Demostración del teorema de la divergencia (parte 1)

vamos ahora a demostrar el teorema de la divergencia que nos dice que el flujo el flujo a través de una superficie es de algún campo vectorial que vamos a llamarle efe efecom con flechita porque es un campo vectorial este flujo que lo podemos expresar como la integral doble a lo largo de esta superficie de efe punto n de s va a ser igual va a ser igual a la entre la integral triple la integral triple es decir sobre una región sobre un sólido digamos rellenito con volumen de la divergencia de nuestro campo vectorial efe que multiplica por supuesto una diferencial de volumen y esto ya lo hemos estado revisando en otros vídeos ahora lo que vamos a hacer es la demostración de esta igualdad y lo que vamos a tener que tomar al inicio son algunas hipótesis vamos a tomar que r es una región simple y sólida simple y sólida qué significa esto esto en realidad no nos dice otra cosa más que la región es de tipo 1 que también es de tipo 2 y que también es de tipo 3 es decir que esta región r va a ser de todos los tipos que ya vimos en otros vídeos ok ya hemos hecho entonces la intuición de este teorema ahora vamos a demostrarlo y vamos a empezar partiendo de escribir quién es nuestro campo vectorial es decir si yo tengo efe mi campo vectorial esto yo lo puedo escribir como una función p que depende de x jay-z pero ahorita lo voy a omitir que multiplica nuestro vector y más q veces que también es una función que depende de x jay-z que multiplica jota más otra función r que multiplica al vector unitario acá ok entonces si este es nuestro campo vectorial quién es efe punto si hacemos el producto punto con nuestro vector normal unitario y entonces como realmente efe es una suma y estamos multiplicando con producto punto pues es distribuir el producto punto entonces aquí vamos a poder expresar lo como p y vamos a hacer el producto punto de y con n entonces tenemos y punto n y punto n más ahora nos vamos con el segundo término que va a ser q jota que multiplica a n entonces va a ser q que multiplica jota punto n vamos bien y finalmente el mismo argumento vamos a tener a er que multiplica acá punto n podemos pensar que cada uno de estos términos que están entre paréntesis es decir este este y este en realidad esta es la magnitud de la componente del vector normal unitario n a lo largo de nuestro de nuestra dirección x éste representaría esa magnitud pero a lo largo de la dirección y está a lo largo de la dirección z entonces ya que tenemos esto podemos simplificar o más bien podemos sustituir en esta parte de amarillo como lo vamos a hacer bueno esto recordemos por si por si a lo mejor tienen alguna otra anotación en alguno de sus libros que también se puede escribir como la integral sobre la superficie de f punto de ese no es otra cosa más que lo que tenemos acá arriba la integral doble sobre la superficie punto n df de ese y que si sustituimos esto de aquí esto simplemente va a ser la integral doble sobre la superficie de esto que tenemos aquí déjenme incluso seleccionarlo y pegarlo a seleccionar esto y pegamos y simplemente lo ponemos aquí ok entonces esto es lo que vamos a tratar de simplificar o vamos a tratar de manipular para llegar a la misma expresión que tenemos del lado derecho aquí por supuesto me faltó nada más multiplicar por nuestra diferencial de superficie ok entonces solo voy a terminar con un detallito de este lado de este lado izquierdo y es que esta integral como es la integral de una suma podemos escribir la suma de las integrales entonces esto va a ser igual va a ser igual a la integral de superficie de p por i punto en ellas lo voy a dejar del mismo color de ese más ahora la integral de superficie de q por jota punto n más la integral de superficie de r por cada punto n esto es una de las partes que tenemos ahora vámonos del lado derecho porque ahora tenemos del lado derecho la integral triple sobre la región r de la divergencia del campo vectorial está allí bueno quien es la divergencia de nuestro campo vectorial vamos a escribirlo aquí la divergencia de un campo vectorial efe que tiene como componentes a p q y r pues es simplemente la suma de las derivadas parciales en este caso sería la suma de pp de la derivada de p respecto de x más la derivada de q respecto de ye más la derivada de r respecto d ok esto es la divergencia entonces esto de aquí lo podemos simplemente sustituir por px mas q ya más receta ok todo esto por la diferencial debe esto esto ahora lo podemos también tenemos una integral triple de una suma de tres funciones por lo tanto podemos hacer la integral podemos hacer las las 3 integrales de cada una de éstas vamos a bajar un poquito entonces vamos a tener que es del lado derecho de integral triple sobre nuestra región r de px de b este es el primer el primero de los sumandos aquí este y así hacemos con él con el resto vamos a tener más la integral triple sobre nuestra región r de cuya de más la integral triple ok de gm déjenme de gm cambiar esto del lugar porque lo que quiero es mostrarles realmente a dónde va la demostración de este teorema a nuestro color verde entonces aquí voy a poner la integral triple sobre r dp x de más la integral triple sobre r de cuya debe más la integral triple sobre r de receta bebé ok entonces hemos ya ha reformulado el teorema de la divergencia porque esto es lo que está del lado izquierdo y esto es lo que está del lado derecho de este teorema entonces realmente lo que queremos es ver que estas dos cosas son iguales y para demostrarlo vamos a ver que los siguientes términos son iguales es decir lo que voy a hacer es demostrar que estos que estoy en marcando son iguales que también estos que voy a enmarcar de aquí estos de aquí estos segundos suman dos son iguales y finalmente voy a demostrar que estos últimos son iguales entonces como son iguales entre entre sí vamos a tener que la suma de estos va a ser igual a la suma de estos otros en particular vamos a concentrarnos en estos últimos de acá en este que marque con azul para hacer la prueba vamos a demostrar que estos dos términos son iguales son equivalentes basándonos en el hecho de que la región es de tipo 1 de hecho supusimos que es de tipo 1 2 y 3 pero vamos a usar que es de tipo 1 para demostrar que estas dos cosas son equivalentes y usando los mismos argumentos utilizando que es una región de tipo 2 y que es de tipo 3 se puede demostrar que estos respectivos sumandos son iguales