Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:10:08

Transcripción del video

digamos que tenemos una curva ere y que vamos a parametrizar de la siguiente forma tenemos su vector de posición o su función vectorial de posición digamos ere que depende de te va a ser igual a x dt en la dirección del vector y más billete en la dirección del vector j y por supuesto estamos pensando en una curva en dos dimensiones y que está contenida en el plano entonces vamos a vamos a hacer digamos la gráfica una gráfica digamos muy general de esta curva keith un poquito ahí está un eje elegí y aquí está el eje x gent y el eje x y digamos que nuestra curva a medida que avance el tiempo se mueve de esta forma ok esta es nuestra curva r se mueve en esta dirección ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo que será más bien un vídeo de álgebra vectorial más que de cálculo es poder ver un vector normal en la curva en particular que sea unitario es decir que tengamos un lector aquí en este lugar woods no se ve muy normal ok que tengamos un vector aquí y vamos a llamarle n y este vector debe ser ortogonales decir que que sea que haga un ángulo de 90 grados con la curva eso es lo que estamos buscando pero bueno vamos a a revisar esto de cómo hacerlo porque por ejemplo podríamos pensar mucho como lo hacíamos en cálculo en de una variable es decir queremos ver la pendiente de una curva entonces lo que vamos a hacer es fijarnos en un vector digamos inicial aquí digamos éste es r1 para algún tiempo inicial y pensemos ahora en un tiempo final digamos en este otro vector r2 ok estamos pensando que a medida que avanzó el tiempo nos movimos un poco más en la curva y entonces tenía dentro de conseguimos este otro vector herreros muy bien entonces lo que vamos a hacer es pensar en el vector una forma de aproximar un vector tangente pues es pensar en la diferencia de estos dos no digamos los el vector que seque junta estas dos puntas de la flecha y estamos pensando en un vector tangente porque si tenemos un vector tangente podemos obtener a partir de es un vector perpendicular a él y que ya sabemos hacerlo entonces por eso es que estamos buscando hacer un vector tangente dejen de hacerlo mucho mejor porque nuestra primera aproximación podría ser ésta que sea considerar este vector que pues podemos llamarle delta ere es decir el cambio en el en el vector de posición y a partir de esto si nosotros vamos aproximando r2 para que se vaya apareciendo r1 este vector delta ere deberá parecerse al final a nuestro vector o más bien no deberá parecerse sino que en el límite es decir cuando este rd 12 junta suficientemente cerca a r1 vamos a tener un vector tangente que apuntará en esta dirección ok a éste a este vector es el que vamos a llamarle deere a este morado que es el vector tangente de rr es un vector tangente pueden haber muchos verdad depende por ejemplo de la magnitud del sentido hacia dónde estén dirigidos pero bueno este es uno de los vectores tangente tan gente ahí está en este punto en particular muy bien entonces cómo vamos ahora a considerar nuestro víctor porque por ejemplo este lector tangente lo podemos escribir como de rr pues es nuestro pequeño cambio en la dirección x más un pequeño cambio en la dirección y es verdad que se está dado por la dirección de los vectores y y de j entonces un lector ortogonal sí como cómo podríamos conseguir un vector ortogonal a este pensemos supongamos que aquí tenemos nuestro vector de aquí está nuestro vector de rr.ii lo podemos es componer en sus dos componentes en su componente y en su componente j entonces por ejemplo vamos a hacer su componente en la dirección jota quest en la dirección vertical tenemos este vector keith hacia arriba aquí tenemos ave llegue en la dirección del vector j y también tenemos su componente su componente en la dirección del vector y es decir en la dirección x este es de x por ti y de hecho no tenemos que de x es negativo porque apunta hacia la izquierda verdad entonces una forma o digamos tenemos dos posibles vectores ortogonales a éste de verdad porque tenemos este vector o tenemos este otro vector para fines de este vídeo me voy a quedar con el que apunta hacia la derecha pero hay que tener muy claro que podemos tener dos vectores normales posibles vamos a concentrarnos sólo en el derecho y voy a hacerlo en tamaño más grande para que quede más claro entonces tenemos digamos aquí nuestro vector de r este va a ser de rr y dijimos que vamos a descomponer la verdad en 2 en sus dos en sus dos componentes que esto es un poquito complicado ser líneas rectas muy bien éste me gustó mucho entonces en esta dirección dijimos tenemos abeyie en la dirección del vector j y del otro lado vamos a tener vamos a hacerlo igual con azul y en esta dirección tenemos dx en la dirección del vector y entonces nosotros sabemos muy bien que si yo quiero tener un vector ortogonal lo único que tengo que hacer es cambiar e intercambiar el papel de dx ideye y alguno de ellos cambiarles el signo entonces por ejemplo si yo cambio el papel de the eye es decir que no vaya en la dirección vertical sino que ahora vaya en la dirección horizontal vamos a pintar lo aquí que ahora está en la dirección horizontal esto estamos pensando que es de ye pero en la dirección del vector y y ahora si yo quiero que mi vector normal apunte digamos en esta dirección necesito que dx ahora apunta hacia arriba pero como están apuntando hacia la izquierda y eso es negativo y yo quiero que apunte hacia arriba que es positivo voy a necesitar cambiar el signo si yo sólo cambiará de x y lo multiplicó por jota como dx es negativo apuntaría hacia abajo y eso no es lo que quiero yo necesito que apunte hacia arriba entonces vamos a poner aquí a de x dx con un signo menos para que de esta forma sea positivo y apunte en la dirección vertical pero hacia arriba entonces ya que tenemos estos dos ahora la suma de estos dos nos debe dar un vector normal este es nuestro vector normal aquel que tiene como componente ave llegue en la dirección y ya menos de x en la dirección j y esto ya lo habíamos visto en los videos de de vectores y de perpendicularidad y demás entonces este vector normal que voy a llamarle a va a ser igual a deie de en la dirección y menos - dx en la dirección j y este es uno de los vectores normal es que yo puedo encontrar todavía me falta normalizar lo que significa que su norma sea uno entonces lo que vamos a hacer es dividir entre la norma dea para que ya tengamos una norma o no y quién es la norma de a quienes la norma o el tamaño de a recuerden que hay gente que lo pone con una sola barra mí me gusta poner dos barras porque así no nos confundimos con el valor absoluto pero esto simplemente es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes entonces tenemos nuestra componente de x al cuadrado que podría ponerle al menos pero con el cuadrado simplemente se le cancela más de ye todo esto al cuadrado y que si recuerdan muy bien cuando estamos calculando longitudes longitudes de arco y demás esto no es otra cosa más que un cambio infinitesimal en la longitud de arco y que lo denota vamos como ds muy bien entonces ahora ya podemos decir que nuestro vector normal unitario en y le voy a poner este gorrito porque es unitario este lector normal va a ser el vector a que no es otra cosa más que the yeah yeah yeah en la dirección y menos dx en la dirección j pero dividido entre la norma de a que no que como ya observamos es df-el infinitesimalmente pequeño cambio en la longitud de arco de esta forma pudimos construir ya un vector normal unitario sobre cualquier punto de la curva