¿Qué es un plano tangente?

hola a todos en este y en los próximos vídeos hablaré de lo que son los planos tangentes muy bien vamos a hablar de planos tangentes pero no vamos a hablar de planos tangentes en cualquier contexto sino solo vamos a hablar de estos planos tangentes de las gráficas gráficas de funciones porque quizás en alguno de tus cursos que estés llevando de cálculo quizás estén incluso hablando de planos tangentes a superficies parametrizados verdad aquí no aquí vamos a restringir nos al caso de las gráficas de funciones y quizás sea bueno comenzar con el caso de una variable verdad cuando nosotros tenemos una función de una variable con una sola salida verdad si nosotros tenemos digamos esta es la gráfica de la función y nos fijamos en este punto particular entonces podríamos pensar en la línea tangente es verdad a la gráfica y qué pasa justamente por ese punto es decir aquí cerquita de este punto pues podríamos aproximar muy bien esta función con esta línea entonces la idea es esencialmente la misma en el mundo de varias variables de hecho es algo muy similar en términos de la intuición geométrica de hecho es casi idéntico verdad tenemos cierto tipo de gráfica de una función como la que tenemos aquí y en lugar de tener una línea tangente verdad porque la línea es en una dimensión y aquí queremos algo como en dos dimensiones verdad que es una superficie entonces en vez de una línea vamos a tener un plano tangente y esto es algo que va a estar apenas tocando en un punto en particular a la gráfica verdad entonces justamente eso es análogo al caso de la línea tangente que apenas toca la gráfica de la función en el caso de una dimensión verdad y podría estar digamos está definido en distintos puntos no solo en un único en particular verdad podríamos mover este plano justamente que esté tocando apenas a la gráfica de la función pero podría estarlo tocando en puntos distintos verdad y usualmente el primer paso para abordar este problema es pensando en el punto en donde queremos evaluar verdad estamos pensando quizás por ejemplo en él de una dimensión en el punto x 0 verdad y pensamos en la gráfica de una función que sea lineal verdad y que apenas toque a la gráfica en este punto verdad y que sea de forma tangente en el mundo de las varias variables verdad vamos a elegir un punto de entrada digamos como este punto rojo de por aquí verdad y podríamos incluso tomar varios puntos distintos verdad en no no tienen por qué ser exactamente donde yo lo había puesto podríamos imaginar poniéndolo en cualquier otro lado una vez que hemos decidido qué punto de entrada tomar veremos cuál es donde se encuentra sobre la gráfica es decir cuál es el valor que tiene bajo la función verdad así que en este caso esto más o menos se ve que toma el valor de cero en este punto así que la salida de esta función sería cero verdad ahora lo que queremos es un plano que sea tangente justo en ese punto y vamos a dibujar una especie de plano que sea tangente justo por aquí verdad y si pensamos en lo que este punto representa en realidad ya no es un solo x sub 0 verdad tenemos una una entrada de varias variables entonces en lugar de tener x sub 0 vamos a tener x 0,0 verdad va a ser una variable muy multidimensional de entrada y el objetivo principal aquí será hallar una nueva función que vamos a escribirlas y digamos by va a ser encontrar una nueva función el que por supuesto dependa de nuestro punto x en donde nos interesa verdad y que quizás dependa de nuestra función efe aquí también podríamos poner la dependencia respecto al punto inicial verdad el x 0 y es cero pero el punto es que esta función debe ser tal que su gráfica sea exactamente el plano que estamos pensando verdad el plano tangente a la gráfica de la función original efe y en los próximos vídeos vamos a hablar de cómo calcular esta función y en principio podría parecer bastante intimidante el pensar en controlar un plano en tres dimensiones pero en realidad es muy parecido al caso de una sola variable bueno nos vemos en el próximo vídeo