como un producto punto verdad aquí sería una coordenada es serían las dos coordenadas de un vector y las dos coordenadas de otro vector pero si nos fijamos en estas en estos dos factores son las derivadas parciales así que vamos a poner esto así la derivada parcial de f con respecto de x evaluada en el punto x 0 y es cero y también tendremos la derivada parcial de f con respecto de y evaluada en el punto x 0 10/0 esto sí sería digamos nuestro primer vector y luego hacemos el producto punto con otro vector que esencialmente es él el que tiene coordenadas x menos x0 aquí aquí no lo ponemos con negritas porque si son coordenadas son números y la segunda coordenada sería menos de 0 muy bien entonces esencialmente hacemos el producto punto de estos dos vectores pero podríamos escribirlo todavía de forma más compacta porque si observamos este es el vector que tiene las derivadas parciales así que esto en realidad es el gradiente de nuestra función y esto va evaluado en el vector verdad en el vector con negritas x0 y hacemos el producto punto con otro vector es el vector x menos el vector x 0 y es cero y entonces el vector x que era el que poníamos como x en negritas menos el siguiente vector que es el x0 verdad del vector x0 - el vector x cero entonces esencialmente todo esto es la parte lineal de nuestra función l efe verdad habíamos anotado como el f esta es la parte lineal y en realidad la anotación con vectores es muy conveniente porque ahora el gradiente podría tener a lo mejor muchas más coordenadas verdad a lo mejor x tiene más coordenadas y por lo tanto x0 también debería tener más componentes y esto es lo que es el término lineal en nuestra terminología de cálculo de varias variables pues el producto punto esencialmente nos dice que los componentes de nuestro vector x negrita es verdad serán simplemente multiplicados por una constante ahora en realidad si recordamos cómo es nuestra función lf sólo nos falta sumar este término que es la función evaluada en el punto x 0 0 pero ya sabemos que el punto x 0 y es 0 lo podemos poner como este vector en negrita es verdad y se lo sumamos a lo que ya teníamos entonces esta es la parte constante de nuestra función y a mí me gusta ponerlo del lado izquierdo porque como veremos más adelante después podemos seguir agregando otros términos que serán cuadráticas entonces este es esto es por lo la razón por la cual me gusta ponerlo del lado izquierdo y notemos que el único lugar en donde se encuentra la variable x verdad la variable x que es el vector es este y lo más importante es que una vez que has hecho las cuentas en realidad obtenemos una función f que es mucho más simple que que a lo mejor quizás nos ayude a escribir un programa que haga cuentas más rápido o quizá era una función que no conocíamos de inicio porque a lo mejor si sabíamos cuánto valía en un punto dado a lo mejor sabíamos cuánto vale a su gradiente y entonces de esta forma podemos aproximar la función alrededor de ese punto y nuevamente sé que esto parece muy abstracto por si tratas de desenmarañar todo esto y ver de dónde proviene espero que todo esto cobre sentido y que notes que es la función más simple posible que tiene el mismo valor que f y que además coinciden sus derivadas parciales verdad son iguales que la función original y si quieres ver más ejemplos de todo esto digamos como para ver cómo aproximar funciones tengo un artículo de ello y creo que sería muy bueno que sigas los ejemplos con papel y lápiz en mano con esto dicho nos vemos en el próximo vídeo