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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5
Lección 3: El teorema de Green (artículos)El teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral doble del rotacional con una cierta integral de línea. En realidad es muy hermoso.
Antecedentes
No estrictamente necesario, pero útil para una comprensión más completa:
Más recursos
Puedes encontrar ejemplos de cómo el teorema de Green se utiliza para resolver problemas en el siguiente artículo. Aquí, seguiré lo que me parece una hermosa línea de razonamiento de por qué es verdad. Puedes encontrar una perspectiva diferente en el video de este tema.
Una lección, cuatro veces el beneficio
El teorema de Green es uno de los cuatro teoremas más importantes en la culminación del cálculo multivariable:
- El teorema de Green.
- El teorema de la divergencia en 2D.
- El teorema de Stokes.
- El teorema de la divergencia en 3D.
Estas son las buenas noticias: los cuatro tienen ideas intuitivas muy parecidas. Así que si realmente llegas al punto donde sientes el teorema de Green en los huesos, ¡ya recorriste la mayor parte del camino hacia la comprensión de los otros tres!
Qué vamos a construir
- Configuración:
es un campo vectorial en dos dimensiones. es cierta región en el plano . es la frontera de esa región, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
- El teorema de Green afirma que la integral de línea de
en el límite de es igual a la integral doble del rotacional de en : - Puedes pensar el lado izquierdo como la suma de todos los pedacitos de rotación en cada punto dentro de una región
, y el lado derecho como la medida de toda la rotación del fluido alrededor de la frontera de . - A menudo,
se escribe en componentes como sigue:En términos de y , aquí está cómo se ve el teorema de Green:
Rotación de un fluido alrededor de una frontera
Conforme vayas leyendo, la imagen que debes tener en la cabeza es la de una burbuja en un campo vectorial.
es la función para el campo vectorial. Y, como probablemente ya te habrás acostumbrando si has leído los otros artículos como este que involucran campos vectoriales, imagina que representa el flujo de un fluido. es alguna región en el plano . En la práctica, y en los problemas, va a ser alguna figura bien definida como un círculo o la frontera entre dos gráficas, pero mientras pensamos de manera abstracta, me gusta dibujarla solo como una burbuja. es la frontera de , orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj. Recuerda esa orientación, porque en realidad importa cuando resuelvas problemas. En sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Lo estás recordando? En sentido contrario a las manecillas del reloj.
Verificación de conceptos: ¿cómo puedes interpretar la siguiente integral de línea en términos del flujo de un fluido?
(Recuerda que en una integral de línea a través de una campo vectorial, el término representa un pequeño paso a lo largo de la curva, como un vector, que en este caso siempre apunta en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Aquí está una manera de pensar acerca de la integral de línea : imagina remar un bote alrededor de la curva , en sentido contrario a las manecillas del reloj.
En cada punto de tu viaje, el vector da la dirección de tu movimiento. El producto punto será positivo en los puntos donde el fluido fluye contigo y negativo en los puntos donde fluye en tu contra.
En total, la integral de línea suma todos estos productos punto para decirte si en general el flujo fue a favor o en contra.
Así que esta integral de línea es positiva cuando el flujo del fluido tiene una tendencia general de moverse en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la frontera (lo que significa que en general fue a favor), y será negativa si tiene una tendencia de moverse en sentido de las manecillas del reloj (en general fue en contra).
Traer la frontera al interior
El teorema de Green trata acerca de tomar esta idea de la rotación del fluido alrededor de la frontera de y relacionarlo con lo que pasa dentro de . De manera conceptual, esto va a involucrar cortar en muchos pedazos pequeños. En fórmulas, el resultado final será tomar la integral doble de .
Corta la región
Imagina cortar la región con una línea recta justo a la mitad, lo que da dos subregiones y :
Nombra las fronteras de estas dos regiones y . ¿Qué pasa si tomamos la integral de línea de alrededor de estas dos fronteras y las sumamos?
Observa que estas integrales de línea se van a cancelar a lo largo del corte vertical que hiciste. Es decir, la integral alrededor de va "hacia arriba" de esta recta mientras que la integral alrededor de integra "hacia abajo" de esta recta. (Recuerda que cuando realizas una integral de línea en un campo vectorial, cambiar la dirección a lo largo de una curva multiplica tu resultado por ).
Esto significa que la suma de nuestras dos integrales es lo mismo que solo ir alrededor de la frontera completa .
Vuelve a cortarla
Puedes hacer esto una vez más, tal vez con un corte horizontal en esta ocasión:
Si integras alrededor de las fronteras de las subregiones resultantes, las integrales se cancelan a lo largo de los cortes que hiciste en el interior de :
En una fórmula, esto significa que la suma de las integrales de línea alrededor de las cuatro subregiones acaban por ser iguales que la integral de línea alrededor de toda la región:
Debo enfatizar que esto solo funciona si nos aseguramos de que todas las fronteras estén orientadas en la misma dirección. De lo contrario, podrían no cancelarse entre sí a lo largo de los cortes. Es común pensar que la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj es la dirección positiva, así piensa que todo está orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Córtala muchas, muchas veces
Quizá puedas ver a dónde voy con todo esto. Imagina cortar la región en muchos pedacitos pequeñitos, . Orienta todas sus fronteras en sentido contrario a las manecillas del reloj e integra la función sobre cada una.
Las integrales se van a cancelar a lo largo de todos los cortes dentro de . Esto es porque para cualquier corte, una de las integrales va a ir en una dirección mientras que otra va en la otra dirección. Al final, las únicas partes en donde estas integrales no se cancelan, son las de la frontera de .
Esto significa que sumar integrales de línea a lo largo de las fronteras de los pedazos va a dar el mismo resultado que solo integrar en toda la región:
Integrar el rotacional
Entonces... ¿por qué estoy haciendo esto? Es porque hay otra manera de interpretar cada una de estas integrales de línea alrededor de un pedazo pequeñito al usar el rotacional bidimensional. Escoge uno de esos pedazos y acércate a él.
- Sea
el pedazo que escogiste, con frontera . - Sea
que represente el área de , que la estamos pensando como que es un número muy pequeño. - Sea
algún punto que esté dentro de este pedazo, cualquier punto en realidad.
La rotación del fluido alrededor de este pedazo debida a se puede medir con la integral de línea . Piensa en un barquito de remos. Pero como en realidad este es un pedazo muy pequeño, hay otro concepto de cálculo multivariable que mide la rotación del fluido: el rotacional.
Esta integral de línea se puede aproximar al tomar el de en cualquier punto dentro de y multiplicarlo por el área (pequeñita) :
Además, y esto es importante, mientras más pequeña sea , mejor es esta aproximación.
Al sumar estas aproximaciones sobre todos los pedazos pequeños obtenemos:
Al tomar la conclusión de la sección anterior, el lado izquierdo de arriba es lo mismo que una sola integral de línea alrededor de toda la frontera de , así que podemos volver a escribir esta aproximación como sigue:
Ahora echa un vistazo más de cerca a la suma del lado derecho.
- Incluye una función escalar,
- La suma se toma sobre muchos pedacitos pequeños
de una región bidimensional, . - Para cada pedazo dentro de la suma, la función se evalúa en un punto dentro de ese pedazo y después se multiplica por su área.
¿Te suena familiar? ¡Esta es la receta para una integral doble! (Si no te suena familiar, considera darle un vistazo a este artículo acerca de integrales dobles).
En particular, si imaginas que cortas la región más y más finamente, puedes reemplazar la suma de arriba con una integral doble de sobre :
Poniendo todo junto, aquí está lo que tenemos:
Esto en realidad es más que una mera aproximación, la integral de línea alrededor de la frontera equivale a la integral doble del rotacional bidimensional:
Este hecho maravillosos se llama el teorema de Green. Cuando lo ves, puedes leerlo al decir que la rotación de un fluido alrededor de toda la frontera de una región (el lado izquierdo) es lo mismo que ver a todos los pequeños "pedacitos de rotación" dentro de la región y sumarlos (el lado derecho).
Notación alternativa
Es muy común ver el teorema de Green escrito así:
Esto solo abre el producto punto del lado izquierdo de la integral de línea y también el rotacional del lado derecho de la integral doble. Por la razón que sea, es común usar las letras y para denotar las componentes de la función vectorial :
En el siguiente arículo vas a encontrar ejemplos de cómo se puede usar esta fórmula para hacer que las integrales de línea o las integrales dobles sean más sencillas.
Resumen
- Puedes pensar acerca de la integral de línea
como que mide la rotación del flujo de un fluido representado por el campo vectorial alrededor de la curva . Es una convención pensar que la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva, en cuyo caso debe estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
- Imagina cortar la región bidimensional
encerrada por en muchos pedazos pequeñitos. Llama las fronteras de estos pedazos y oriéntalos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Después, sumar las integrales de línea de alrededor de la frontera de cada pedazo se resume en lo mismo que la integral de línea alrededor de toda la frontera .Esto quiere decir que las integrales de línea pequeñas se cancelan a lo largo de los cortes dentro de . - A medida que consideras pedazos más y más pequeños, la integral de línea alrededor de cada pedazo se puede aproximar usando el rotacional bidimensional:
- Al sumar estos pequeños "pedazos de rotacional", usar una integral doble sobre
y aplicar el hecho de que la suma de las integrales de línea se cancelan a lo largo de los cortes interiores, obtienes el teorema de Green:
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- existe una serie de ejercicios para asi poder practicar este teorema ?
ademas claro de los ejemplos del articulo siguiente(1 voto)- Capaz llegue medio tarde mi propuesta, pero podés encontrar muchos ejercicios en libros de estudio sobre el tema, como "Cálculo Multivariable" de Stewart, o "Cálculo 2" de Larson (Otro autor conocido del área también es Thomas)(6 votos)