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Aclaración conceptual para el teorema de la divergencia en dos dimensiones

Entender la integral de línea como el flujo a través de una frontera. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

vamos a revisar la integral de línea f punto n de s de aquí que tenemos aquí porque quiero estar seguro de que tengamos el concepto correcto y la verdad es que no fui tan claro en el vídeo anterior y en este vídeo quiero ser más preciso y de hecho utilizaré unidades para que realmente entendamos qué es lo que está pasando y de hecho he dibujado aquí una trayectoria se y la recorremos en sentido contrario a las manecillas del reloj muy bien este digamos nuestra orientación positiva que tenemos de esta curva y también he pintado en algunos puntos cómo se vería a lo mejor el campo vectorial efe que de hecho aquí tenemos expresado y ahorita vamos a explicar más entonces en cualquier punto del espacio está definido nuestro campo vectorial efe no sabemos exactamente cómo sea pero nos va a interesar ver cómo se comporta justo en la frontera de nuestra curva muy bien y también tenemos el vector normal unitario n que en cualquier punto de la curva se comporta de forma ortogonal a la misma aunque entonces en cada punto de la curva este vector n es ortogonal en ponerlo de este lado el vector n es ortogonal a la curva a la curva c muy bien y bueno realmente yo decía que la f era un campo vectorial efe era una especie de velocidad pero faltaba algún detalle faltaba un detalle porque si queríamos ver la cantidad de materia que era la que iba saliendo de esta curva se por cada segundo en realidad necesitábamos definir también algo que fuera una densidad de masa y aquí es como como he utilizado esta esta función escalar lo que depende de xy de iu es decir en cada punto del plano tendremos la densidad de este de este de más en cada punto de plano entonces esta función de aquí que era lo que realmente faltaba agregar en el vídeo anterior es la densidad de masa la densidad de densidad de más ok y eso lo agregamos porque queremos hablar de la cantidad de materia que sale es verdad y bueno ahora aquí tenemos tenemos que el campo vectorial que está formado por una función m que multiplica al vector unitario y y una función n que multiplica el vector unitario jota esto de aquí representa esencialmente la velocidad que llevan las partículas en cada punto del espacio o que cada punto del espacio se le asigna un vector velocidad y hablamos de la velocidad porque en sí las funciones m y n son funciones escalares que al multiplicarlo por un vector pues nos da un vector pero esta parte de aquí cada uno de estos lo que me está diciendo es una cantidad de rapidez qué tan rápido van las las partículas y por supuesto m me está hablando de la rapidez que llevan pero en la dirección del vector y es decir en la direc horizontal y n me está dando la rapidez que llevan pero en la dirección vertical verdad que es la dirección del vector j entonces vamos a hacer un poquito de análisis de las de las de las unidades que llevan cada una de estas por ejemplo la densidad la densidad siempre es la misma que es la masa entre el área massa sobre área aunque es la masa que hay por unidad de área y que esto se traduce en no sé si le ponemos algunas unidades por ejemplo podríamos hablar de kilogramos sobre metros cuadrados muy bien y la velocidad en sí lo que es la rapidez la rapidez la rapidez lleva ciertas unidades que esencialmente es distancia entre el tiempo verdad ya esas son son detalles físicos clásicos de cómo calculamos la velocidad y la distancia pues tendrá unidades de longitud que pueden ser metros y el tiempo pues serán segundos por ejemplo muy bien entonces si nosotros queremos ahora entender bien las unidades de nuestra efe pues vamos a distribuir esta multiplicación es decir vamos a multiplicar row por cada una de estas dos funciones entonces ya no voy a escribir que ferro me llene dependen de xy de yeso queda ya muy claro sólo es para ahorrarme espacio y demás pero efe lo podría yo escribir como la función lo que multiplica a m que multiplica a m por i la función nuevamente rojo porque esto lo distribuimos por el la función n que multiplica al vector j entonces lo que tendríamos que hacer es qué pasa con las unidades de esta multiplicación y esencialmente como m y n tienen la misma las mismas unidades van a quedar todo en las mismas unidades muy bien de hecho ro roth tiene unidades de masa en sobre área que es la las unidades de densidad que son kilogramos sobre metro cuadrado muy bien y vamos a multiplicar por m que m es una rapidez y tiene unidades de metros sobre segundo entonces aquí son metros sobre segundo y si hacemos este análisis dimensional podemos cancelar un metro con uno de estos metros y nos queda kilogramos sobre metro por segundo entonces estas unidades que son un poquito raras es lo que nos resulta de hacer esta multiplicación de robert por el vector verde que tenemos aquí ahora bien si nosotros nos vamos a lo que es la integral de línea tenemos nuestro campo vectorial efe que ya sabemos las unidades que va que lleva en cada en cada acorde de coordenada y ahora hacemos el producto punto con el vector en entonces no sé por ejemplo fijémonos aquí en este punto aquí tenemos como apunta el vector f aquí tendremos el vector normal unitario y lo que nos está diciendo el producto punto de esto es esencialmente cuál es la componente que debe llevar el vector normal para ir formando nuestro nuestro vector del campo vectorial verdad es decir es la magnitud que lleva el vector normal para ir generando el vector del campo vectorial muy bien entonces como esto realmente solo me está diciendo es esencialmente la magnitud que lleva a un vector con respecto al otro entonces las unidades se preservan verdades son las mismas unidades entonces si estas unidades si estas unidades iban en kilogramos sobre metro por segundo cuando multiplicamos por de ese perdón por poder efe llevaba estas unidades kilogramos sobre metros por segundo cuando hacemos el producto punto con n se queda con las mismas unidades ahora sí vamos a ver qué ocurre cuando nosotros multiplicamos por este de ese que si recordamos de ese no es otra cosa más que un diminuto un infinitesimalmente pequeño el cambio en la longitud de la curva muy bien entonces en realidad como estamos hablando de longitud esto lleva a una una unidad de longitud que pueden ser los metros verdad entonces si queremos ver las unidades que lleva ya toda esta multiplicación tenemos que hacer el producto de estas unidades por metros entonces tenemos kilogramos kilogramos sobre metro por segundo y ahora multiplicamos por las unidades de bs que son metros entonces si hacemos esto se cancelan los metros y esto cuadra muy bien con la intuición que teníamos en el vídeo anterior que son kilogramos por segundo esto esto me está diciendo cuál es la masa que va saliendo en cada punto por segundo verdad ahora bien que si estamos integrando a lo largo de toda una curva en realidad estamos sumando sumando todas estas cantidades y si sumamos la cantidad de masa que va saliendo por por segundo entonces estamos teniendo toda la masa que sale a través de la curva por unidad de tiempo muy bien entonces las unidades las unidades que llevan está integral tenemos que la integral sobre la curva de f punto n de s ok esto me está diciendo que es nos está midiendo la masa que es el que sale que sale de la curva oa través de la curva déjenme ponerlo así a través de la curva a través de la curva c por segundo por segundo muy bien y de hecho vimos una equivalencia en el vídeo anterior de esta integral con otra que era el teorema de la divergencia verdad que esta esta integral era equivalente a la integral sobre toda la región que encierra la curva de la divergencia del campo vectorial efe por una diferencial de área verdad y la divergencia la divergencia es esencialmente por definición la derivada parcial de f con perdón no no de vecino de la primera coordenada que es m con respecto a x y de hecho no es esto verdad porque efe es roboré entonces aquí va un roe por m aunque es la derivada de esto con respecto a x más la derivada de la segunda de la segunda componente que es rob por n respecto ai ok y cuál es la unidad de todo esto esto tiene unidades de la siguiente forma esto de aquí pues ro m tiene unidades kilogramos sobre metros por segundo y si estamos dividiendo por una unidad de longitud porque estamos variando la cantidad x que que si vayamos x es movernos en esta dirección y es longitud entonces tendremos aquí que dividir sobre metros que simplemente se reduce a kilogramos sobre metros cuadrados por segundo y esto pasa igual con esto ahora si estamos multiplicando por una diferencial de área y la unidad de las diferenciales de área pues pueden ser metros cuadrados entonces esto lo multiplicamos por metros cuadrados y se cancelan para dejarnos simplemente kilogramos sobre segundo y si estamos sumando sobre toda la región se conservan estas mismas unidades así que espero esto haya tenido sentido para ti sobre cómo conceptualizar la función vectorial efe si si te confundió mucho oa lo mejor te gustan más las aplicaciones o más bien si no te gustan las aplicaciones entonces trata de hoy de ignorarlo supongo digo al menos para mí esto me ayudó a tener una idea mucho más fuerte de lo que el vector efe podría representar