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El teorema de la divergencia en tres dimensiones

También conocido como el teorema de Gauss, el teorema de la divergencia es una herramienta para pasar de integrales de superficie a integrales triples.

Qué vamos a construir

  • Configuración
    • F(x,y,z) es un campo vectorial de tres dimensiones.
      • V es algún volumen de tres dimensiones (piensa en una burbuja flotando en el espacio).
      • S es la superficie de V.
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  • El teorema de la divergencia relaciona la divergencia de F en el volumen V con el flujo de F hacia afuera de la superficie S:
VdivFdVSuma los pedacitosde flujo hacia afuera de V=SFn^dΣIntegral de flujoMide todo el flujo hacia afueraa través de la frontera de V
  • La idea intuitiva es que la divergencia mide el flujo hacia afuera en puntos individuales, mientras que el flujo mide la cantidad de fluido que sale de toda una región. Así que al sumar todos los cachitos de divergencia se obtiene el mismo valor que el flujo.

La superficie debe ser cerrada

En lo que sigue, debes pensar en una superficie en el espacio. Pero a diferencia de, digamos, el teorema de Stokes, el teorema de la divergencia solo se aplica a superficies cerradas, lo que significa superficies sin fronteras. Por ejemplo, un hemisferio no es una superficie cerrada, tiene un círculo como frontera, por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia.
Sin embargo, si añades un disco en la parte inferior de este hemisferio y consideras al disco y al hemisferio como una sola superficie, ya tienes una superficie cerrada cuyo volumen interior es la mitad de una bola. En este caso, dado un campo vectorial, el teorema de la divergencia puede utilizarse en esta superficie de dos partes y esta media bola.
La razón de esto es que necesitamos ser capaces de hablar del volumen tridimensional encerrado por una superficie, lo que no tiene ningún sentido para superficies abiertas.

La intuición

Si entiendes la intuición detrás del flujo en 3d, las integrales triples, y el teorema de la divergencia en 2d, básicamente ya entiendes el teorema de la divergencia tridimensional. Es solo cuestión de encajar estas ideas conceptuales.

Visión global de la corriente hacia afuera: flujo

Cuando un campo vectorial tridimensional F(x,y,z) se considera como la representación de la corriente de un fluido, el flujo de F a través de una superficie S es una medida de cuánto líquido pasa a través de esa superficie por unidad de tiempo. Se mide con la siguiente integral:
SFn^dΣ
Puedes pensar en esta integral como si separaras la superficie en muchos pedazos minúsculos, donde dΣ representa el área de uno de estos cachitos. La letra con el gorrito, n^, representa una función que le asigna un vector normal unitario, que apunta hacia afuera, a cada punto de la superficie.
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Cuando el producto punto Fn^ es grande, significa que la corriente del fluido es en la misma dirección que n^, y por lo tanto, el fluido pasa a través de la superficie rápidamente en ese punto. Observa que esto significa que en la integral de flujo se considera flujo positivo cuando va en la misma dirección del vector normal unitario n^, y negativo cuando fluye en la dirección contraria.
Para este artículo, piensa en el caso donde S es una superficie cerrada ("cerrado" significa que no tiene bordes) que encapsula un volumen tridimensional V. Si S se orienta con vectores normales unitarios que apuntan hacia afuera, el flujo de F a través de S mide qué tan rápido el líquido sale del volumen V. Es como ir a todas las puertas en la frontera de una región y sumar cuánto fluido sale por cada una y restar cuánto entra por cada una.
SFn^¿Cuánto fluidosale/entra?dΣCachito de área

Visión local del flujo hacia el exterior: divergencia

La divergencia, en cualquier dimensión, mide la tendencia del fluido a alejarse de cada punto en el espacio. Más específicamente, si tomas algún punto en el espacio, (x0,y0,z0), y unos volúmenes minúsculos alrededor de ese punto Vmini, la tasa a la que el líquido que fluye a lo largo del campo vectorial F deja esta pequeña región será aproximadamente igual a la siguiente expresión:
(F(x0,y0,z0))Divergencia|Vmini|Volumen de Vmini
En otras palabras, la divergencia da la tasa de flujo hacia afuera por unidad de volumen cerca de un punto. La razón por la que debe multiplicarse por el volumen antes de estimar la tasa real de flujo hacia fuera, es que la divergencia en un punto es un número que no está relacionado con el tamaño del volumen alrededor de ese punto. Pero las tasas del flujo exterior para volúmenes más pequeños serán más pequeñas simplemente por el hecho de que en ellos hay menos líquido que pueda salir.

Suma las visiones locales para obtener una visión global

A continuación, para hacer que las integrales triples entren al juego, piensa en el siguiente proceso:
  • Separa un volumen tridimensional V en muchos pedazos minúsculos (migajas tridimensionales).
  • Calcula la divergencia de F dentro de cada pedazo.
  • Multiplica ese valor por el volumen del pedazo.
    • Suma lo obtenido.
Esto te dará una idea del "flujo total hacia fuera" de F en todo el volumen V. Pero como he mencionado antes, esta cantidad también se mide también por el flujo de F a través de la superficie S de V.
El proceso explicado anteriormente describe también la idea intuitiva detrás de una integral triple:
VFDivergenciadVCachitode volumen
A igualar esto al flujo de F a través de la superficie de V, obtenemos el teorema de la divergencia:
VdivFdVSuma los pedacitosde flujo hacia afuera de V=SFn^dΣIntegral de flujoMide todo el flujo hacia afueraa través de la frontera de V

Utilidad

Tanto las integrales de superficie como las integrales triples pueden ser muy desagradables de calcular. Pero el teorema de la divergencia da una herramienta para poder convertir de una a la otra, lo que a menudo puede ayudar a convertir una integral de superficie particularmente difícil en un volumen más fácil de integrar. Esto es especialmente eficaz si el volumen V tiene una forma familiar, como una esfera, y si la divergencia resulta ser una función simple.
Puedes practicar con algunos ejemplos en los que hay que usar este teorema en el siguiente artículo.
También es una poderosa herramienta teórica, sobre todo para la física. En electrodinámica, por ejemplo, te permite expresar diversas leyes fundamentales como la ley de Gauss en términos de la divergencia o en términos de una integral de superficie. Esto puede ser muy útil conceptualmente. A veces, es más fácil pensar una situación localmente, por ejemplo, qué cargas individuales en puntos específicos en el espacio generan un campo eléctrico. Pero otras veces quieres una visión global, tal vez preguntándote cómo un campo eléctrico pasa a través de toda la superficie.

Resumen

  • El teorema de la divergencia dice que cuando se suman todos los cachitos de flujo hacia el exterior en un volumen mediante una integral triple de la divergencia, se obtiene el flujo total hacia fuera de ese volumen, medido por el flujo a través de su superficie.
VdivFdVSuma los pedacitosde flujo hacia afuera de V=SFn^dΣIntegral de flujoMide todo el flujo hacia afueraa través de la frontera de V

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