Este es el análogo del teorema de Green, pero con la divergencia en vez del rotacional.

Qué vamos a construir

  • El teorema de la divergencia en 2D es a la divergencia lo que el teorema de Green es al rotacional. Relaciona la divergencia de un campo vectorial dentro de una región con el flujo de ese campo vectorial a través de la frontera de la región.
  • Configuración:
    • F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) es un campo vectorial de dos dimensiones.
    • R\redE{R} es una región en el plano xyxy
    • C\redE{C} es la curva frontera de R\redE{R}.
    • n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} es una función cuya salida son vectores unitarios normales de C\redE{C} que apuntan hacia afuera.
  • El teorema de la divergencia en 2D dice que el flujo de F\blueE{\textbf{F}} a través de la curva frontera C\redE{C} es igual a la integral doble de divF\text{div}\,\blueE{\textbf{F}} sobre la región completa R\redE{R}.
    CFn^dsIntegral de flujo.=RdivFdA\displaystyle \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }_{\text{Integral de flujo.}} = \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA
  • La idea intuitiva aquí es que si F\blueE{\textbf{F}} representa el flujo de un fluido, la tasa del flujo total hacia afuera de R\redE{R}, como lo mide la integral de flujo, equivale a la suma de todas los pedacitos del flujo hacia afuera en cada punto, como los mide la divergencia.
  • A menudo las componentes de las funciones de F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) se dan como P(x,y)P(x, y) y Q(x,y)Q(x, y):
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
En este caso, una vez que escribes la integral y la divergencia en términos de PP y QQ, el teorema de la divergencia en 2D se ve así:
CPdyQdx=RPx+Qy\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dy - Q\,dx = \iint_{\redE{R}} \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}
  • Escrito de esta manera es más fácil ver que el teorema de la divergencia en 2D dice en secreto lo mismo que el teorema de Green.

Intuición: conectar dos medidas de flujo hacia el exterior

La visión global: flujo

Aquí, suponemos que ya aprendiste sobre el flujo en dos dimensiones, y lo que representa. Es decir, evalúa la tasa a la cual un fluido pasa a través de una curva, como C\redE{C}. Cuando esa curva encierra alguna región, como R\redE{R}, el flujo es una medida de la tasa a la que el fluido sale de la región.
Dado un campo vectorial F(x,y)\blueE {\textbf{F}}(x, y) que representa el campo vectorial de la velocidad del fluido, el flujo de F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) a través de C\redE{C} se mide con la siguiente integral:
CFn^dsIntegral de flujo.\displaystyle \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }_{\text{Integral de flujo.}}
Esta integral es a lo largo de cada punto de la frontera C\redE{C}, y utiliza la componente del vector de F\blueE{\textbf{F}} en la dirección del vector unitario normal n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} que apunta hacia afuera. Cuanto más grande es ese valor en un punto, más rápido es el flujo que sale de R\redE{R} en ese punto; cuanto más negativo es, hay más flujo hacia adentro en ese punto.

La visión local: divergencia

También suponemos que has aprendido acerca de una medida diferente del "flujo hacia afuera" en el movimiento de fluidos: divergencia. La divergencia de F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) es una función que nos dice cuánto fluido tiende a divergir desde cada punto (x,y)(x, y)
El teorema de la divergencia en 2D conecta estas dos ideas:
CFn^dsIntegral de flujo.Flujo total que sale de .R=RdivFdASuma de todas los pedacitos de flujo hacia afuera.\displaystyle \underbrace{ \overbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }^{\text{Integral de flujo.}} }_{\text{Flujo total que sale de $\redE{R}$.}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{Suma de todas los pedacitos de flujo hacia afuera.}}

¿Quieres una comprensión más profunda?

Esta idea intuitiva debe parecerte muy similar a la que está detrás del teorema de Green, en el que la rotación total del fluido en una región es igual a la suma de todos los pedacitos de rotación, representada por rot-2dF\text{rot-2d}\,\blueE{\textbf{F}}:
CFdrRotacin total del fluido alrededor de oˊR=Rrot-2dFdASuma de todos los pedacitos de rotacinoˊ\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Rotación total del fluido alrededor de $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_\redE{R} \text{rot-2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} }_{\text{Suma de todos los pedacitos de rotación}}
Sin embargo, tanto en el teorema de Green como en el teorema de la divergencia en 2D, hablar de sumar pedacitos de la rotación o de flujo hacia el exterior es bastante vago. Aunque proporciona una idea intuitiva más clara, no es exactamente riguroso desde el punto de vista matemático, ¿no crees?
En el artículo sobre el teorema de Green, abordamos una línea más precisa de razonamiento, cuando la integral doble del rotacional entra en juego. Esto implicó rebanar la región R\redE{R} y ver cómo ciertas integrales de línea se cancelaban entre sí a lo largo de las rebanadas de R\redE{R}.
Para demostrar el teorema de la divergencia en 2D se puede utilizar una línea razonamiento casi idéntica. Para quien desee obtener un conocimiento más profundo, un buen ejercicio sería repetir paso a paso ese mismo razonamiento, y reemplazar la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}, que mide el flujo alrededor de R\redE{R}, con la integral de flujo CFn^ds\displaystyle \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\,ds, que mide el flujo hacia afuera de R\redE{R}.
Y si lo que buscas es entender esto más profundamente, también te recomendamos ir armado con conocimientos de la definición formal de la divergencia.

Demostración: integrales de flujo + vector normal unitario + teorema de Green

Este ejercicio de comprensión más profunda no es necesario para demostrar el teorema de la divergencia en 2D. De hecho, cuando empieces a explicar con detalle cómo se calcula cada integral, encontrarás que en realidad este teorema dice lo mismo que el teorema de Green.
Empieza por escribir F\blueE{\textbf{F}} en términos de las funciones componente P(x,y)P(x, y) y Q(x,y)Q(x, y):
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
Aplica la fórmula para un vector normal unitario a la integral de flujo. Aquí hay otra manera de representar esa integral de flujo.
CFn^ds=C[P(x,y)Q(x,y)]n^ds\displaystyle \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds = \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds
A continuación, vamos a escribir el vector normal unitario explícitamente.
Verificación de conceptos: si pensamos que los vectores [dxdy]\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] representan un pequeño paso, en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor de la curva C\redE{C}, con ds=dx2+dy2ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} como su magnitud, ¿cuál de los siguientes representa un vector normal unitario que apunta hacia afuera?
Al sustituir esto en nuestra integral de flujo y simplificar obtenemos:
C[P(x,y)Q(x,y)]n^ds=C[P(x,y)Q(x,y)](1ds[dydx])ds=CPdyQdx\begin{aligned} \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds &= \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \left( \dfrac{1}{\cancel{ds}} \left[ \begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right] \right) \,\cancel{ds} \\\\ &= \int_{\redE{C}} P\,dy - Q\,dx \end{aligned}
Escrito en esta forma, podemos aplicar directamente el teorema de Green.
Verificación de conceptos: ¿cuál de los siguientes es el teorema de Green, donde C\redE{C} representa una curva cerrada que encierra la región R\redE{R}?
Verificación de conceptos: ¿qué obtienes al aplicar el teorema de Green a la integral de flujo CPdyQdx\displaystyle \int_{\redE{C}} P\,dy - Q\,dx?
Observa que la expresión dentro de la integral doble en la respuesta a la última pregunta es, en efecto, la divergencia de F\blueE{\textbf{F}}:
divF=div[P(x,y)Q(x,y)]=Px+Qy\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}} = \text{div}\, \left[ \begin{array}{c} P(x, y)\\ Q(x, y) \end{array} \right] = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}

¿Usar el teorema de la divergencia en 2D?

Cuando se trata de traducir entre integrales de línea e integrales dobles, el teorema de la divergencia en 2D dice básicamente lo mismo que el teorema de Green. Así que cualquiera de los cálculos reales en un ejemplo de uso de este teorema sería indistinguible de un ejemplo en el que se aplicara el teorema de Green (como en los de este artículo con ejemplos del teorema de Green).
Sin embargo, la utilidad de aprender el teorema de la divergencia en 2D es doble:
  • Beneficio conceptual: es una excelente manera de profundizar tu entendimiento del flujo, la divergencia y el teorema de Green.
  • Beneficio estratégico: a veces un ejemplo donde se utiliza el teorema de Green se presta más naturalmente a una descripción basada en la divergencia. Por ejemplo, si la integral de línea que queremos calcular comienza su vida como una integral de flujo, en lugar de desarrollar esta integral de línea para que se vea como Pdx+Qdy\displaystyle \int P\,dx + Q\,dy y aplicar el teorema de Green, podrías darte cuenta inmediatamente que es lo mismo que integrar dos veces la divergencia.

Resumen

  • El teorema de la divergencia en 2D relaciona el flujo bidimensional con la integral doble de la divergencia en una región.
    CFn^dsFlujo total hacia afuera de R=RdivFdASuma de todos los pedacitos de flujo hacia afuera\displaystyle \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }_{\text{Flujo total hacia afuera de $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{Suma de todos los pedacitos de flujo hacia afuera}}
  • Usualmente el campo vectorial F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) se expresa en sus componentes:
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
En este caso, así es como se ve el teorema de la divergencia en 2D:
CPdyQdx=R(Px+Qy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dy - Q\,dx = \iint_{\redE{R}} \left( \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} \right) dA
  • Escrita en esta forma, es más fácil ver que el teorema de la divergencia en 2D realmente establece lo mismo que el teorema de Green.
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