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El teorema de la divergencia en tres dimensiones. Ejemplos

Descubre cómo utilizar el teorema de la divergencia en tres dimensiones para hacer más simples algunos problemas de integrales de superficie.

El teorema de la divergencia (resumen rápido)

Contenedor video de Khan Academy
Configuración:
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis es un campo vectorial tridimensional.
  • start color #bc2612, V, end color #bc2612 es un volumen tridimensional (piensa en una burbuja en el espacio).
  • start color #bc2612, S, end color #bc2612 es la superficie de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
  • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f es una función cuya salida son vectores unitarios normales en la superficie de start color #bc2612, S, end color #bc2612.
Esto es lo que afirma el teorema de la divergencia:
VdivFdVSuma los pedacitosde flujo hacia afuera de V=SFn^dΣIntegral de flujoMide todo el flujo hacia afueraa traveˊs de la frontera de V\displaystyle \underbrace{ \iiint_\redE{V} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\,\redE{dV} }_{\substack{ \text{Suma los pedacitos} \\\\ \text{de flujo hacia afuera de $\redE{V}$} }} = \underbrace{ \overbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} }^{\text{Integral de flujo}} }_{\substack{ \text{Mide todo el flujo hacia afuera} \\\\ \text{a través de la frontera de $\redE{V}$} }}
La idea intuitiva aquí es que ambas integrales miden la tasa a la que un fluido que fluye a lo largo del campo vectorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sale de la región start color #bc2612, V, end color #bc2612 (o entra en start color #bc2612, V, end color #bc2612, si los valores de ambas integrales son negativos). La integración triple de la divergencia implica contar todos los pedacitos de flujo hacia afuera de start color #bc2612, V, end color #bc2612, mientras que evaluar la integral de flujo mide esto al verificar cuánto fluido sale o entra a lo largo de la frontera de start color #bc2612, V, end color #bc2612.

Estrategia

El teorema de la divergencia permite traducir entre integrales de superficie e integrales triples, pero esto solo es útil si una resulta más simple que la otra. En cada uno de los ejemplos siguientes, toma nota del hecho que el volumen de la región correspondiente es más simple de describir que la superficie de la región.
En general, cuando te enfrentas con una integral de superficie sobre una superficie cerrada, considera si sería más fácil integrar sobre el volumen encerrado por esa superficie. Si es así, es una señal clara de que el teorema de la divergencia será muy útil.

Ejemplo 1: integral de superficie a través de un cubo.


Problema
Digamos que start color #bc2612, C, end color #bc2612 es un cubo de 1, times, 1, times, 1, situado en el espacio de tal manera que una esquina está en el origen, una esquina está en left parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis, y todas sus aristas son paralelas a uno de los ejes de coordenadas.
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Hagamos que start color #bc2612, S, end color #bc2612 represente la superficie de este cubo, que consta de 6 caras cuadradas orientadas mediante vectores normales que apuntan hacia afuera. Calcula la siguiente integral de superficie:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612

Solución
Verificación de conceptos: según el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes es igual a la integral de superficie que se nos pide calcular?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

El cubo es un gran ejemplo de un objeto cuyo volumen es más simple que su superficie. Para calcular esta integral de superficie directamente, tendrías que considerar cada una de las 6 caras por separado. Además, la función con valores vectoriales que estamos integrando es más simple cuando tomamos la divergencia, como estás a punto de ver. ¡Así que usar el teorema de la divergencia será doblemente útil!
Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de superficie de arriba.
del, dot, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, equals

Verificación de conceptos: usa el teorema de la divergencia para resolver el problema sustituyendo la divergencia que acabas de calcular en la integral triple que elegiste en la pregunta anterior:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, del, dot, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, d, x, d, y, d, z, equals

Ejemplo 2: Integral de superficie a través de un cilindro.


Problema
Sea start color #bc2612, C, end color #bc2612 un cilindro, cuya base es un círculo de radio 3 en el plano x, y, centrado en el origen, y cuya altura es 5.
Hagamos que start color #bc2612, S, end color #bc2612 represente la superficie de este cilindro, orientada con vectores unitarios normales apuntando hacia el exterior para calcular la siguiente integral de superficie:
S[x3y3x3+y3]dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] \cdot \redE{d\Sigma}

Solución
Como en el ejemplo anterior, lo que indica que el teorema de la divergencia podría ser útil es que el volumen de nuestra región es más fácil de describir que su superficie. Esto es especialmente cierto si integramos utilizando coordenadas cilíndricas. Y otra vez, la divergencia de la función pertinente lo hará más simple.
Verificación de conceptos: calcula la divergencia de la función con valores vectoriales en la integral de arriba.
[x3y3x3+y3]=\displaystyle \nabla \cdot \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] =

Verificación de conceptos: calcula la integral triple de esta divergencia dentro del cilindro start color #bc2612, C, end color #bc2612 descrito en el problema. Como recordatorio, su base es un círculo de radio 3 en el plano x, y centrado en el origen, y tiene 5 de altura.
C([x3y3x3+y3])  dV=\displaystyle \iiint_{\redE{C}} \left( \nabla \cdot \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] \right) \; \redE{dV} =

Ejemplo 3: el área de la superficie a partir de una integral de volumen


Problema:
Usa el teorema de la divergencia para calcular el área de la superficie de una esfera con radio 1, dado el hecho de que el volumen de esa esfera es start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi.

Solución
Esto es un poco diferente de los dos ejemplos anteriores, ¿no? Para empezar, no hay ningún campo vectorial en el problema, ¡aunque el teorema de la divergencia es sobre campos vectoriales!
Si haces que start color #bc2612, S, end color #bc2612 describa la superficie de la esfera, el área de su superficie (tan simple como verás) estará dada por la siguiente integral de superficie:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, 1, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
Sin embargo, se trata de la integral de superficie de una función con valores escalares, es decir, la función constante f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 1, pero el teorema de la divergencia se aplica a las integrales de superficie de un campo vectorial. En otras palabras, el teorema de la divergencia se aplica a integrales de superficie que tienen este aspecto:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
Aquí la salida de la función start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f son vectores unitarios normales a start color #bc2612, S, end color #bc2612, la superficie de la esfera. Puedes convertir esto en la integral de superficie deseada si encuentras una función con valor vectorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 tal que start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f sea siempre igual a 1.
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes definiciones de un campo vectorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 asegurará la propiedad start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, equals, 1 en todos los puntos de la superficie de la esfera?
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Verificación de conceptos: utilizando esta opción para start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, junto con el teorema de la divergencia, ¿cuál de las siguientes integrales dará el área de la superficie de la esfera unitaria? Con start color #bc2612, B, end color #bc2612 representamos el volumen encerrado por la esfera, también conocida como la "bola unitaria".
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Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes funciones da vectores unitarios normales a la superficie de la esfera unitaria?
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Verificación de conceptos: calcula la divergencia de esta función.
del, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, equals

Verificación de conceptos: por último, dado que el volumen dentro de la esfera unitaria es start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, calcula la siguiente integral:
\iiint, start subscript, start color #bc2612, B, end color #bc2612, end subscript, del, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals

Resumen

  • El teorema de la divergencia es útil siempre que el volumen interior de una región sea más fácil de describir que su superficie.
  • También es útil si la divergencia del campo vectorial correspondiente resulta en una función más simple.

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