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El teorema de la divergencia en dos dimensiones

Usar el teorema de Green para establecer una versión en dos dimensiones del teorema de la divergencia. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

ahora que ya sabemos cómo construir un vector normal unitario en cualquier punto de una curva y qué era lo que habíamos estado haciendo en el vídeo anterior quiero empezar a explorar expresiones interesantes y la expresión que quiero revisar es la integral la integral sobre una curva cerrada que le voy a llamar se de efe de un campo vectorial efe punto el vector normal unitario el vector normal unitario que voy a llamarle n con este gordito chistoso por un pequeño cambio en la longitud de arco ok entonces déjenme hacer algunos dibujos respecto de esto vamos a pintar primero los ejes y ahí tenemos el eje y y el eje x vamos a pintarlo por aquí y ahí tenemos el eje x y voy a pintar una curva una curva cerrada simple bonita de esta forma ok esta es nuestra curva se y que de hecho tiene una orientación y una orientación positiva es decir que vamos en el sentido contrario a las manecillas del reloj y aquí tengo pues mi cambio mi campo vectorial efe que en realidad está definido en todo mi espacio de r2 por ejemplo también acá pero nos vamos a concentrar esencialmente en qué pasa con él con el campo vectorial sobre la curva y digamos que si el campo vectorial es efe de x que es un campo vectorial pues tiene dos componentes porque lo estamos definiendo en r2 digamos que en una componente es p de xy en nuestra primera componente en la dirección i q de xy en la dirección j es decir en la dirección vertical y estas dos funciones son funciones que dependen de xy de ye y que me construye en mi campo vectorial y nos interesa ver qué pasa sobre la curva verdad si por ejemplo aquí tenemos este en este punto que el campo vectorial apunta en esta dirección también vamos a considerar nuestro vector normal unitario nuestro vector normal unitario que es justamente ortogonal a la curva correcto entonces déjenme déjenme extender un poco más este vector vamos a corregirlo un poquito vamos a extenderlo un poquito más para que quede más clara la idea que quiero presentarles muy bien ahí está ahora ya que está hecho esto en realidad queremos calcular efe punto n ok vamos a tratar de trabajar toda esta integral desarrollando un poquito la idea de qué es lo que nos está diciendo esto y después vamos a usar el teorema de green y llegar al al famoso y conocidísimo teorema de la divergencia pero para eso necesitamos primero ver qué es lo que ocurre con este producto punto d efe punto n si aquí tengo yo mi campo vectorial y aquí tengo el vector normal unitario n este es el vector normal unitario en ese punto en realidad el producto punto de estos dos me está diciendo que tanto hay que extender n que tanto hay que extender n para que sea la componente correspondiente a este vector es decir estaría yo extendiendo todo esto y sería la magnitud de este vector para para ir formando este vector normal unitario es decir es como hasta cierto punto una proyección verdad entonces esto este producto lo que me está diciendo lo que me está midiendo es la magnitud la magnitud de de la componente de la componente componente en el campo vectorial efe en la dirección normal es decir en la dirección del vector normal unitario de la dirección normal ok y vamos a ver como como podríamos interpretar todo esto supongamos por ejemplo que todo esto que estamos viendo estamos viviendo en un mundo de dos dimensiones y que aquí tenemos digamos algún gas ok tenemos algún gas en este en este pequeño mundo de dos dimensiones y estas flechas lo que es el campo vectorial me está indicando cuál es la velocidad que lleva el gas en cada uno de los puntos por ejemplo a lo mejor el gas se mueve de esta forma en este punto este lleva mucha velocidad en este punto qué sé yo ok entonces este campo vectorial me está diciendo la velocidad que lleva el gas en cada uno de los puntos en particular me interesa saber la velocidad del gas sobre la frontera o el contorno de esta región ok por qué porque si yo hago el producto punto de lo que es la velocidad que es el campo vectorial y con este vector normal unitario en realidad aquí estamos midiendo que a qué velocidad o más bien a qué rapidez es a la que escapa a esa la que escapa el gas y cuando digo escapa digo podría estar entrando o saliendo pero pero estamos considerando el vector normal exterior verdad entonces eso me está midiendo qué tanto sale si es negativo pues en realidad está entrando verdad pero estamos considerando esta referencia y entonces esta magnitud efe punto n lo que me está diciendo es la rapidez a la cual escapa el gas en este punto en particular ahora que sí estamos multiplicando por de s es decir por un pequeño cambio en la longitud de arco aquí me está y además estamos después sumando sobre toda la curva estamos viendo qué rápido escapa el gas sobre toda la curva verdad que tanto que tanto material de gas está escapando por toda la curva ok esto es un argumento un poquito complicado y medio digamos hecho en pocas palabras vamos a detallar en esto un poquito más adelante o quizás en otro vídeo ahorita lo que quiero centrarme es realmente a manipular esta expresión de aquí que dijimos que si lo estamos interpretando en términos de gases esto es que tan rápido estoy aquí es que tan rápido rápido escapa escapa del gas o escapan las partículas de gas digamos las partículas por la por la frontera o por el contorno por la frontera ok entonces vamos a seguir manipulando esta expresión y podemos manipularla porque acá arriba tenemos una forma de expresar el vector normal unitario entonces eso lo podemos sustituir inmediatamente de esta integral entonces realmente tenemos la integral sobre una curva se orientada de esta forma de nuestro campo vectorial efe punto el vector normal unitario que como habíamos dicho es de y el cambio pequeño cambio en la dirección y por el vector y menos de x sobre por la dirección j y vamos a dividir vamos a dividir todo esto entre de s verdad pero aquí estamos multiplicando también por de s que de hecho son digamos magnitudes escalares esto es un escalar entonces esta división del df con esta multiplicación que tengo aquí por la integral en realidad se cancela porque son escalares y lo único que me queda es f punto este vector que es de y en la dirección y menos de x en la dirección j entonces lo único que me queda es calcular la integral la integral sobre esta curva se de efe que es p qué es una función que depende de xy de y que va en la dirección y más q que es otra función que depende de x y que va en la dirección j entonces si hacemos este producto con de este vector que es el campo vectorial con este vector azul lo que nos queda es p y por d ye y verdad estamos pensando en los vectores en este producto es decir todo esto vamos a hacerlo más específicamente vamos a hacer pe y más cool j punto punto esta parte azul que es de g y menos de equis j y hay que recordar que iu y j son ortogonales entonces cuando hagamos los productos cruzados se van a anular verdad entonces esto simplemente me queda para por belle y sería pd y pdl y me falta hacer el producto punto y punto y pero como este es un vector normal con perdón un vector que tiene norma 1 simplemente nos queda y punto y que es la norma de y al cuadrado que es una verdad y luego tenemos punto de x j pero y j son ortogonales por lo tanto eso se anula lo mismo pasa cuando yo hago q j.de y como son ortogonales se cancelan y simplemente me queda hacer con jota punto menos de x j entonces esto nos quedaría esto es igual a pdl menos q de x y jota punto jota es igual a 1 verdad porque jota tiene norma 1 muy bien entonces esta es la expresión que nos queda p de x y por belle menos q de x de x y esto vamos a tener que recordar muy bien que es lo que nos dice el teorema de greene porque si recuerdas esto es muy parecido a lo que podría especificar nos el teorema de green y realmente el teorema de green lo que nos dice es que si tenemos la integral sobre una curvas m de x déjenme ponerlo en amarillo para que sea más acorde a lo que llevamos mx nd y si ésta es la integral del link de línea esto por el teorema de green lo podemos pasar a una integral sobre una región la integral doble sobre la región que que acota nuestra nuestra curva se de la parcial de n de esta parte la parcial de n respecto de x menos la parcial de m respecto de ella y todo esto hay que multiplicarlo por una pequeña diferencial de área que puede ser de x de the x según sea el caso verdad entonces esto es lo que nos dice el teorema de greene esto es el teorema de greene de green y hay que esto lo podemos aplicar en esta expresión que tenemos verdad porque esto según el teorema de green nos lo lleva a una integral sobre una región r donde hay que sacar primero la parcial de esta función que está multiplicando a de ella que en este caso es p entonces vamos a tener la parcial de p respecto de x respecto de x y hay que poner menos y ahora tenemos que sacar la parcial de la otra función que multiplica a de x que en este caso es menos q entonces vamos a tener menos la parcial de q respecto de y y todo esto va a ser multiplicado por una pequeña diferencial de área verdad y esto si seguimos manipulando lo es igual a la integral sobre la región r de la parcial de p respecto de x más porque es menos y menos esto es más la parcial de q respecto de y ok y todo esto por una diferencial de área y quizás ya estás viendo hacia dónde vamos porque a lo mejor ya es ya ya tienes esa intuición desarrollada para ver qué es esto porque si no si no recuerdas vamos a revisar que esto no es otra cosa más que la divergencia de nuestro campo vectorial verdad es la suma de las derivadas parciales en este en este orden esta es la divergencia de nuestro campo vectorial si para ti no tiene sentido que es la divergencia y te recomiendo que cheques el vídeo que trata sobre la divergencia de los campos vectoriales entonces esto ya para concluir es la integral sobre la región r sobre la región r del de la divergencia de nuestro campo vectorial efe multiplicado por una pequeña diferencial de área entonces aquí lo que tuvimos es una integral de 1 de alguna curva que al desarrollar este producto punto llegamos a una expresión en donde podíamos utilizar el teorema de green y con el teorema de green llegamos a esto que es esencialmente el teorema de la divergencia ahora porque tiene sentido esto bueno recordemos la interpretación de lo que es la divergencia es decir la divergencia nos va midiendo que tanto salen las cosas a partir de un punto por ejemplo si tenemos que el campo vectorial es más o menos de esta forma aquí cerca entonces la divergencia es positiva sin embargo si si tenemos que es más o menos de esta forma es decir donde digamos que el campo vectorial va apuntando hacia dentro de alguna región entonces la divergencia es negativa es decir aquí podríamos pensar que hay común con una especie de punto atractor verdad que concentra la las partículas de este gas entonces todo esto todo espero que tenga o que haya cobrado sentido es una forma de pensar en el teorema de greene para también y explorarlo y llegar a la conclusión de lo que nos dice el teorema de la divergencia en dos dimensiones verdad que en realidad estamos sumando la divergencia de nuestro campo vectorial a lo largo de toda esta región