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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 8: El teorema de la divergencia (artículos)

El teorema de la divergencia en tres dimensiones. Ejemplos

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Descubre cómo utilizar el teorema de la divergencia en tres dimensiones para hacer más simples algunos problemas de integrales de superficie.

Antecedentes

El teorema de la divergencia en 3D
- El flujo en tres dimensiones
  - Divergencia
  - Integrales triples

El teorema de la divergencia (resumen rápido)

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Configuración:

$F (x, y, z)$ ‍ es un campo vectorial tridimensional.
$V$ ‍ es un volumen tridimensional (piensa en una burbuja en el espacio).
$S$ ‍ es la superficie de $V$ ‍.
$\hat{n}$ ‍ es una función cuya salida son vectores unitarios normales en la superficie de $S$ ‍.

Esto es lo que afirma el teorema de la divergencia:

$\underset{\begin{matrix} Suma los pedacitos \\ de flujo hacia afuera de V \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} Mide todo el flujo hacia afuera \\ a través de la frontera de V \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{Integral de flujo}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

La idea intuitiva aquí es que ambas integrales miden la tasa a la que un fluido que fluye a lo largo del campo vectorial

F

sale de la región

V

(o entra en

V

, si los valores de ambas integrales son negativos). La integración triple de la divergencia implica contar todos los pedacitos de flujo hacia afuera de

V

, mientras que evaluar la integral de flujo mide esto al verificar cuánto fluido sale o entra a lo largo de la frontera de

V

Estrategia

El teorema de la divergencia permite traducir entre integrales de superficie e integrales triples, pero esto solo es útil si una resulta más simple que la otra. En cada uno de los ejemplos siguientes, toma nota del hecho que el volumen de la región correspondiente es más simple de describir que la superficie de la región.

En general, cuando te enfrentas con una integral de superficie sobre una superficie cerrada, considera si sería más fácil integrar sobre el volumen encerrado por esa superficie. Si es así, es una señal clara de que el teorema de la divergencia será muy útil.

Ejemplo 1: integral de superficie a través de un cubo.

Problema

Digamos que

C

es un cubo de

1 \times 1 \times 1

, situado en el espacio de tal manera que una esquina está en el origen, una esquina está en

(1, 1, 1)

, y todas sus aristas son paralelas a uno de los ejes de coordenadas.

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Hagamos que

S

represente la superficie de este cubo, que consta de

6

caras cuadradas orientadas mediante vectores normales que apuntan hacia afuera. Calcula la siguiente integral de superficie:

$\iint_{S} (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) \cdot d Σ$ ‍

Cuando la gente habla de calcular la integral de superficie de un campo vectorial, esto siempre significa evaluar el producto punto con el vector normal unitario a esa superficie:

$\iint_{S} (\vec{v} \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

Así que en realidad se trata de una integral de superficie de una función con valores escalares, y es que el valor escalar surge por el producto punto entre dos funciones con valores vectoriales:

(\vec{v} \cdot \hat{n})

Esto es tan universal que a menudo se omite el vector normal unitario, así que la gente se olvida de

\hat{n}

y escribe:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

Solución

Verificación de conceptos: según el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes es igual a la integral de superficie que se nos pide calcular?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \times (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z$ ‍
(Elección B)
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z$ ‍
(Elección C)
$6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \times (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y$ ‍
(Elección D)
$6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y$ ‍

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z$ ‍
El teorema de la divergencia dice que la integral de superficie de nuestro campo vectorial $(2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k})$ ‍ a través de la superficie del cubo es igual a la integral triple de la divergencia de ese campo vectorial a lo largo del cubo.
La divergencia se escribe así:
$\nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k})$ ‍
Describir el cubo con una integral triple es relativamente sencillo, puesto que cada variable $x$ ‍, $y$ ‍ y $z$ ‍ va de $0$ ‍ a $1$ ‍, así que la estructura de la triple integral adecuada se ve como esto:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \dots d x d y d z$ ‍

El cubo es un gran ejemplo de un objeto cuyo volumen es más simple que su superficie. Para calcular esta integral de superficie directamente, tendrías que considerar cada una de las

6

caras por separado. Además, la función con valores vectoriales que estamos integrando es más simple cuando tomamos la divergencia, como estás a punto de ver. ¡Así que usar el teorema de la divergencia será doblemente útil!

Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de superficie de arriba.

$\nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) =$ ‍

Si esto no te parece familiar, considera revisar el artículo sobre la divergencia.
Para calcular la divergencia, piensa el símbolo $\nabla$ ‍ como un vector de operadores de derivadas parciales:
$\nabla = [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}]$ ‍
Luego toma el "producto punto" entre este "vector" y la función con valores vectoriales cuya divergencia estás calculando:
$\begin{aligned} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) \\ = & [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 y \\ 3 y^{2} \\ 4 z \end{array}] \\ = & \frac{\partial}{\partial x} (2 y) + \frac{\partial}{\partial y} (3 y^{2}) + \frac{\partial}{\partial z} (4 z) \\ = & 0 + 6 y + 4 \end{aligned}$ ‍

Verificación de conceptos: usa el teorema de la divergencia para resolver el problema sustituyendo la divergencia que acabas de calcular en la integral triple que elegiste en la pregunta anterior:

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z =

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \underset{Sustituye la respuesta de la pregunta anterior.}{\underset{⏟}{\nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k})}} d x d y d z \\ = \underset{Separa la integral.}{\underset{⏟}{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (6 y + 4) d x d y d z}} \\ = \underset{\begin{array}{c} En dos de estas integrales \\ 6 y es una constante. \end{array}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 6 y d x d y d z}} + \underset{Saca la constante 4 .}{\underset{⏟}{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4 d x d y d z}} \\ = \int_{0}^{1} 6 y \underset{Igual a 1 .}{\underset{⏟}{(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d x d z)}} d y + 4 \underset{Igual a 1, el volumen del cubo.}{\underset{⏟}{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d x d y d z}} \\ = (\int_{0}^{1} 6 y d y) + 4 \\ = {[3 y^{2}]}_{y = 0}^{y = 1} + 4 \\ = 3 + 4 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

Ejemplo 2: Integral de superficie a través de un cilindro.

Problema

Sea

C

un cilindro, cuya base es un círculo de radio

3

en el plano

x y

, centrado en el origen, y cuya altura es

5

Hagamos que

S

represente la superficie de este cilindro, orientada con vectores unitarios normales apuntando hacia el exterior para calcular la siguiente integral de superficie:

$\iint_{S} [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}] \cdot d Σ$ ‍

Solución

Como en el ejemplo anterior, lo que indica que el teorema de la divergencia podría ser útil es que el volumen de nuestra región es más fácil de describir que su superficie. Esto es especialmente cierto si integramos utilizando coordenadas cilíndricas. Y otra vez, la divergencia de la función pertinente lo hará más simple.

Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de arriba.

$\nabla \cdot [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}] =$ ‍

Verificación de conceptos: calcula la integral triple de esta divergencia dentro del cilindro

C

descrito en el problema. Como recordatorio, su base es un círculo de radio

3

en el plano

x y

centrado en el origen, y tiene

5

de altura.

$∭_{C} (\nabla \cdot [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}]) d V =$ ‍

En primer lugar, sustituye el valor encontrado en el último problema:
$\begin{aligned} ∭_{C} \nabla \cdot [\begin{array}{c} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{array}] d V \\ = & ∭_{C} 3 (x^{2} + y^{2}) d V \end{aligned}$ ‍
A continuación, ya que estamos integrando sobre un cilindro, es muy natural integrar utilizando coordenadas cilíndricas. Para este problema, eso implica tres pasos:
Sustituye $d V$ ‍ $r d θ d r$ ‍ dz (no olvides la $r$ ‍ de en frente, esto es lo que convierte a $d θ$ ‍ en una unidad de longitud).
Sustituye $x^{2} + y^{2}$ ‍ por $r^{2}$ ‍.
Define los límites que describen nuestro cilindro. Por suerte, todos estos son constantes:
$r$ ‍ que va de $0$ ‍ a $3$ ‍.
$θ$ ‍ que va de $0$ ‍ a $2 π$ ‍.
$z$ ‍ que va de $0$ ‍ a $5$ ‍.
Al aplicar todo esto a la integral, se obtiene algo que puede calcularse:
$\begin{aligned} \underset{Sustituye los límites.}{\underset{⏟}{∭_{C}}} 3 \underset{r^{2}}{\underset{⏟}{(x^{2} + y^{2})}} \underset{r d θ d r d z}{\underset{⏟}{d V}} \\ = \int_{z = 0}^{z = 5} \int_{r = 0}^{r = 3} \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} (3 r^{2}) r d θ d r d z \\ = 3 \underset{\begin{array}{c} En dos de estas integrales \\ r es tratada como constante. \end{array}}{\underset{⏟}{\int_{z = 0}^{z = 5} \int_{r = 0}^{r = 3} \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} r^{3} d θ d r d z}} \\ = 3 \int_{r = 0}^{r = 3} r^{3} \int_{z = 0}^{z = 5} \underset{= 2 π}{\underset{⏟}{\int_{θ = 0}^{θ = 2 π} d θ}} d z d r \\ = 3 (2 π) \int_{r = 0}^{r = 3} r^{3} \underset{= 5}{\underset{⏟}{\int_{z = 0}^{z = 5} d z}} d r \\ = 3 (2 π) (5) \int_{r = 0}^{r = 3} r^{3} d r \\ = 3 (2 π) (5) {[\frac{1}{4} r^{4}]}_{r = 0}^{r = 3} \\ = 3 (2 π) (5) (\frac{1}{4} 3^{4} - \frac{1}{4} 0^{4}) \\ = \frac{3 (2 π) (5) (3^{4})}{4} \\ = \frac{1215 π}{2} \end{aligned}$ ‍

Ejemplo 3: el área de la superficie a partir de una integral de volumen

Problema:

Usa el teorema de la divergencia para calcular el área de la superficie de una esfera con radio

1

, dado el hecho de que el volumen de esa esfera es

\frac{4}{3} π

Solución

Esto es un poco diferente de los dos ejemplos anteriores, ¿no? Para empezar, no hay ningún campo vectorial en el problema, ¡aunque el teorema de la divergencia es sobre campos vectoriales!

Si haces que

S

describa la superficie de la esfera, el área de su superficie (tan simple como verás) estará dada por la siguiente integral de superficie:

$\iint_{S} 1 d Σ$ ‍

Sin embargo, se trata de la integral de superficie de una función con valores escalares, es decir, la función constante

f (x, y, z) = 1

, pero el teorema de la divergencia se aplica a las integrales de superficie de un campo vectorial. En otras palabras, el teorema de la divergencia se aplica a integrales de superficie que tienen este aspecto:

$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

Aquí la salida de la función

\hat{n}

son vectores unitarios normales a

S

, la superficie de la esfera. Puedes convertir esto en la integral de superficie deseada si encuentras una función con valor vectorial

F

tal que

F \cdot \hat{n}

sea siempre igual a

1

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes definiciones de un campo vectorial

F

asegurará la propiedad

F \cdot \hat{n} = 1

en todos los puntos de la superficie de la esfera?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$F = \hat{n}$ ‍
(Elección B)
$F = \hat{n} \times (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$ ‍

Verificación de conceptos: utilizando esta opción para

F

, junto con el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes integrales dará el área de la superficie de la esfera unitaria? Con

B

representamos el volumen encerrado por la esfera, también conocida como la "bola unitaria".

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$∭_{B} \nabla \cdot \hat{n} d V$ ‍
(Elección B)
$∭_{B} \nabla \cdot (\hat{n} \cdot \hat{n}) d V$ ‍

La primera opción es correcta. De hecho, la otra opción no tiene sentido, ya que $(\hat{n} \cdot \hat{n})$ ‍ da una función con valores escalares, y solo puedes tomar la divergencia de funciones con valores vectoriales.
La integral de superficie que queremos calcular tiene este aspecto:
$\iint_{S} 1 d Σ = \iint_{S} (\hat{n} \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍
Este es el flujo de la función vectorial normal unitaria $\hat{n}$ ‍ a través de la superficie. Según el teorema de la divergencia, esto es lo mismo que integrar la divergencia de ese campo vectorial dentro del volumen de la esfera:
$∭_{B} \nabla \cdot \hat{n} d V$ ‍

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes funciones da vectores unitarios normales a la superficie de la esfera unitaria?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$\hat{n} (x, y, z) = (x + y + z) (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ ‍
(Elección B)
$\hat{n} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{3}} x \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}} y \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}} z \hat{k}$ ‍
(Elección C)
$\hat{n} (x, y, z) = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ ‍

$\hat{n} (x, y, z) = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ ‍
Lo fantástico de la esfera unitaria centrada en el origen es que si tomas un vector que va del origen a cualquier punto sobre la esfera, y luego lo trasladas de tal forma que su cola esté sobre ese punto, será normal a la esfera. Esto es más fácil de dibujar y de ver en el circulo, pero el mismo principio aplica para la esfera:
Es más, ya que en el problema se pregunta acerca de una esfera unitaria, estos vectores son automáticamente vectores unitarios, ¡por lo que no es necesario normalizar!

Verificación de conceptos: calcula la divergencia de esta función.

$\nabla \cdot \hat{n} =$ ‍

Verificación de conceptos: por último, dado que el volumen dentro de la esfera unitaria es

\frac{4}{3} π

, calcula la siguiente integral:

$∭_{B} \nabla \cdot \hat{n} d V =$ ‍

En este ejemplo, cuando calculaste

\nabla \cdot \hat{n}

, el resultado fue simplemente una constante,

3

. Eso era la razón subyacente detrás del hecho que el área de la superficie de una esfera unitaria es

3

veces el volumen de esa esfera.

Si haces este problema en dos dimensiones, la divergencia de dos dimensiones análoga

\nabla \cdot \hat{n}

2

. Y de hecho, podrías utilizar el teorema de la divergencia bidimensional para justificar por qué la circunferencia de un círculo unitario es

2

veces el área de ese círculo.

En general, con un argumento similar utilizando el teorema de la divergencia análogo para dimensiones superiores se puede mostrar que el volumen de dimensión

(n - 1)

de una esfera unitaria de dimensión

n

debe ser

n

veces el volumen en

n

dimensiones de esa esfera.

Resumen

El teorema de la divergencia es útil siempre que el volumen interior de una región sea más fácil de describir que su superficie.
También es útil si la divergencia del campo vectorial correspondiente resulta en una función más simple.

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Juan Pablo Javier Moles Velasquez
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “pupuu? que pasa si no ent...” de Juan Pablo Javier Moles Velasquez
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- Brandon Alvarino Vasquez
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