Descubre cómo utilizar el teorema de la divergencia en tres dimensiones para hacer más simples algunos problemas de integrales de superficie.

El teorema de la divergencia (resumen rápido)

Configuración:
  • F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}}(x, y, z) es un campo vectorial tridimensional.
  • V\redE{V} es un volumen tridimensional (piensa en una burbuja en el espacio).
  • S\redE{S} es la superficie de V\redE{V}.
  • n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} es una función cuya salida son vectores unitarios normales en la superficie de S\redE{S}.
Esto es lo que afirma el teorema de la divergencia:
La idea intuitiva aquí es que ambas integrales miden la tasa a la que un fluido que fluye a lo largo del campo vectorial F\blueE{\textbf{F}} sale de la región V\redE{V} (o entra en V\redE{V}, si los valores de ambas integrales son negativos). La integración triple de la divergencia implica contar todos los pedacitos de flujo hacia afuera de V\redE{V}, mientras que evaluar la integral de flujo mide esto al verificar cuánto fluido sale o entra a lo largo de la frontera de V\redE{V}.

Estrategia

El teorema de la divergencia permite traducir entre integrales de superficie e integrales triples, pero esto solo es útil si una resulta más simple que la otra. En cada uno de los ejemplos siguientes, toma nota del hecho que el volumen de la región correspondiente es más simple de describir que la superficie de la región.
En general, cuando te enfrentas con una integral de superficie sobre una superficie cerrada, considera si sería más fácil integrar sobre el volumen encerrado por esa superficie. Si es así, es una señal clara de que el teorema de la divergencia será muy útil.

Ejemplo 1: integral de superficie a través de un cubo.


Problema
Digamos que C\redE{C} es un cubo de 1×1×11 \times 1 \times 1, situado en el espacio de tal manera que una esquina está en el origen, una esquina está en (1,1,1)(1, 1, 1), y todas sus aristas son paralelas a uno de los ejes de coordenadas.
Hagamos que S\redE{S} represente la superficie de este cubo, que consta de 66 caras cuadradas orientadas mediante vectores normales que apuntan hacia afuera. Calcula la siguiente integral de superficie:
S(2yi^+3y2j^+4zk^)dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} ( 2y\hat{\textbf{i}} + 3y^2 \hat{\textbf{j}} + 4z\hat{\textbf{k}} ) \cdot \redE{d\Sigma}

Solución
Verificación de conceptos: según el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes es igual a la integral de superficie que se nos pide calcular?
El cubo es un gran ejemplo de un objeto cuyo volumen es más simple que su superficie. Para calcular esta integral de superficie directamente, tendrías que considerar cada una de las 66 caras por separado. Además, la función con valores vectoriales que estamos integrando es más simple cuando tomamos la divergencia, como estás a punto de ver. ¡Así que usar el teorema de la divergencia será doblemente útil!
Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de superficie de arriba.
Verificación de conceptos: usa el teorema de la divergencia para resolver el problema sustituyendo la divergencia que acabas de calcular en la integral triple que elegiste en la pregunta anterior:

Ejemplo 2: Integral de superficie a través de un cilindro.


Problema
Sea C\redE{C} un cilindro, cuya base es un círculo de radio 33 en el plano xyxy, centrado en el origen, y cuya altura es 55.
Hagamos que S\redE{S} represente la superficie de este cilindro, orientada con vectores unitarios normales apuntando hacia el exterior para calcular la siguiente integral de superficie:
S[x3y3x3+y3]dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] \cdot \redE{d\Sigma}

Solución
Como en el ejemplo anterior, lo que indica que el teorema de la divergencia podría ser útil es que el volumen de nuestra región es más fácil de describir que su superficie. Esto es especialmente cierto si integramos utilizando coordenadas cilíndricas. Y otra vez, la divergencia de la función pertinente lo hará más simple.
Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de arriba.
Verificación de conceptos: calcula la integral triple de esta divergencia dentro del cilindro C\redE{C} descrito en el problema. Como recordatorio, su base es un círculo de radio 33 en el plano xyxy centrado en el origen, y tiene 55 de altura.

Ejemplo 3: el área de la superficie a partir de una integral de volumen


Problema:
Usa el teorema de la divergencia para calcular el área de la superficie de una esfera con radio 11, dado el hecho de que el volumen de esa esfera es 43π\dfrac{4}{3} \pi.

Solución
Esto es un poco diferente de los dos ejemplos anteriores, ¿no? Para empezar, no hay ningún campo vectorial en el problema, ¡aunque el teorema de la divergencia es sobre campos vectoriales!
Si haces que S\redE{S} describa la superficie de la esfera, el área de su superficie (tan simple como verás) estará dada por la siguiente integral de superficie:
S1dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} 1\,\redE{d\Sigma}
Sin embargo, se trata de la integral de superficie de una función con valores escalares, es decir, la función constante f(x,y,z)=1f (x, y, z) = 1, pero el teorema de la divergencia se aplica a las integrales de superficie de un campo vectorial. En otras palabras, el teorema de la divergencia se aplica a integrales de superficie que tienen este aspecto:
S(Fn^)dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} \big( \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) \redE{d\Sigma}
Aquí la salida de la función n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} son vectores unitarios normales a S\redE{S}, la superficie de la esfera. Puedes convertir esto en la integral de superficie deseada si encuentras una función con valor vectorial F\blueE{\textbf{F}} tal que Fn^\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} sea siempre igual a 11.
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes definiciones de un campo vectorial F\blueE{\textbf{F}} asegurará la propiedad Fn^=1\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} = 1 en todos los puntos de la superficie de la esfera?
Verificación de conceptos: utilizando esta opción para F\blueE{\textbf{F}}, junto con el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes integrales dará el área de la superficie de la esfera unitaria? Con B\redE{B} representamos el volumen encerrado por la esfera, también conocida como la "bola unitaria".
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes funciones da vectores unitarios normales a la superficie de la esfera unitaria?
Verificación de conceptos: calcula la divergencia de esta función.
Verificación de conceptos: por último, dado que el volumen dentro de la esfera unitaria es 43π\dfrac{4}{3} \pi, calcula la siguiente integral:

Resumen

  • El teorema de la divergencia es útil siempre que el volumen interior de una región sea más fácil de describir que su superficie.
  • También es útil si la divergencia del campo vectorial correspondiente resulta en una función más simple.
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